При одновременном учете влияния давления и температуры

(2.27)

В качестве примера, в котором необходимо учитывать переменность вязкости, рассмотрим случай ламинарного течения жидкости в зазоре между двумя параллельными пластинами под действием избыточного давления при начальной температуре (рис. 26).

Рис. 26. Схема ламинарного течения в плоско-

параллельном зазоре при переменной

вязкости жидкости

Определим закон изменения давления вдоль зазора, а также расход жидкости через него. Так как при движении жидкости работа сил трения переходит в тепло, то между давлением и температурой жидкости в каждом сечении зазора существует определенная зависимость. Пусть в некотором сечении x от входа избыточное давление равно р и температура t. Тогда, считая, что все тепло, выделяемое в результате внутреннего трения, воспринимается жидкостью и не передается стенкам, можно записать

(2.28)

Обозначая 1/С = k, получим

, (2.29)

где С - удельная теплоемкость в Дж/(кг К);

 - плотность в .

Подставляя этот результат в формулу (2.27) и учитывая, что на выходе давление атмосферное , получаем

. (2.30)

Выделив элементарный участок зазора длиной dx, можем записать по формуле (2.24)

(2.31)

После разделения переменных, интегрирования и несложных преобразований получим следующий закон распределения давления по длине зазора (см. эпюру давлений на рис. 26)

(2.32)

и расход (2.33)

Обозначим , (2.34)

где -расход через зазор, вычисленный в предположении .

Таким образом, окончательно получаем

. (2.35)

Рассмотрим еще один пример решения данного типа задач.

В рабочей полости, образованной обрабатываемой внутренней цилиндрической поверхностью и торцом установленного с радиальным зазором b обрабатывающего инструмента диаметром D и длиной L (рис. 27) поддерживается избыточное давление .

Рис. 27. Гидросхема ЭХО внутренних поверхностей

Определить расход жидкости через кольцевую щель при концентричном расположении обрабатываемой поверхности и инструмента, учитывая зависимость вязкости рабочей жидкости от давления и температуры. При расчете для рабочей жидкости принять:

С = 2,1 - удельная теплоемкость;

; - вязкость рабочей жидкости при давлении ;

D = 100 мм; L = 160 мм; b = 0,1 мм;

; - опытные коэффициенты, различные для различных жидкостей;

Выделим бесконечно малый кольцевой элемент жидкости, протекающей в радиальном зазоре между поршнем и цилиндром, и составим уравнение его движения

(2.36)

где r - расстояние от центральной оси до границы выделенного кольцевого элемента;

dr - толщина кольца;

dx - длина кольцевого элемента;

 - касательное напряжение вязкого трения.

После преобразований в уравнении (2.36) и без учета члена , имеющего более высокий порядок малости по сравнению с остальными членами, получим дифференциальное уравнение в виде

(2.37)

Касательное напряжение  определяется из закона вязкого трения Ньютона, который при изменении вязкости с давлением и температурой можно представить в виде

, (2.38)

где - (2.39)

динамический коэффициент вязкости при давлении p и температуре t;

- динамический коэффициент вязкости при давлении и температуре ;

и - опытные коэффициенты, различные для различных жидкостей;

u - локальная скорость течения.

Если принять, что при движении жидкости работа сил трения полностью переходит в тепло, а теплообмен между жидкостью и элементами конструкции отсутствует, то можно записать

, (2.40)

где С - удельная теплоемкость;

 - плотность жидкости;

р - избыточное давление на выходе из зазора.

По условию задачи = 1 , т. е. атмосферное, и, соответственно, р = 0. С учетом этого обстоятельства уравнение (2.40) принимает вид

. (2.41)

Решая совместно уравнения (2.39) и (2.41), получим

. (2.42)

При осевом установившемся движении жидкости в кольцевом канале можно считать, что , и . В этом случае функция в соответствии с уравнением (2.42) также будет не зависящей от координаты r. Разделяя переменные в уравнении (2.37) с учетом уравнения (2.38) и интегрируя его по координате r, будем иметь

(2.43)

Постоянные интегрирования и находятся из граничных условий, которые требуют, чтобы при и u = 0. При этом уравнение (2.43) принимает вид

. (2.44)

Интегрируя скорость, описываемую уравнением (2.44) по сечению кольцевого зазора, получим выражение для определения расхода жидкости

. (2.45)

Поскольку давление р является функцией только координаты x, то . Разделяя переменные в уравнении (2.45) и интегрируя его с учетом выражения (2.42), получим уравнение для определения расхода жидкости через кольцевую щель с учетом изменения вязкости жидкости в зависимости от температуры и давления в виде

.

(2.46)

Подставляя численные значения величин в уравнение (2.46), находим