2.2. Ламинарное движение жидкости в специальных технических системах
При выполнении различных технологических операций в технологии машиностроения, например, при электрохимической обработке деталей, в качестве рабочего тела используют разнообразные капельные жидкости, движущиеся в каналах сложной формы. Причем, течение в таких трубопроводах и зазорах, как правило, устанавливается ламинарным, о чем свидетельствует величина числа Рейнольдса, подсчитываемая по уравнению (2.2).
Метод решения задач ламинарного движения заключается в составлении дифференциального уравнения движения элемента жидкости, преобразовании этого уравнения с помощью выражения закона жидкостного трения Ньютона и интегрировании его при заданных граничных условиях задачи.
2.2.1. Примеры решения типовых задач
В качестве примера рассмотрим случай ламинарного осевого течения жидкости под действием перепада давлений в кольцевом зазоре, образованном двумя соосно расположенными цилиндрическими поверхностями (рис. 24).
Рис. 24. Схема течения в кольцевом зазоре
Чтобы найти закон распределения скоростей по сечению зазора, выделим бесконечно малый кольцевой элемент, рассмотрим действующие на него силы и составим уравнение его движения. В результате будем иметь
(2.12)
Обозначая
и пренебрегая членом 2lddl,
имеющим более высокий порядок малости
по сравнению с остальными членами,
получим после несложных преобразований
следующее дифференциальное уравнение
рrdr + ld(r) = 0, (2.13)
интегрируя которое (с учетом того, что = du/dr), получим
(2.14)
Постоянные
и
находят из граничных условий,
которые требуют, чтобы при
u
= 0
и при
u
= 0.
Поэтому
закон распределения скоростей по
поперечному сечению кольцевого зазора
будет иметь вид
(2.15)
Произведя далее интегрирование скорости по сечению зазора, получим выражение для расхода жидкости
(2.16)
При
выражение (2.16) переходит в формулу
Пуазейля для труб круглого поперечного
сечения
(2.17)
При установившемся ламинарном течении в трубе с некруглым поперечным сечением решение задачи оказывается более сложным. Опуская промежуточные выкладки, приведем только окончательные формулы для определения расхода для труб с различной формой поперечного сечения:
1) для трубы эллиптического поперечного сечения
(2.18)
где a и b - полуоси эллипса;
2) для трубы, имеющей поперечное сечение в форме равностороннего треугольника со стороной а
(2.19)
3) для трубы прямоугольного поперечного сечения
(2.20)
где
- функция,
значения которой приведены в таблице
15;
a и b - половины сторон прямоугольника.
Таблица 15
Значения функции в зависимости от параметров a и b
(a/b) |
1,0 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
3,0 |
5,0 |
10,0 |
f(a/b) |
2,25 |
2,20 |
2,08 |
1,83 |
1,40 |
0,93 |
0,50 |
Если имеет место плоское ламинарное течение в зазоре между неподвижными параллельными пластинами (рис. 25), то из рассмотрения равномерного движения выделенного элемента жидкости приходим к следующему дифференциальному уравнению
(2.21)
где р - перепад давлений на длине зазора l.
Рис. 25. Схема течения в плоскопараллельном зазоре
Интеграл этого уравнения с учетом граничного условия (равенства нулю скорости на стенках) дает
(2.22)
где b - зазор между пластинами.
Закон распределения скоростей по высоте зазора - параболический (в пространстве - параболический цилиндр), средняя скорость
(2.23)
Из последней формулы легко получить выражение для расхода жидкости в зазоре между пластинами
(2.24)
где В - ширина зазора.
Вязкость жидкости изменяется с давлением и температурой. Эти зависимости выражаются формулами
при
t
=
=
const,
(2.25)
при
,
(2.26)
где
- вязкость при давлении
и температуре
;
и
- опытные коэффициенты, различные для
различных жидкостей.