4. Способы аналитического описания сигналов

Функции, описывающие сигналы, могут быть представлены как вещественными, так и комплексными значениями. Поэтому в радиотехнике говорят о вещественных и, условно, о комплексных сигналах. Применение той или иной формы описания сигнала — дело математического удобства.

Для анализа прохождения сигнала через радиотехнические цепи необходимо его представить в удобной математической форме. В радиотехнике широкое применение нашли два способа математического представления сигналов:

спектральный и временной. Такое представление возможно вследствие принципа дуальности (от англ. duality — двойственности, симметрии; например, сопротивления R и проводимости Y; R = 1/Y) частоты и времени, поскольку f= 1/t.

При временном способе анализа сигнал отражают непрерывной функцией времени или совокупностью элементарных импульсов, следующих друг за другом через определенные интервалы времени. Временная форма представления сигнала позволяет легко определить такие важные его характеристики, как энергия, мощность и длительность. Спектральный способ позволяет представлять сигналы либо в виде взвешенной суммы гармонических составляющих, либо в виде суммы комплексных экспонент с частотами, обычно кратными друг другу (образующими арифметическую прогрессию).

Часто анализ радиотехнических сигналов строится на их геометрической или векторной интерпретации. Причем известно, что спектральное и векторное представления сигналов взаимосвязаны.

1. Интегральное преобразование сигналов

При ряде условий для функции u(t), описывающей сигнал во временной области (области определения) 0 - T, существует интегральное преобразование

(9)

где — заданная функция (ядро интегрального преобразования).

Интегральное преобразование позволяет осуществить переход от временной области определения функции к области частоты . Операциям над сигналом во временной области соответствуют операции в области частоты, которые зачастую проще. Значит расширяются возможности проводимого анализа.

Формула, позволяющая восстановить сигнал u(t) по известной комплексной функции , называют формулой обращения интегрального преобразования

(10)

где — базисная (basis) функция.

Выражения (9) и (10) устанавливают взаимно однозначное соответствие между сигналом u(t) и его интегральным преобразованием — спектром .

Функция является интегральным представлением сигнала и может быть исходной при его описании. Из интегральных преобразований, наиболее используемым при анализе сигналов, является преобразование Фурье.

2. Комплексная форма представления сигналов

Часто при описании и анализе некоторых видов сигналов (в первую очередь узкополосных) бывает удобной комплексная форма их представления

(11)

где — соответственно модуль и фаза комплексной величины .

Комплексная функция может быть также представлена в виде

(12)

где , — действительная и мнимая части комплексной функции.

Из формул (11) и (12) получим:

(13)

По формальному аналитическому представлению сигнал может быть действительным или комплексным, т. е. состоящим из вещественной и мнимой частей. Комплексные числа появляются не как дань математической общности (хотя возможность вместо двух выражений и записать одно сильно облегчает выкладки), и тем более не стоит видеть здесь математическую мистику («корень квадратный из минус единицы»). С их помощью удобно записывать синфазную (совпадающую по фазе с некоторым сигналом) и квадратурную (отличающуюся по фазе от этого сигнала на 90°) составляющие сигнала.