2. Оптимальное обнаружение сигналов

   1. Обнаружение сигналов как статистическая задача

Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала s(t) и шума n(t), представляющая собой случайный непрерывный процесс

(142)

где s(t) – полностью известный сигнал;

λ – случайный параметр, равный "1", когда сигнал присутствует, и равный "0", когда сигнал отсутствует;

n(t) – шум с известным законом распределения.

Обнаружитель анализирует реализацию x(t) процесса ξ(t) в течение заранее выбранного конечного интервала времени Т и затем на основании анализа принимает решение: существует ли сигнал в наблюдаемой реализации или нет.

В настоящее время для решения подобных задач широко применяются методы математической статистики. Основной задачей математической статистики является установление законов распределения случайных величин на основе результатов наблюдения над этими величинами. В результате наблюдения над некоторой случайной величиной получается совокупность выборочных ( , ..., ) значений этой величины, называемая выборкой; число n выборочных значений, содержащихся в данной выборке, называется объёмом выборки.

В случае обнаружения сигналов реализация x(t) является непрерывной функцией времени (при непрерывном или дискретном сигнале s(t) в смеси) с ограниченным спектром. Представим x(t) выборочными значениями ( , ..., ), взятыми в соответствии с теоремой Котельникова с интервалом Δt =1/2F, где F – эффективная ширина спектра колебания x(t). При этом объём выборки определяется соотношением

(143)

На основании анализа выборки ( , ..., ) обнаружитель должен оценить параметр λ. Очевидно точность оценки зависит от объёма выборки при неограниченном времени наблюдения Т. Однако на практике Т ограничено, а с увеличением объёма выборки при T=const погрешность оценки не устремляется к нулю [23].

Выборка, у которой n→∞ при T=const, называется непрерывной. Вид выборки (дискретная или непрерывная) определяется удобством математического анализа. Заметим, что если для дискретной выборки какая-либо формула получена в виде суммы, то соответствующий результат для непрерывной выборки может быть получен при замене суммы интегралом, если в этой формуле положить Δt→0 или n→∞ при T=const. Поскольку в задачах обнаружения оценка параметра λ является дискретной (λ=0 или λ=1), при конечном объёме выборки можно лишь с некоторыми вероятностями высказать статистические гипотезы. Следовательно, решение задачи обнаружения сводится к проверке двух альтернативных (противоположных) статистических гипотез. Гипотеза – сигнал во входной смеси есть (λ=1) и гипотеза – сигнала нет (λ=0). При этом вероятности Р( ) и Р( ) являются соответственно априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала.

2. Ошибки при обнаружении сигнала

При обнаружении сигнала могут быть четыре ситуации:

1. правильное обнаружение (по), когда сигнал на входе обнаружителя существует и принимается решение о его наличии;

2. правильное необнаружение (пн), когда сигнала на входе нет и принимается решение об его отсутствии;

3. пропуск сигнала (проп), когда сигнал на входе существует, однако принимается решение об его отсутствии;

4. ложная тревога (лт), когда сигнала на входе нет, но принимается решение о его присутствии.

Первые две ситуации образуют событие А, соответствующее принятию безошибочного решения.

Последние две ситуации образуют событие , соответствующее принятию неверного или ошибочного решения [23].

С помощью графа исходов (рис. 90) можно рассчитать вероятность принятия ошибочного решения или вероятность ошибки .

На рисунке обозначены: Р( ), Р( ) – априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала; – условная вероятность правильного обнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнал существует; – условная вероятность правильного необнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнала нет; – условная вероятность пропуска, соответствующая вероятности ошибочного решения А при условии, что в действительности сигнал есть; – условная вероятность ложной тревоги, соответствующая вероятности ошибочного решения А при условии, что сигнала в действительности нет.

Рис. 90. Граф исходов при обнаружении

Из графа исходов непосредственно по формуле полной вероятности следует, что

(144)

или

(145)

Таким образом, вероятность ошибки зависит как от априорных вероятностей Р( ), Р( ), так и от условных вероятностей , .

Рассмотренные условные вероятности , , , позволяют характеризовать качество оптимального обнаружения. Обычно в этих целях используют вероятности и , с учетом того, что

(146)