5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности

Наибольшие напряжения в цилиндрической оболочке складываются алгебраически из напряжений мембранных, напряжений от изгиба моментами М_х и M_y и температурных напряжений _t, если они есть. Пренебрегая напряжениями  = q малыми по сравнению с напряжениями _x и _y (см. рис.92), элемент оболочки, выделенный двумя меридиональными и двумя экваториальными сечениями, можно считать испытывающим плоское деформированное состояние.

Так как касательные напряжения

то нормальные напряжения _x и _y представляют собой главные напряжения. Наибольшее нормальное напряжение, действующее по поперечному сечению цилиндра и направленное вдоль образующей (см. рис. 92), возникает на одной из поверхностей оболочки и вычисляется как алгебраическая сумма

(5.93)

Знаки плюс или минус в выражении (5.93) зависят от направления нагрузки q, характера изменения температуры и расположения точки, в которой определяется напряжение на внутренней или наружной поверхности оболочки.

Наибольшее нормальное напряжение, действующее по радиальному сечению и направленное по касательной к окружности,

(5.94)

В уравнении (5.94) последний член представляет собой напряжение, вызванное обжатием оболочки вследствие радиального перемещения w_x,

Алгебраически большее из двух отрицательных напряжений, вычисленных по формулам (5.93) и (5.94), в случае наружного давления будет главным напряжением ₂, меньшее  главным напряжением ₃. Главное напряжение ₁ равно нулю. В случае внутреннего давления главное напряжение ₁ равно алгебраически большему из двух положительных напряжений, ₂ равно меньшему, a ₃ равно нулю. Поэтому в условии прочности по третьей теории прочности

одно из слагаемых в левой части при любом нагружении равно нулю и условие прочности будет

.

По четвертой теории прочности условие прочности при внутреннем давлении

.

Найдем, например, главные напряжения и составим условие прочности для цилиндрической оболочки, подвергнутой наружному давлению q, считая температурные воздействия отсутствующими.

В сопряжении цилиндра с торцом мембранные напряжения сжимающие, напряжения от изгиба у торца растягивающие на наружной поверхности оболочки и сжимающие на внутренней, напряжения от обжатия сжимающие. Поэтому на внутренней поверхности

а на наружной поверхности, с учетом того, что местные напряжения больше мембранных и возникающих от обжатия,

Так как на внутренней поверхности абсолютная величина нормальных напряжений больше, чем на наружной, условие прочности примет вид

.

Местные напряжения от краевого эффекта не всегда следует считать расчетными. Для пластичных материалов концентрация местных напряжений, превышающих допускаемые, захватывающая небольшой участок конструкции, при статически постоянном действии нагрузки иногда допускается. Если же такое перенапряжение происходит периодически, например при многократном повышении и спаде давления, оно может вызвать возникновение усталостной трещины именно в зоне концентрации и не может быть допущено. Расчетными считаются также местные напряжения и для оболочек, выполненных из хрупких материалов.

В ряде случаев при наружном давлении размеры оболочки лимитируются не рассмотренными условиями прочности, а условиями устойчивости. Оболочки нередко должны дополнительно удовлетворять требованиям стойкости в коррозионно-агрессивных средах и при других химических воздействиях. Для оболочек, подверженных действию высокой температуры, допускаемое напряжение следует назначать с учетом возможной ползучести материала.