5.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке

Расчетный случай 1. Длинная оболочка с круглым поперечным сечением нагружена погонными изгибающими моментами M₀ и погонными поперечными силами Q₀ по торцу при х = 0 (рис. 94).

Рис. 94

Интенсивность радиальной нагрузки равна нулю, и поэтому дифференциальное уравнение (5.32) будет однородным:

Интеграл его не содержит частного решения и имеет вид

(5.38)

Усилия M₀ и Q₀ вызывают местный изгиб, радиальные перемещения быстро затухают и одно из условий для определения произвольных постоянных C₁, . . ., С₄ можно записать так:

1) при х   w  0. Еще два условия можно записать для нагруженного торца:

2) при х = 0 М_x = М₀ 3) при х = 0 Q_x = Q₀ . Четвертого условия, как увидим, не понадобится.

Действительно, при х  

поэтому на основании первого условия получим

(5.39)

Чтобы это условие соблюдалось, круглая скобка должна быть равна нулю. Синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут, следовательно, условие (5.39) возможно, только если С₁ = С₂ = 0. Тогда уравнение (5.38) принимает вид

(5.40)

и для определения двух постоянных С₃ и С₄ достаточно двух условий: второго и третьего. Из второго условия найдем [см. формулу (5.26)]

(5.41)

и на основании формулы (5.17)

. (5.42)

Вычислим производные по х от выражения (5.40) для перемещения w:

(5.43)

(5.44)

(5.45)

Произвольную постоянную C₃ найдем, подставив выражение (5.44) в условие (5.41). Учитывая, что синус нуля равен нулю, косинус  единице, а е⁰ = 1, получим

откуда

. (5.46)

Подставив это выражение С₃ в выражение (5.45), найдем из уcловия (5.42)

откуда

. (5.47)

Подстановка значений (5.46) и (5.47) в формулу (5.40) дает уравнение изогнутой срединной поверхности оболочки

. (5.48)

Подставив выражения (5.46) и (5.47) в формулы (5.43), (5.44) и (5.45), получим

(5.49)

(5.50)

(5.51)

Введем для комбинаций показательной и тригонометрической функций , входящих в уравнения (5.48)  (5.41), следующие обозначения:

. (5.52)

Тогда радиальное перемещение

, (5.53)

а его производные

Имея выражения для перемещения w и его производных, можно, пользуясь соответствующими формулами, получить все усилия и перемещения в оболочке, в частности:

 угол наклона касательной к оси х

(5.54)

 изгибающий момент в меридиональном сечении

(5.55)

 поперечную силу в меридиональном сечении

. (5.56)

Для входящих в эти формулы функций (5.22) составлена табл. 4, дающая численные значения безразмерных величин в зависимости от х. При х > 0 все четыре функции по абсолютной величине меньше единицы. По мере возрастания х эти функции затухают, что подтверждает местный характер усилий и перемещений. При х = 0 (а значит, и при х = 0), функции равны единице, а функция равна нулю. Поэтому на торце цилиндрической оболочки:

 радиальное перемещение по формуле (5.53)

, (5.57)

где знак минус показывает, что при принятых за положительные усилия М₀ и Q₀ (см. рис. 94) и оси z, направленной по радиусу к центру кривизны, перемещение w происходит от центра (радиус R увеличивается);

 угол наклона касательной по формуле (5.54)

; (5.58)

 изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_x при х = О по формулам (5.55) и (5.56) получаются равными заданным на кромке величинам М₀ и Q₀.

Таблица 4

х				
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0	+ 1,0000 + 0,9907 + 0,9651 + 0,9267 + 0,8784 + 0,8431 + 0,7628 + 0,6997 + 0,6354 + 0,5712 + 0,5083 + 0,2384 + 0,0667 - 0,0166 - 0,04226 - 0,02583 - 0,00455	+ 1,0000 + 0,8100 + 0,6398 + 0,4888 + 0,3564 + 0,2415 + 0,1431 + 0,0599 - 0,0093 - 0,0657 - 0,1108 - 0,2068 - 0,1794 - 0,1149 - 0,05632 + 0,00189 + 0,00837	+ 1,0000 + 0,9003 + 0,8024 + 0,7077 + 0,6174 + 0,5323 + 0,4530 + 0,3708 + 0,3131 + 0,2527 + 0,1988 + 0,0158 - 0,0563 - 0,0658 - 0,04929 - 0,01197 + 0,00191	+ 0,0000 + 0,0903 + 0,1627 + 0,2189 + 0,2610 + 0,2908 + 0,3099 + 0,3199 + 0,3223 + 0,3185 + 0,3096 + 0,2226 + 0,1231 + 0,0491 + 0,00703 - 0,01386 - 0,00646

Расчетный случай 2. Оболочка нагружена радиальными погонными усилиями Р, распределенными по окружности в сечении х = 0 (рис. 95). Начало координат выбираем в сечении, в котором приложена радиальная нагрузка. Для каждой половины оболочки слева и справа от начала координат можно применить решение, полученное для расчетного случая 1.

Граничные условия для определения произвольных постоянных следующие:

1) х = 0, (касательная в месте приложения силы, вследствие симметрии изгиба оболочки, горизонтальна);

2) х = 0, (погонная поперечная сила Q₀ в начале координат равна половине радиальной нагрузки).

Рис. 95

Положительные направления изгибающего момента и поперечной силы показаны на рис. 94.

Пользуясь первым условием и формулой (5.58), находим

откуда

или, учитывая второе условие,

. (5.59)

Подставив значения Q₀ из второго условия и М₀ из формулы (5.59) в формулу (5.53), получим уравнение радиальных перемещений

, (5.60)

так как

.

Продифференцировав выражение (5.60), определим в функции x угол наклона касательной , изгибающий момент М_x и поперечную сил Q_x

(5.61)

(5.62)

(5.63)

Так как функции имеют наибольшее значение, равное единице при х и х равных нулю, а функция  при этом равна нулю, то

Эпюры w, M_x и Q_x показаны на рис. 96.

Видно, что координаты эпюр быстро убывают по мере удаления от сечения х = 0, в котором приложена радиальная нагрузка. При можно считать, что усилия и деформации пренебрежимо малы. Поэтому при длине оболочки можно полагать, что усилия и перемещения на одном конце не влияют на эти факторы на другом конце. Такие оболочки относятся к длинным оболочкам.

Рис. 96

Чтобы оценить величину l, подсчитаем ее при таких данных:

R = 0,5 м; h = 10 мм; E = 210⁵ МПа;  = 0,3;

Получим , что составляет примерно треть диаметра цилиндрической оболочки.

Расчетный случай 3. Оболочка нагружена радиальной нагрузкой, распределенной на части длины цилиндра. Для этого случая может быть использовано решение предыдущего расчетного случая, если считать, что нагрузка qd, действующая на длине d, (рис. 97) представляет собой погонную радиальную нагрузку Р.

Рис. 97

Перемещения и усилия в какой-либо точке А от нагрузки qd вычисляются по формулам (5.60)  (5.63) и полученное выражение интегрируется по длине загруженного участка. Например, радиальное перемещение в точке А от элементарной нагрузки dP', расположенной справа от точки А,

,

а от нагрузки, приложенной на полосе шириной b справа от точки А,

.

Аналогичное выражение можно составить для перемещения от нагрузки, расположенной слева от точки А на полосе шириной с. Для перемещения от всей нагрузки, расположенной на полосе шириной l = с + b, получится выражение

. (5.64)

Интегрируя таким же образом выражения для , М_х и Q_x, возникающие от погонных радиальных сил qd, можно получить соответствующие выражения для этих величин от радиальной нагрузки, расположенной на полосе шириной l.