5.8 Определение перемещении и усилий в короткой цилиндрической оболочке

Выше (расчетный случай 2) указывалось, что когда расстояние l между торцами или подкрепляющими кольцами цилиндрической оболочки меньше отношения , усилия и перемещения в оболочке следует определять, учитывая ее ограниченную длину. В этом случае удобнее пользоваться для интеграла дифференциального уравнения равновесия элемента (5.32) формулой (5.34), а не (5.33), а начало координат располагать в середине длины оболочки.

Кроме того, для определения произвольных постоянных интегрирования должны быть составлены другие граничные условия. Например, первое условие для расчетного случая 1, составленное в предположении равенства нулю радиального перемещения w при абсциссе х, стремящейся к бесконечности, не может быть использован для короткой оболочки, но имеется возможность использовать граничные условия на обоих торцах оболочки.

Для примера составим уравнение изогнутой срединной поверхности для нагрузки Q₀ и M₀ (см. расчетный случай 1), приложенной к короткой оболочке (рис. 105). Так как интенсивность нагрузки q = 0, уравнение изогнутой срединной поверхности в соответствии с формулой (5.34)

Рис. 105

Постоянные A определяем из следующих граничных условий:

Так как каждое из последних двух условий объединяет в себе два условия (плюс или минус ), число уравнений, необходимых для определения постоянных А, достаточно. Усилия и перемещения в коротких оболочках удобно выражать с помощью тригонометрических и гиперболических функций от .

5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке

1. Одинаковое постоянное изменение температуры во всех направлениях. Если торцы оболочки свободны и деформация ее как в радиальном направлении, так и вдоль образующей не стеснена, напряжения при равномерном изменении температуры не возникают. При любом способе симметричного закрепления торов (рис. 106) в торцевом сечении возникают те или иные реактивные погонные усилия: изгибающие моменты (M₀)_t, продольные (N₀)_t и поперечные (Q₀)_t силы.

а)	б)

Рис. 106

Для нахождения изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих при изменении температуры на , приравняем радиальные температурные перемещения, равные абсолютному изменению длины радиуса,

радиальным перемещеням w_x=0 в сечении х = 0, вызванным погонными моментами (M₀)_t и поперечными силами (Q₀)_t [см. формулу (5.57)]. Получим уравнение

, (5.86)

содержащее два неизвестных: .

Второе уравнение, содержащее эти два неизвестных, получится из условия равенства нулю угла  наклона касательной к оси х в защемлении (рис. 106,а) или в середине пролета (рис. 106,б). Для защемленной оболочки (рис. 106,a) это условие запишется по формуле (5.58)

, (5.87)

для опертой оболочки (рис. 106,б)  по формуле (5.54)

. (5.88)

Решая совместно уравнения (5.86) и (5.87) или (5.86) и (5.88), можно найти усилия (M₀)_t и (Q₀)_t, а затем w, Q_x и М_x в любом сечении с помощью формул (5.53), (5.55) и (5.56).

Погонная продольная сила (N_x)_t, возникающая при закреплении торцов оболочки, определяется из условия совместности деформации вдоль оси х

откуда

.

2. Постоянная разность температур в радиальном направлении. Обозначим через t₁ температуру на внутренней поверхности оболочки и через t₂  на наружной. В сечениях, удаленных от закрепленных торцов, или в случае, если торцы свободны, местного изгиба нет. Предположим, что температура и вызванные ею относительные линейные деформации изменяются по толщине h оболочки по линейному закону (рис. 107). Примем t₂ > t₁ и обозначим

.

Относительная температурная деформация наружного волокна оболочки

.

Рис. 107

С другой стороны, эта же деформация, на основании гипотезы плоских сечений

,

где ₁  радиус образующих цилиндра при изгибе.

Приравняв эти выражения друг другу, получим кривизну

. 5.89)

В то же время искривление образующей цилиндрической оболочки под действием изгибающего погонного момента М_х характеризуется кривизной [см. формулу (5.26)]

. (5.90)

Если торец защемлен, искривления образующей не происходит, погонный изгибающий момент М_х находим, приравнивая выражения (5.89) и (5.90):

Наибольшие нормальные напряжения в крайних волокнах

. (5.91)

В случае t₂ > t₁ знак плюс соответствует наружной поверхности оболочки, знак минус  внутренней. Около закрепленных торцов возникает местный изгиб, и на напряжение по формуле (5.91) алгебраически накладываются напряжения, вычисленные по значению, из условия удовлетворения граничным условиям.

3. Постоянная разность температур в направлении оси х. Изменение температуры вдоль оси х вызывает изгиб оболочки, обусловленный различными радиальными перемещениями поперечных сечений. Он может описываться дифференциальным уравнением, аналогичным уравнению(5.32), если подставить в него переменную интенсивность q, вызывающую такие же деформации, как и переменная температура.

Примем закон изменения температуры по длине оболочки

Относительное окружное напряжение по закону Гука

а погонная продольная сила

.

С другой стороны, N_у = —qR (см. рис. 101), откуда интенсивность радиальной нагрузки, эквивалентной температурному воздействию,

.

Подстановка этого значения в уравнение (5.32) дает

(5.92)

и задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения (5.92).