1.12 Возможные решения задач теории упругости

В уравнениях (1.2), (1.15), (1.24) являются неизвестными шесть компонентов напряжений (_х, _у, _z, _xy, _yz, _zx), шесть компонентов деформации (_х, _у, _z, _xy, _yz, _zx) и три компонента перемещений (и, v, w), т. е. всего 15 неизвестных. Таким образом, с математической точки зрения задача сводится к нахождению 15 функций, удовлетворяющих 15 уравнениям, а также условиям на контуре.

При прямом решении задачи, когда в решении участвуют все 15 уравнений, уравнения неразрывности деформаций, как вытекающие из (1.15) не нужны и могут исполнять роль контрольных уравнений.

Решение указанных трех групп уравнений можно вести разными путями. В связи с этим можно отметить три направления.

1. Принять за основные неизвестные перемещения точек упругого тела; тогда имеем три неизвестных функции

u = f₁(x,y,z), v = f₂(x,y,z), w =f₃(x,y,z). (1.36)

Для получения решений надлежит в физические уравнения (1.24) подставить геометрические соотношения (1.15), т. е. выразить напряжения через перемещения, и затем полученные выражения подставить в уравнения равновесия, в результате чего получим три уравнения

₁(u,v,w)=0, ₂(u,v,w)=0, ₃(u,v,w)=0, (1.37)

решение которых приведет к выражениям типа (1.36). Назовем этот метод методом перемещений.

2. Принять за неизвестные напряжения; тогда имеем шесть неизвестных функций

_x = Ф₁(x,y,z), _y = Ф₂(x,y,z), _z = Ф₃(x,y,z),

_xy = Ф₄(x,y,z), _yz = Ф₅(x,y,z), _zx = Ф₆(x,y,z). (1.38)

Так как напряжения из уравнений равновесия непосредственно не определяются, надо обратиться к уравнениям деформаций. Используя, например, уравнения неразрывности деформаций (1.17,а) и (1.17,б) с помощью (1.2) и (1.24) можно получить уравнения в форме:

F₁(_x,…,_zx) = 0 … F_e(_x,…, _zx) = 0. (1.39)

дальнейшее решение которых приведет к выражениям типа (1.38). Назовем этот метод методом сил.

3. Очевидно, возможен смешанный, метод, когда за основные неизвестные приняты некоторые из перемещений и некоторые из напряжений.

Что касается способов математического решения полученной системы уравнений, то здесь можно указать несколько направлений.

а) Точное решение прямой задачи, т. е. непосредственное интегрирование уравнений (1.37) или (1.39).

Основные затруднения при решении прямой задачи теории упругости заключаются обычно в точном удовлетворении решения (1.36) или (1.38) граничным условиям. Эти трудности снимаются при решении обратной задачи.

б) Решение обратной задачи, является сравнительно простым (так как связано лишь с дифференцированием функций).

Так, например, задаются перемещениями как функциями координат точки (х, у, z) и разыскивают на основании условий (1.15) деформации, а по ним с помощью (1.24) напряжения; знание последних дает возможность с помощью (1.4) установить поверхностные условия, т. е. внешние нагрузки, которым соответствуют заданные перемещения.

Располагая несколькими решениями обратных задач, каждая из которых соответствует своим граничным условиям, можно комбинированием таких решений получить решение и для некоторых прямых задач.

в) Оказался вполне удобным полуобратный способ Сен-Венана, согласно которому задают часть внешних сил и часть перемещений и разыскивают остальные факторы из условия удовлетворения соответствующих уравнений указанных выше групп.

Для облегчения решения некоторых уравнений теории упругости оказывается целесообразным способ последовательных приближений.

Одной из разновидностей такого способа оказывается использование в некоторых задачах вначале тех решений, которые являются каким-либо элементарным решением, например, найденным в курсе сопротивления материалов. Подстановка этих решений в уравнения теории упругости приводит к некоторым несоответствиям, из анализа которых можно найти путь корректировки предварительного решения, если и не дающий в итоге точного решения задачи, то приводящий к удовлетворительному для практики приближенному решению (более строгому, чем исходное элементарное решение).