5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами

Цилиндрическая оболочка, подкрепленная равноотстоящими кольцами, площадь сечения которых F, подвергается внешнему равномерно распределенному радиальному давлению интенсивностью q (рис. 98). Для нахождения усилий и перемещений в любом сечении следует наложить решение по схеме а (рис. 99), на решение по схеме б (расчетный случай 1). Задача определения радиальных перемещений w для такой оболочки статически неопределима и для ее решения необходимо составить уравнение совместности деформаций.

Рис. 98

а)

б)

Рис. 99

1. Кольца абсолютно жесткие. Силу взаимодействия, возникающую между кольцом и оболочкой, обозначим X: погонная поперечная сила по схеме б

. (5.65)

Уравнение совместности деформаций

. (5.66)

Оно представляет собой условие того, что радиальное перемещение оболочки в сечении х = 0, в котором расположено кольцо, произойти не может.

Перемещение оболочки от нагрузки q, которое было бы при отсутствии кольца, уничтожается перемещением оболочки , вызванным погонными усилиями Q₀ и M₀, возникающими в сечении х = 0 вследствие наличия в последнем подкрепляющего кольца. Верхние индексы “о” в формуле (5.56) показывают, что перемещения относятся к оболочке. Перемещение оболочки от нагрузки q по безмоментной теории [см. формулу (5.10)]:

.

По формуле (5.57) радиальное перемещение оболочки от действия погонной поперечной силы Q₀ и погонного изгибающего момента М_о

. (5.67)

Подставив указанные выражения (5.10) и (5.67) в уравнение (5.66), связывающее абсолютные значения перемещений, получим

.

Заменим Q₀ и M₀ в этом уравнении на неизвестные силы взаимодействия X. Поперечная сила Q₀ связана с Х зависимостью (5.65). Уравнение для замены М₀ на Х найдем из условия, что в силу симметрии изгиба оболочки касательная к изогнутой срединной поверхности оболочки в сечении х = 0 должна быть горизонтальна (см. рис. 98):

,

или на основании формулы (5.58)

.

C учетом формулы (5.65)

. (5.68)

Подставим в уравнение (5.66) выражения Q₀ и М₀ (5.65) и (5.68) и получим

,

откуда

.

Так как при помощи выражения для коэффициента затухания перемещений можно написать

, (5.69)

то окончательное выражение для погонной силы взаимодействия:

. (5.70)

Тогда погонная поперечная сила Q₀ и изгибающий момент М₀ в сечении х = 0 по оси подкрепляющего кольца по формулам (5.65) и (5.68)

;

.

Такие же выражения Q₀ и М₀ получатся для цилиндрической оболочки, нагруженной радиальной сжимающей равномерно распределенной нагрузкой у защемленной кромки. Условия деформации у такой кромки те же, что и в случае абсолютно жесткого подкрепляющего кольца.

2. Кольца могут деформироваться. В этом случае уравнение совместности деформаций следует записать так:

. (5.71)

Оно отличается от уравнения (5.66), так как радиальное перемещение оболочки, представленное левой частью уравнения, уже неравно нулю. Разность абсолютных величин перемещений оболочки, вызванных нагрузкой q и погонными усилиями Q₀ и М₀, должна быть равна обжатию кольца , вызванному погонной силой взаимодействия Х (рис. 100).

Радиальное перемещение точек кольца от погонной нагрузки Х

.

Сжимающее напряжение в кольце (рис. 101)

,

поэтому

,

где F  площадь поперечного сечения кольца.

Рис. 100

Выражения для Q₀ и М₀ через силу взаимодействия Х остаются такими же [см. формулы (5.65) и (5.68)], так как условия симметрии сохраняются.

Рис. 101

Если учесть значения всех величин, входящих в уравнение (5.71) совместности деформаций, получится выражение

. (5.72)

Заменив его выражением (5.69), произведя сокращение на и решив уравнение (5.70) относительно X, получим

. (5.73)

Представим решение (5.73) в виде произведения решения (5.70) для абсолютно жесткого кольца на коэффициент , учитывающий податливость кольца:

.

Коэффициент

учитывает уменьшение погонной силы X, получающееся при деформации подкрепляющего кольца. Оно тем ближе к единице, чем меньше толщина оболочки h и чем больше площадь сечения кольца F.

Зная X, по формулам (5.65) и (5.68) находим поперечную силу и изгибающий момент Q₀ и M₀ в сечении, в котором расположено кольцо. Имея величины Q₀ и М₀, можно найти возникающие от них радиальные перемещения и усилия Q_x и М_x на любом расстоянии х от кольца, пользуясь формулами (5.53), (5.55) и (5.56).