5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением

На рис. 84 показана оболочка вращения с постоянной толщиной, нагруженная нормальным давлением интенсивностью q. Вырежем из нее двумя меридиональными сечениями 1 и 2 и двумя экваториальными сечениями 3 и 4 малый элемент abcd, имеющий размеры ds₁ и ds₂. Радиусы кривизны R₁ и R₃ кривых 1 и 3 в какой-либо точке К оболочки совпадают, так как оба радиуса направлены по нормали к касательной плоскости I – I в этой точке.

Рис. 84

Центр кривизны 0₁ меридиональной кривой может лежать как внутри очертания оболочки, так и вне оболочки в зависимости от того, выпуклая она или вогнутая, и в зависимости от величины радиуса кривизны R₁, а центр кривизны 0₂ лежит на оси вращения . Геометрическое место радиусов R₃ представляет собой коническую поверхность с вершиной, расположенной на оси .Составим условия равновесия элемента abcd в виде суммы проекций всех сил, действующих на элемент, на нормаль п к оболочке, проведенную в центре элемента (рис. 85,а). Так как по четырем граням, которыми выделен элемент, в силу симметрии оболочки и нагрузки относительно оси вращения касательные напряжения отсутствуют, эти грани представляют собой главные площадки, а нормальные напряжения  главные напряжения: меридиональное _m и окружное _T.

а)	б)

Рис. 85

На рис. 85,б показаны три проекции элемента abсd и напряжения, действующие по его граням. Сумма проекций усилий, приложенных к элементу, на нормаль

Принимая и учитывая, что

,

получаем

или, после сокращения на произведение ds₁ds₂ и переноса давления q и толщины h в правую часть,

. (5.2)

Так как погонные усилия, действующие в экваториальном и меридианном сечениях,

,

можно получить уравнение (5.2), записанное через погонные усилия,

. (5.3)

Уравнение (5.2) или его разновидность (5.3) называется уравнением Лапласа.

При выводе формул Лапласа внутреннее давление q считалось положительным. Наружное давление q следует подставлять в формулы (5.2) и (5.3) со знаком минус. Радиусы кривизны R₁ и R₂ считаются положительными для выпуклого сосуда и отрицательными для вогнутого. При пользовании указанными правилами знаков положительное усилие или напряжение соответствует растяжению, а отрицательное  сжатию.

Уравнение Лапласа содержит два неизвестных  меридиональные и окружные напряжения (или усилия). Для их определения необходимо дополнительное уравнение, которое получается при отсечении от оболочки части ее и составлении условия равновесия для оставшейся части. Рассекающая плоскость Р  Р обычно выбирается нормальной к оси вращения , но стенка оболочки пересекается по нормали к меридиану (рис. 86). Отбрасывать удобно ту часть, на которой находятся опорные связи,  верхнюю на рис. 86,а и нижнюю на рис. 86, б и в.

Уравнение равновесия оставшейся части подвешенного сосуда, показанной на рис. 86,а сплошной линией, составляем в виде суммы проекции на ось вращения  всех сил, действующих на эту часть:

,

откуда

. (5.4)

В случае опертой оболочки, показанной на рис. 86,б и в, второй член G числителя формулы (5.4) будет отрицательным. В формуле (5.4) приняты обозначения: q_z  гидростатическое или газовое давление на уровне Р  Р (в случае гидростатического давления q_z =  (Н  z), где   объемный вес жидкости); G  вес жидкости в оставшейся части сосуда;   угол между касательной к меридиональному сечению на уровне Р  Р и осью вращения.

Первый член в числителе формулы (5.4) выражает вес цилиндра, имеющего радиус основания R₂ cos и высоту (H – z). Поэтому в случае опертой оболочки числитель формулы (5.4) представляет собой разность весов цилиндра с основанием, равным площади сечения Р  Р, и части сосуда, расположенной выше этого сечения.

Рис. 86 а)
	б) в)

Рис. 86

Эта разность пропорциональна разности объемов, показанных на рис. 86,б и в штриховкой. Если разность положительна, усилие N_m растягивающее (объем цилиндра больше объема сосуда  рис. 86,б), если разность отрицательна, усилие N_m сжимающее (объем цилиндра меньше объема сосуда  рис. 86,в).Рассмотрим применение этих уравнении в частных случаях.

1. Шаровая оболочка с радиусом R, нагруженная радиальной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 87).

Рис. 87

В этом случае в силу шаровой симметрии

(5.5)

и напряжение  в любой точке и по любому нормальному сечению может быть найдено без помощи дополнительного уравнения. Подстановка значений (5.5) в уравнение (5.2) дает

.

Относительная окружная и равная ей относительная меридиональная деформации по закону Гука

. (5.6)

С другой стороны, относительная окружная деформация

. (5.7)

Приравняв друг другу выражения (5.6) и (5.7), найдем радиальное перемещение

или, заменив  его выражением (5.6), получим:

.

2. Цилиндрическая оболочка с радиусом R, нагруженная нормальной к поверхности равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 88).

Рис. 88

В этом случае главные радиусы кривизны

R₁ =  и R₂ = R.

Поэтому на основании формулы (5.2) окружное (экваториальное) напряжение

,

где D  диаметр цилиндра.

Второе главное напряжение  меридиональное напряжение _m  находится из условия равновесия части оболочки слева от сечения А  А. Равнодействующая Q давления на торец уравновешивается усилиями, направленными вдоль образующей, действующими по кольцу, получающемуся при рассечении цилиндра плоскостью А  А. Тогда

,

откуда

.

При отсутствии торцовых днищ в коротком цилиндре _m = 0, а в длинном _m = _T.

Относительная окружная деформация _T для цилиндрической оболочки вычисляется так же, как и для шаровой [см. формулу (5.7)]. Такую же величину имеет и относительная радиальная деформация _r:

, (5.8)

но по закону Гука

. (5.9)

Приравняв выражения (5.8) и (5.9), найдем радиальное перемещение

или, заменив _T и _m их выражениями,

. (5.10)

При отсутствии торцовых днищ в короткой оболочке напряженное состояние можно считать линейным и перемещения вычислять по формуле

. (5.11)

Сравнение формул (5.10) и (5.11) показывает, что при плоском напряженном состоянии радиальное перемещение оболочки меньше, чем при линейном; для стальной оболочки коэффициент уменьшения

,

т. е. перемещения при плоском состоянии составляют 85% от перемещений, вычисленных в предположении линейного состояния.

3. Коническая оболочка с углом  при вершине, нагруженная нормальной к поверхности равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 89,а).

а	б

Рис. 89

В этом случае главные радиусы кривизны

и из уравнения (5.3) находим

.

Из уравнения равновесия

,

где Q  равнодействующая проекции на ось  нормальных давлений на оболочку.

Так как при длине образующей а боковая поверхность оболочки

равнодействующая

.

Меридиональное усилие

. (5.12)

Если в это выражение подставить найденное значение Q, то

.

и

.

4. Выражение для меридионального усилия N_m справедливо также в случае сосредоточенной силы Р, приложенной к вершине А конической оболочки по ее оси (рис. 89,б). В формуле (5.12) равнодействующую Q нужно в этом случае заменить на Р. Так как при этом распределенное давление q равно нулю, из уравнения Лапласа (5.3) следует, что окружное усилие N_T и окружное напряжение _T равны нулю.

Две главные площадки оболочки вращения совпадают с экваториальным и меридиональным сечениями. Третья главная площадка нормальна к первым двум и параллельна срединной поверхности. При действии на оболочку внутреннего нормального давления элемент 1, выделенный у ее наружной поверхности (рис. 90), находится в плоском напряженном состоянии, а у внутренней поверхности (элемент 2)  в объемном. Третья главная площадка испытывает главное напряжение  q, однако меридиональное и экваториальное напряжения, имеющие, как видно из уравнения Лапласа, порядок , значительно больше (в раз), чем q. Поэтому обычно третьим главным напряжением q пренебрегают и считают, что материал оболочки по всей толщине стенки находится в плоском напряженном состоянии.

Рис. 90