4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения
Мембрана обладает малой жесткостью на изгиб и поэтому обычно рассчитывается лишь на действие цепных продольных усилий Nх и Nу в срединной плоскости и на вызываемые ими равномерно распределенные по толщине напряжения. Прогибы w мембраны составляют обычно не менее пяти толщин h и в большую сторону не ограничиваются.
Реактивные усилия S на закрепленном контуре (рис. 72) направлены по касательной к изогнутой срединной поверхности мембраны. Они могут быть разложены на составляющие: вертикальную Sz и горизонтальную Sx. Наличие горизонтальной составляющей реактивного усилия (распора), возникающей при действии вертикальной нагрузки, особенность мембраны по сравнению с пластиной средней толщины и плитой.
Рис. 72
Дифференциальные
уравнения изогнутой поверхности мембраны
получаются из дифференциальных уравнений
(4.26) для пластины, у которой прогиб
превышает половину толщины, если положить
в них цилиндрическую жесткость D
равной нулю. Так как в выражении
цилиндрической жесткости модуль
упругости Е
нулю не равен, она будет равна нулю, если
дробь
можно считать пренебрежимо малой.
Функцию прогибов w и функцию напряжений в мембране можно найти из системы двух уравнений
.
(4.53)
Уравнения (4.53) решаются приближенно. Если функция найдена, выражения для растягивающих цепных усилий Nx и Ny в мембране могут быть вычислены по формулам
, (4.54)
а соответствующие цепные напряжения найдены из выражений
.
Изгибающие и крутящие моменты, а также перерезывающие силы и соответствующие им напряжения в мембране отсутствуют.
4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране
При выводе приближенных формул предполагается, что защемленная на контуре мембрана радиусом а и толщиной h (рис.72) изгибается, образуя шаровую поверхность, и что нагрузка q действует по нормали к этой изогнутой поверхности. При этих условиях усилия N и напряжение (рис. 73,а)
|
|
а) |
б) |
Рис. 73
по кромкам элемента, вырезанного из мембраны двумя взаимно перпендикулярными сечениями, окажутся одинаковыми. При размерах элемента, равных единице,
.
(4.55)
Согласно уравнению равновесия сумма проекций нагрузки и усилий, действующих по кромкам элемента на нормаль z к поверхности элемента
(4.56)
Центральный угол
выражаем через длину дуги кромки элемента
и радиус кривизны .
Замена в уравнении (4.56), ввиду малости
,
дает выражение:
для усилия 
;
для кривизны
.
(4.57)
Тогда для напряжения из формулы (4.55) получим
. (4.58)
Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности на основании зависимости (4.57)
.
Величина прогиба в середине мембраны получается на основании закона сохранения энергии
U = A. (4.59)
где U – потенциальная энергия деформации мембраны;
A – работа внешних сил на перемещениях, вызванных деформацией мембраны.
Потенциальная энергия мембраны
, (4.60)
где удельная потенциальная энергия деформации с учетом того, что на основании закона Гука
,
может быть выражена через напряжение следующим образом:
.
Тогда, на основании формулы, (4.58)
.
(4.61)
Зависимость между радиусом кривизны и прогибом w0 в середине мембраны (рис. 73,б)
или после возведения
скобки в квадрат и отбрасывания
как величины
высшего порядка малости
откуда
(4.62)
Подстановка этого значения в формулу (4.61) и значения и в формулу (4.60) дает выражение для потенциальной энергии
. (4.63)
Работа А внешних сил получится как интеграл, взятый по площади мембраны, половины произведения элементарной силы qdxdy на прогиб w (ху):
(4.64)
Интеграл в выражении (4.64) представляет собой объем Vш.с. шарового сегмента с высотой w0 и радиусом а:
или, если отбросить
,
.
Поэтому выражение (4.64) примет вид
. (4.65)
При подстановке значений (4.63) и (4.65) в выражение (4.59), получаем
.
Тогда прогиб в середине мембраны
Для стальной мембраны при = 0,3 прогиб
. (4.66)
Точное решение, полученное путем интегрирования дифференциальных уравнений (4.53), дает
.
Нормальное напряжение получается, если в формулу (4.58) подставить из формулы (4.62) и w0 из формулы (4.66):
или
.
Точное решение на базе системы (4.53) дает выражение
.