3. Реляционные операторы

7.4.1. Реляционная алгебра

Набор основных алгебраических операций состоит из восьми операций, которые делятся на два класса: теоретико-множественные операции и специальные реляционные операции.

Теоретико-множественные операции

Это объединение, пересечение, вычитание и произведение (расширенное декартово произведение). Первые три операции требуют от операндов совместимости по типу.

Два отношения совместимы по типу, если каждое из них имеет одно и то же множество атрибутов и соответствующие атрибуты определены на одном и том же домене.

1. Объединения отношений - при объединении двух отношений производится отношение, включающее все кортежи, входящие хотя бы в одно из отношений-операндов.

R1	а	б	в	R=R1 U R2	а	б	в
	д	е	а	R = R1 UNION R2	д	е	а
	и	к	л		и	к	л
					г	д	е
R2	и	к	л
	г	д	е

2. Пересечение отношений – операция пересечения двух отношений (R = R1 INTERSECT R2) производит отношение, включающее все кортежи, входящие в оба отношения-операнды.

R=R1R2

и

к

л

3. Разность отношений - отношение, являющееся разностью двух отношений (R = R1 MINUS R2), включает все кортежи, входящие в отношение – первый операнд; такие, что ни один из них не входит в отношение, являющееся вторым операндом.

R=R1–R2	а	б	в
	д	е	а

4. Декартово произведение отношений - при выполнении прямого произведения двух отношений производится отношение, кортежи которого являются конкатенацией (сцеплением) кортежей первого и второго операндов.

R=R1R2	а	б	в	и	к	л
R = R1 TIMES R2	д	е	а	и	к	л
	и	к	л	и	к	л
	а	б	в	г	д	е
	д	е	а	г	д	е
	и	к	л	г	д	е

Операции объединения, пересечения и декартова произведения ассоциативны и коммутативны. На рис. 7.3 приведены примеры теоретико-множественных операций применительно к базе данных «поставщики-детали».

A

B

S#

SNAME

STATUS

CITY

S#

SNAME

STATUS

CITY

S1

Smith

20

London

S1

Smith

20

London

S4

Clark

20

London

S2

Jones

10

Paris

a)

Объединение

(A UNION B)

S#

SNAME

STATUS

CITY

S1

Smith

20

London

S4

Clark

20

London

S2

Jones

10

Paris

б)

Пересечение

S#

SNAME

STATUS

CITY

(A INTERSECT B)

S1

Smith

20

London

в)

Вычитание

г)

Вычитание

(A MINUS B)

(B MINUS A)

S#

SNAME

STATUS

CITY

S#

SNAME

STATUS

CITY

S4

Clark

20

London

S2

Jones

10

Paris

Рис. 7.3 Примеры теоретико-множественных операций

Специальные реляционные операции

1 Ограничение отношения (выборка) – результатом ограничения отношения по некоторому условию является отношение, включающее кортежи отношения-операнда, удовлетворяющее этому условию:

A WHERE comp,

где A - ограничиваемое отношение,

comp - простое условие сравнения.

Можно использовать операции ограничения, в которых условием ограничения является произвольное булевское выражение, составленное из простых условий с использованием логических связок AND, OR и AND и скобок (рис. 7.4).

2 Проекция отношения - при выполнении проекции отношения на заданный набор его атрибутов производится отношение, кортежи которого производятся путем взятия соответствующих значений из заданных столбцов кортежей отношения-операнда, с исключением дублирующих кортежей (рис. 7.5).

3 Соединение отношений - при соединении двух отношений по некоторому условию образуется результирующее отношение, кортежи которого являются конкатенацией кортежей первого и второго отношений и удовлетворяют этому условию.

S where city =’London’			S#	SNAME			STATUS		CITY
			S1	Smith			20		London
			S4	Clark			20		London
P where weight < 14	P#	PNAME		COLOR		WEIGHT			CITY
	P1	Nut		Red		12			London
	P5	Cam		Blue		12			Paris
SP where S# = ‘S1’ and P# = ‘P1’					S#			P#	QTY
					S1			P1	300

Рис. 7.4. Примеры операций выборки

Имеются важные частные случаи соединения – естественное соединение и -соединение. Операция естественного соединения применяется к паре отношения A и B, обладающих (возможно, составным) общим атрибутом c (т.е. атрибутом с одним и тем же именем и определенным на одном и том же домене). Пусть ab обозначает объединение заголовков отношений A и B. Тогда естественное соединение A и B – это спроецированный на ab результат эквисоединения A и B по A.c и B.c (рис. 7.6).

S [CITY]		CITY
		London
		Paris
		Athens
P [COLOR, CITY]	COLOR	CITY
	Red	London
	Green	Paris
	Blue	Rome
	Blue	Paris
(S where city = ‘Paris’) [S#]		S#
		S2
		S3

Рис. 7.5. Примеры операций проекции

Основной смысл операции естественного соединения - возможность восстановления сложной сущности, декомпозированной по причине требования первой нормальной формы.

R=R1  R2	д	е	а	г	д	е
a1(R1)=a2(R2)

S#	SNAME	STATUS	CITY	P#	PNAME	COLOR	WEIGHT
S1	Smith	20	London	P1	Nut	Red	12
S1	Smith	20	London	P4	Screw	Red	14
S1	Smith	20	London	P6	Cog	Red	19
S2	Jones	10	Paris	P2	Bolt	Green	17
S2	Jones	10	Paris	P5	Cam	Blue	12
S3	Blake	30	Paris	P2	Bolt	Green	17
S3	Blake	30	Paris	P5	Cam	Blue	12
S4	Clark	20	London	P1	Nut	Red	12
S4	Clark	20	London	P4	Screw	Red	14
S4	Clark	20	London	P6	Cog	Red	19

Рис. 7.6. Естественное соединение S JOIN P

-соединение предназначается для тех случаев, когда требуется соединить вместе два отношения на основе некоторых условий, отличных от эквивалентности. -соединением отношения А по атрибуту Х с отношением В по атрибуту Y называется результат вычисления выражения (A TIMES B) WHERE X  Y, т.е. -соединение – это отношение с тем же заголовком, что и при декартовом произведении отношений А и В, и с телом, содержащим множество кортежей t, таких, что t принадлежит этому декартову произведению и вычисление условия “X  Y” дает значение «истина» для этого кортежа. Атрибуты X и Y должны быть определены на одном и том же домене, а операция должна иметь смысл для этого домена. Пример -соединения приведен на рис.7.7.

S#	SNAME	STATUS	CITY	P#	PNAME	COLOR	WEIGHT	PCITY
S2	Jones	10	Paris	P1	Nut	Red	12	London
S2	Jones	10	Paris	P4	Screw	Red	14	London
S2	Jones	10	Paris	P6	Cog	Red	19	London
S3	Blake	30	Paris	P1	Bolt	Red	12	London
S3	Blake	30	Paris	P4	Cam	Red	14	London
S3	Blake	30	Paris	P6	Bolt	Red	19	London

Рис. 7.7. Больше-соединение отношений поставщиков и деталей

по атрибуту города

4 Деление отношений - операция реляционного деления имеет два операнда: бинарное и унарное отношения. Результирующее отношение состоит из одноатрибутных кортежей, включающих значения первого атрибута кортежей первого операнда, таких, что множество значений второго атрибута (при фиксированном значении первого атрибута) совпадает с множеством значений второго операнда (рис. 7.8).

Дополнительно в состав реляционной алгебры включается операция переименования, производящая отношение, тело которого совпадает с телом операнда, но имена атрибутов изменены и операция присваивания, позволяющая сохранить результат вычисления реляционного выражения в существующем отношении БД.

R RENAME NAME1 AS NAME2

Поскольку результатом любой реляционной операции (кроме операции присваивания) является некоторое отношение, можно образовывать реляционные выражения, в которых вместо отношения-операнда некоторой реляционной операции находится вложенное реляционное выражение.

DEND

S#

P#

..

..

S1

P1

S2

P1

S1

P2

S2

P2

S1

P3

S3

P2

S1

P4

S4

P2

S1

P5

S4

P4

S1

P6

S4

P5

..

..

DOR

P#

DOR

P#

DOR

P3

P1

P2

P1

P4

P2

P3

P4

P5

P6

DEND DIVIDEBY DOR

S#

S#

S#

S1

S1

S1

S2

S4

Рис. 7.8. Примеры деления