2.4. Численные методы [15,16]

Численные методы приобрели большое значение с развитием ЭВМ. К преимуществам этих методов решения задач ОМД, по сравнению с аналитическими следует отнести: сравнительно легко контролируемая точность, возможность учёта необходимого числа реальных факторов, влияющих на характер пластических деформаций, таких как: упрочнение, тепловой эффект, неоднородность деформации и т.д. Применительно к задачам математической теории пластичности значительное распространение получили метод сеток и метод конечных элементов (МКЭ), суть которых состоит в замене сплошной среды конечным числом дискретных элементов.

Метод конечных элементов (МКЭ) является универсальным методом решения задач, встречающихся в физике и технике. Идея метода восходит ещё к Р. Куранту.Впервые под таким названием МКЭ опубликован в работе Тернера, Клука, Мартина, и Топпа. В настоящее время он широко применяется при решении разнообразных инженерных задач в строительной механике, при проектировании самолётов и ракет, различных пространственных оболочек, при решении задач электростатики, гидродинамики, механике сплошных сред и т.д. Литература по МКЭ весьма обширна.

Как правило, физическая задача рассматривается в вариационной постановке: найти функцию, удовлетворяющую определённым граничным условиям и доставляющую минимум некоторой физической величине (например, энергии). Основная идея МКЭ состоит в следующем:

1) область, в которой ищется решение, разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами;

2) решение ищется в виде непрерывной кусочно-полиномиальной функции, т.е. функции, являющейся многочленом в каждой подобласти. Эти функции называются пробными. Степень многочлена одна и та же для всех подобластей, коэффициенты – свои для каждой подобласти.

Недостатки численных методов: большие затраты машинного времени препятствуют решению оптимизационных задач, где требуется перебор вариантов, что ограничивает возможности метода. Особенно это проявляется при решении задач со свободными границами.

3. Реологические модели

3.1. О реологии

Создание общей теории определяющих уравнений является одной из основных задач важного раздела механики сплошных сред реологии (от греческого слова «reo» – теку, наука о течении материала) [6]. Реология должна ответить на вопрос: каковы напряжения (деформации) в окрестности данной материальной частицы в момент времени t при известном процессе ее деформирования (нагружения). Более точно, реология устанавливает вид функционалов,

или

описывающих термомеханические свойства различных сплошных сред. Решение этой задачи предусматривает проведение большого объема экспериментальных исследований и создание реологических моделей, позволяющих описывать реальные термомеханические свойства веществ.

Важные и типичные свойства материалов могут быть обнаружены в опытах по растяжению (сжатию) цилиндрических образцов. С целью получения однородного напряженного и деформированного состояния в средней части образца расчетная длина l₀ круглого цилиндрического образца в пять или десять раз превышает его диаметр d₀. Для испытаний обычно применяют разрывные машины, позволяющие автоматически строить первичную диаграмму растяжения. В этой диаграмме по оси координат откладывают усилия P, а по оси абсцисс – соответствующие им удлинения l.