Метрология и стандартизация / Rossiyskaya metrologicheskaya entsiklopediya. Tom 1 (Okrepilov) 2015

Задача оценивания погрешности измерения состоит в получении оценок характеристик погрешностей. Основные принципы анализа и оценивания погрешностей сводятся к следующему [4, 15]:

1.Для погрешностей оценивают показатели (параметры или функционалы), определенные в рамках принятых моделей.

2.Показатели погрешностей оценивают приближенно; их точность обусловлена целью и требуемой точностью измерения, а также объемом априорной информации.

3.Показатели погрешностей оценивают сверху; однакожелательныреалистические, неоченьзавышенные оценки показателей.

Такимобразом, основнымизадачамиприоценивании погрешностей являются:

–Описание погрешностей и выделение составляющих;

–Формированиемоделейпогрешностейиопределение показателей;

–Оценивание показателей составляющих погрешностей;

–Оцениваниепоказателейсуммарнойпогрешности. Составляющиепогрешностивыделяютсяпоразлич-

ным признакам [4, 15, 18]:

1)По причинам возникновения:

ζ= ζм + ζи + ζл,

где ζм – методическая погрешность – обусловлена несовершенством метода измерений;

ζи – инструментальная – обусловлена несовершенством средств измерений (СИ);

ζл – личная – обусловлена индивидуальными свойствами операторов.

Это разложение детализируется в соответствии с элементами измерения [18]:

ζ(Q) = ζ0 + ζ1 + ζ2+ ζ3 + ζ4 + ζ5+ ζ6 + ζ7,

где ξ0– обусловлена несоответствием свойств объекта исследований и его модели;

ξ1– взаимодействием СИ с объектом исследований; ξ2– помехой на входе СИ; ξ3 – неточным соответствием свойств реального СИ

и его модели; ξ4 – неточной реализацией методики измерений;

ξ5 – отсчитываниемпоказаний, помехаминавыходеСИ; ξ6 – неидеальностью алгоритма обработки данных; ξ7 – несовершенством вычислительного устройства. При этом составляющие: ξ0, ξ1, ξ4, ξ6 – относятся к методическим, ξ2, ξ3, ξ5, ξ7 – к инструментальным, ξ5– к

личным погрешностям.

2) По свойствам выделяются составляющие:

ζ(Q) = ϑ,

где ϑ – систематическая погрешность, которая при повторных измерениях остается постоянной или закономерно изменяется;

– случайная составляющая, которая изменяется нерегулярным образом.

Последнееразложениенаиболееважнодляобработки ЭД, посколькуопределяетвыбормоделейпогрешностей, показателейиметодовихоценивания. Так, случайныепогрешностиобычноописываютслучайнымивеличинами,

иих основными показателями являются дисперсия D

исреднее квадратическое отклонение (СКО):

σ = Dε .

СКО является наиболее компактной и удобной для преобразований характеристикой погрешности. В частности, сегопомощьюлегковыполняетсясуммирование случайныхсоставляющих. Однакоболеенаглядноепредставлениеовозможныхзначенияхпогрешностейдаетдоверительный интервал, который содержит погрешность с заданной доверительной вероятностью Р.

IV. Наиболеераспространеннымнапрактикеявляется случай прямых многократных измерений, при которых ЭД имеют вид:

хi=Q+ ε i+ , i=1...n,

где i случайные погрешности,– систематическая, n > 3.

Выбор алгоритма обработки определяется, прежде всего, информацией о случайных погрешностях ЭД [4, 15, 18]. Результат измерения и показатели случайной погрешности вычисляют непосредственно по выборке, используя статистические методы.

1. Чаще всего предполагают, чтослучайные погрешности ЭД имеют гауссовские распределения с плотностью вида:

ϕ (x) = exp{−(x − a)2 / 2σ 2 }/ σ 2π ,

именно для этой модели наиболее полно разработан статистический аппарат. Тогда в качестве результата измерения принимают среднее арифметическое выборки

x = 1 ∑n xi ;

n i=1

СКО и доверительная граница случайной погрешности имеют вид

S(x ) = S n и ε P = tP S / n ,

где СКО выборки S оценивается по формуле:

tP – коэффициент Стьюдента (с n-1 степенями свободы).

Однако эти оценки являются оптимальными только при гауссовском распределении ЭД; при отклонениях от него можно использовать другие оценки измеряемой величины и, соответственно, погрешностей.

2.Если ЭД имеют экспоненциальное распределение

сплотностью вида:

p(x) = e− x−a /λ / 2λ ,

товкачестве результата измерения принимается выборочнаямедианаmed, котораяопределяетсякаксреднее вупорядоченнойповозрастаниювыборкеx′1 ≤x′2 ≤... ≤x′n:

такжеопределяютсяпоупорядоченнойвыборкеиимеют

устойчиваквозможнымотклонениямотпринятоговида распределения и имеет широкую область применения; поэтомуонатакжеиспользуетсяпрималойинформации

ораспределении ЭД.

3.Если ЭД имеют равномерное распределение на интервале (Q − l, Q + l), то в качестве результата измеренияпринимаетсясерединаразмаха, тоестьполусумма наибольшего и наименьшего значений выборки:

ДоверительнаяграницаиСКОпогрешностиприэтом вычисляются по формулам:

Однако эти оценки справедливы лишь для равномерного распределения ЭД; при нарушении этого условия погрешности резко возрастают (и их оценивание затруднено). В этом отношении оценка Qr существенно отличается от медианы, которая остается надежной оценкой в широкой области.

4. Если распределение ЭД отлично от гауссовского, но остается близким к нему, то за результат измерения можно принять усеченное среднее, вычисленное по сокращеннойвыборке, послеудаленииизнееопределенной долиα(например, 5%) крайних(наименьшихинаибольших) элементов [4, 18].

ПриведенныеметодыобработкиЭДкраткоотражены в таблице 2. При этом представлены основные группы: классическиеоптимальныеалгоритмы, включаясреднее x , устойчивые, включая усеченное среднее, и эвристические, включая медиану.

V. Оценивание систематических погрешностей существенно отличается от случайных составляющих, поскольку преимущественно опирается на априорную информацию. Преждевсего, изучаютиаппроксимируют регулярно изменяющиеся систематические составляющие. Вомногихслучаяхнанихудаетсявнестипоправки,

итогда подлежат оцениванию неисключенные остатки систематических погрешностей (НСП).

При оценивании НСП принимают интервальные (детерминированные) или квазистатистические модели

ииспользуютразличныеэвристическиеметоды[15, 16].

Предполагают, что НСП представлена в виде суммы

элементарных составляющих ϑι, для которых заданы границы Θi, i = 1…m. Основными показателями НСП также являются границы, которые вычисляют различными способами.

1)АрифметическаяграницаНСПявляетсянадежной, но обычно завышена:

m

Θa = ∑ Θi .

i=1

2) В предположении о нерегулярном изменении составляющих НСП (условно описывая их случайными величинами с равномерными распределениями в заданных границах), для суммарной НСП оценивают доверительную границу

m

ΘP = kP ∑ Θi2 ,

i=1

где коэффициенты принимают: k0.95=1,1 при доверительной вероятности P=0,95; k0.90=0,95 при P=0,90;

k0.99=1,4 при P=0,99 и m > 4.

VI. Присуммированиислучайнойисистематической составляющих, то есть оценивании суммарной погрешностипохарактеристикамсоставляющих, такжеиспользуют эвристические методы [15, 16].

1)Арифметическаяграницасуммарнойпогрешности надежна, но обычно завышена:

∆a = ε P + ΘP .

2)При статистическом суммировании сначала проверяютвозможностьпренебречьоднойизсоставляющих погрешности. Дляэтоговычисляютотношениеграницы систематической и СКО случайной составляющих:

r = Θ / Sε . Еслиr < 0,8 , тосистематическаяпогрешность

мала, ипринимают ∆P = ε P ; еслиr >8, тослучайнаяпогрешность мала, и принимают ∆P = ΘP .

Если 0,8 < r < 8 , то учитывают две составляющие, и приближенная доверительная граница суммарной погрешности вычисляется по одной из эмпирических формул:

а) ∆ = k[ΘP + ε P ];

kΣ = (ε P + ΘP ) / (Sε + Sϑ ) .

VII. Приведенные выше способы оценивания составляющих применимы, прежде всего, для прямых многократных измерений [15, 16] и регламентированы [2]. Для других категорий измерений алгоритмы вычисления результатов измерений по ЭД будут отличаться от приведенных; основные группы алгоритмов приведены втаблице2. Однакообщиеметодыоцениваниясистематическихпогрешностейисуммированиясоставляющих остаются справедливыми для всех категорий [18].

Вобщемслучае, еслиалгоритмвычислениярезультатаизмеренияпредставленвявномвиде: Q = F ( x1, …, xn, y1, …, yn), погрешностьизмерениязадаетсявыражением:

где ζ M – методическая погрешность; ηxi = ∂ F / ∂ xi , ηyi =∂ F / ∂ yi – коэффициенты влияния.

Оценки погрешности измерения зависят от формы задания погрешностей ЭД.

1) Если заданы границы суммарных погрешностей

погрешности измерения, детерминированные или доверительные:

2) Если заданы характеристики составляющих – СКО случайных и границы систематических погрешностей ЭД, то СКО случайной погрешности результата измерения:

VIII. Построение функциональных зависимостей (ФЗ) по ЭД (совместные измерения) – одна из важных измерительныхзадач, например, припостроенииградуировочных характеристик СИ [1, 5, 6, 10, 12, 17]. Чаще всего встречаются следующие виды ФЗ:

а) линейные Y = a + bX ;

б) нелинейные, приводимые к линейным преобразованием переменных;

в) линейные комбинации известных функций

Y = ∑k a j g j ( x) .

j=1

ТрадиционноприпостроенииФЗосновнымявляется классический метод наименьших квадратов (МНК) [6, 10], который дает оптимальные оценки в случае, если аргументы Xi известны точно (или погрешности пренебрежимо малы), а погрешности измерений Yi имеют гауссовские распределения.

При нарушении указанных условий можно использоватьдругиеметоды, например, обобщенныеМНК, робастные и эвристические алгоритмы. Основные группы алгоритмовтакжепредставленывтаблице2. Например, призначимыхпогрешностяхаргументов(конфлюентная модель) можно применять различные конфлюентные алгоритмы [4, 12, 17].

IX. Из приведенных выше рассуждений и таблицы 2 видно, что в современных измерительных задачах используютразнообразныеалгоритмыобработкиЭД, втом численетрадиционныеидостаточносложные. Сведения о свойствах ЭД на практике весьма ограничены, поэтому обоснование выбора алгоритма и его параметров в конкретных задачах, а также оценивание погрешностей результатов вызывают затруднения. Однако свойства алгоритмов обработки, вместе со свойствами СИ и ЭД, влияют на качество измерений. Поэтому актуально определение показателей (характеристик), которые даютнаглядноепредставлениеобобластипримененияи свойствахалгоритма, обеспечиваютвозможностьвыбора алгоритмовиоцениванияпогрешностейрезультатов. ИсследованиеалгоритмовнаунифицированныхмоделяхЭД сцельюопределенияхарактеристикназываетсяаттестацией алгоритмов [11, 19, 23] (по аналогии с аттестацией СИ и методик измерений). При выполнении аттестации алгоритмов обработки ЭД в метрологии принята следующая общая схема [19, 23]:

1) ВыделяютоднороднуюгруппуалгоритмовA={a}, предназначенных для решения группы задач обработки ЭД.

2) Для выделенной группы алгоритмов выбирают: а) П1, ..., Пn – показатели алгоритмов, характеризующие свойства алгоритмов и позволяющие их сопо-

ставлять;

б) u1, ..., um – типовыемоделиЭДнавходеалгоритма, характерные для данной измерительной задачи.

3) Вычисляют(оценивают) значенияпоказателейалгоритманатиповыхмоделяхЭД(числалибозависимости показателейалгоритмаотпараметровЭД); результатыат-

тестациипредставляютввидематрицы: П(a)= ||Пi(a, uj)||. Общая схема аттестации конкретизирована применительно к отдельным наиболее распространенным на практикегруппамалгоритмовобработкиЭД[18, 19, 23], в том числе: при прямых и косвенных измерениях, при построении ФЗ, а также при определении экстремумов сигналов. Следуетподчеркнуть, чтоаттестацияалгоритмов на типовых моделях ЭД не заменяет их проверку на

реальных ЭД, а лишь дополняет ее.

Выделяют три группы показателей алгоритмов: точности, устойчивости и сложности.

Показатели точности позволяют оценивать погрешности результатов, если ЭД соответствуют принятым типовым моделям. К ним относятся: СКО и границы (детерминированные или доверительные), и другие показатели, обусловленные задачей обработки.

Характеристикиустойчивостиалгоритмовотражают влияниенарезультатывозможныхотклоненийреальных ЭД от типовых моделей, а также задают допустимые области (границы) параметров ЭД, в которых алгоритм работает без сбоев. Статистический показатель устойчивости алгоритма – точка срыва, равная максимальной

доле искажений ЭД, при которой смещение результата остается малым.

Показатели сложности характеризуют трудоемкость применения алгоритма в зависимости от объема ЭД или размерности задачи. Например, арифметическая сложность – это число элементарных операций при преобразовании ЭД в результат измерения.

Модели ЭД формируют как сочетания моделей полезных сигналов и погрешностей. Модели полезных сигналов обычно основаны на уравнениях измерений; дляпогрешностейзадаютмоделислучайныхисистематических составляющих.

Случайныесоставляющиепредставляютслучайными функциямистиповымираспределениями(гауссовским, равномерным, экспоненциальным и другими); систематические – детерминированными функциями простого вида (постоянными, линейными, гармоническими и специфическими для данной задачи).

Для определения значений показателей на моделях ЭДПi (a, uj) совместнореализуютаналитическийподход и статистическое моделирование: асимптотические показатели оценивают аналитически, при малых размерах задач – путем моделирования. Такие показатели дают пользователям информацию, которая позволяет рационально выбирать алгоритмы для решения конкретных задачиоцениватьпогрешностиполучаемыхрезультатов обработки.

Литература

1.Вучков Н., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. – М.: Финансы и стати-

стика, 1987.

2.ГОСТ Р 8.736-2011. ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения.

3.ГОСТ Р ИСО 5725-2002. Точность (правильность и прецизионность) методовирезультатовизмерений. Ч. 1 – 6.

4.Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экс-

периментальныхданныхприизмерениях. – Л.: Энергоатом-

издат, 1990.

5.Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. – М.: Финансы и статистика, 1981.

6.Долинский Е.Ф. Обработка результатов измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1973.

7.Земельман М.А. Метрологические основы технических измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1991.

8.Крейнович В.Я., Резник Л.К. Методы и модели фор-

мализации априорной информации в измерительных процедурах// Анализиформализацияизмерительногоэксперимента: Сб. науч. тр. / НПО«ВНИИМим. Д.И. Менделеева».

Л., 1986. С. 37–41.

9.КузнецовВ.А., ЯлунинаГ.В. Основыметрологии: Учеб. пособие. – М.: Изд-во стандартов, 1995.

10.ЛинникЮ.В. Методнаименьшихквадратовиосновы теории обработки наблюдений. – М.: Физматгиз, 1961.

11.МИ 2174-91. ГСИ. Аттестация алгоритмов и программ обработки данных при измерениях. Основные положения.

12.МИ 2175-91 ГСИ. Градуировочные характеристики средств измерений. Методы построения и оценивания погрешностей.

Прошедшее после издания в 2001 г. «Российской метрологической энциклопедии» пятнадцатилетие внесло существенные изменения в интерпретацию и содержаниесамогомолодогоразделатеоретическойметрологии– математическойметрологии. Дополнительно куказаннымв[1] задачам«формализацииописанияобъектов, процедур, условий и средств измерений, а также формированияразвитогоалгоритмическогообеспечения метрологическогоанализарезультатовизмерений, атакжеметрологическогосинтезаизмерительныхпроцедури измерительныхцепей, удовлетворяющихпредъявляемым требованиям», в составе математической метрологии формируетсяновыйраздел– «Идентификацияобъектов

иотношений». Этот раздел объединяет достижения т.н. обобщеннойметрологии, опирающейсянатеориюшкал,

идостиженияоперационалистскогоподходакописанию процедур измерений (уравнений измерений) в виде последовательности элементарных измерительных преобразований, позволившегосформироватьвзаимоувязанное алгоритмическоеобеспечениеметрологическогоанализа

иметрологического синтеза.

Современная[2] математическаяметрологияопределяетсякактеорияматематическихмоделейобъектов, процедур, результатовисредствизмерений. Соответственно возникает фундаментальный вопрос о связи объекта и модели измерений с истинным значением измеряемой величины. Этотем более актуально, что высказываются сомнениявцелесообразностииспользованияаксиомыо наличииистинногозначениявеличины. Достаточноуказать на «Руководство по выражению неопределенности измерений» [3], вкоторомтщательноизбегаетсяиспользование понятия истинное значение, а, соответственно, по возможности, и понятия погрешность.

Несмотрянапродуктивностьприменениянеопределенности измерений для широкого круга прикладных задач, этот подход не оправдывает себя при формировании исходных положений современной метрологии. Поскольку непротиворечивая формальная теория требует четкого определения аксиоматических основ,

рассматриваемая математическая метрологиястроится наосновеаксиомосуществованииистинногозначения измеряемой величины и о невозможности его определения с помощью измерений. Это позволило построить с использованием операционалистского подхода формальную систему описания процедур, результатов и свойств результатов измерений, а также базовое алгоритмическое обеспечение метрологического анализа [2] процедур и результатов измерений и метрологического синтеза требуемых процедур (средств), что подтверждает продуктивность использования данных аксиоматических основ.

Современные подходы к описанию и анализу физических объектов и явлений основаны на использовании их математических моделей. Качество моделей определяетсяобъемомидостоверностьюиспользуемойприих построенииинформации. Модельможетбытьпостроена ввидекортежа(упорядоченнаясовокупностьхарактерис-

объектагдеX.i – i-йэлементкортежа, представляющегомодель

МоделипроцедурМn представляютсяввидеалгоритмов (последовательностью операций).

Mn = Tm ...T1( ) , (2)

гдеTi – i-яоперациявпоследовательности, составляющей модель процедуры.

Элементами модели объекта могут быть параметры, отношенияиболеепростыемодели. Элементамимодели процедуры могут быть функциональные, логические, теоретико-множественные и реляционные операции.

Степень адекватности модели определяется достоверностьюфигурирующихвмоделипараметровиотношений(соответствиемреальным), аполнота– глубиной детализации описания объекта (явления).

Принятые аксиоматические основы математической метрологии исходят из того, что измерение – физический эксперимент, обеспечивающий преобразование

информацииозначениивеличиныизаналоговойформы вчисловую. Иначеговоря, измерение– аналого-цифровое преобразование.

Формальноизмерение– отображениезначениявеличины λв пару (x, e)

λ → λ* = (x,e) , (3)

где λ – результат измерения, x – действительное число, e – используемая единица.

Посколькуопределитьточное(истинное) значениеλс помощьюизмерений(техническихсредств) невозможно, результат измерений λ всегда отличается от истинного значения λ. Разность между ними (погрешность) характеризует точность результата измерений

Из-за того, что истинное значение измеряемой величины λ неизвестно, погрешность также установить невозможно. Дляоцениванияпогрешностииспользуются т.н. эталонные средства, воспроизведение которыми известных значений величины λ осуществляется с точностью, превышающей установленным образом точность рабочего средства измерений. С помощью эталонов можно получить оценку погрешности

Здесь λ∂ – воспроизводимое эталонным средством значение λ, т.н. действительное значение.

В силу указанного отличия λ∂ от λ ∆*λ* ≠ ∆λ* , но поскольку

∆λ∂ = λ∂ − λ << ∆λ* ,

а ∆*λ* = ∆λ* + ∆λ∂ ,

то δ (∆*λ* ) = ∆*λ* − ∆λ* << ∆*λ* .

Иначеговоря, степеньприближенияоценкипогрешностикистинномузначениюпогрешностиопределяется точностьюэталонногосредства, меройкоторойявляется погрешность ∆λ∂ .

Приведенныерассужденияпредполагают, чтодругих причин отличия ∆*λ* от ∆λ* , кроме погрешности действительного значения ∆λ∂ , нет.

Данный подход к формированию основ метрологическогоанализа(определенияпогрешностейрезультатов измеренийихарактеристикпогрешностей) позволилсоздать ныне действующую систему обеспечения единства измерений (верификации процедур, средств и результатовизмерений), анеуклонноерасширениеиповышение метрологическогоуровняэталонныхсредствпозволяют обеспечиватьвозрастающиетребованиякфункциональнымвозможностямиметрологическимхарактеристикам измерительных средств.

Процедуры, погрешности, характеристики погрешностей

Базоваямодельматематическойметрологии, свидом которой согласовываются описания других моделей объектов, результатов и средств измерений, а также алгоритмическое обеспечение метрологического анализа и синтеза – математическая модель процедуры (процес-

са) измерений. Модель процедуры измерений принято называть уравнением измерений. Основной принцип

ее построения – представление процедуры измерений

ввиде последовательности известных элементарных измерительных преобразований. При этом уравнение измерений приобретает следующий вид:

Здесь L(.) – оператор, представляющий процедуру (алгоритм) измерений в целом, γ j (t, r ) – входное воздействие – носитель информации о значении измеряемой величины λj, в общем случае функция времени t и аргумента r , Ri (.) – оператор, представляющий i-ое элементарное измерительное преобразование.

Учитывая отмеченную выше особую роль аналогоцифровогопреобразования, (6) можетбытьпредставлено

гдеRАЦ – оператор, представляющийаналого-цифро- вое преобразование.

Очевидно, чтовсепреобразования, предшествующие аналого-цифровому, аналоговые, а следующие за ним – числовые.

Уравнение (6) представляет собой реализуемую измерительную процедуру. При необходимости сопоставить ее с идеальной измерительной процедурой, когда все включенные в нее элементарные измерительные преобразования реализуются идеально, т. е. полностью соответствуют задуманной (идеальной) процедуре, последнюю представляют следующим образом:

λ*j u = Luγ j (t) = Rmu …R1uγ j (t, r ) , (8)

где Lu (.) – оператор, представляющий идеальную процедуру (идеальный алгоритм) измерений в целом, R1u (.) – оператор, представляющий идеальное i-ое элементарное измерительное преобразование.

Наконец, при необходимости представить истинное значениеизмеряемойвеличиныобращаютсякт.н. гипотетическомууравнениюизмерений, особенностькоторогов том, чтовотличиеотуравненийреализуемойиидеальной процедуризмерений, внеммогутфигурироватьфизически нереализуемые (гипотетические) преобразования. Это и обеспечивает возможность представления истинного значения измеряемой величины. Его вид:

где LГ(.) – оператор, представляющий гипотетическую процедуру (гипотетический алгоритм) измерений вцелом, RiГ (.) – оператор, представляющийгипотетическое i-ое элементарное измерительное преобразование.

Выражения(6) – (9) описываютизмерительнуюпроцедуру на операторном уровне, определяющем число

ипоследовательность составляющих ее элементарных преобразований. Конкретизация описания измерительной процедуры осуществляется с помощью перехода от операторной формы уравнения измерений к аналитикоалгоритмической, когда процедура представляется спомощьюаналитическихвыражений, логическихопераций

иотображений. Подобные переходы от операторной формы уравнения измерений к аналитико-алгоритми- ческой необходимы для конкретизации формируемых

описаний и получаемых результатов метрологического анализа и синтеза.

Сопоставление двух форм представления процедуры измерений наглядно проводится на примере аналогоцифрового преобразования (простейшей измерительной процедуры), основу которого составляет квантование. Однако, необходимость представления результата в виде именованного числа, соотнесенного с конкретным моментом времени tj, требует, помимо квантования (RK), выполнениятакихпреобразований, какдискретизация(RД) и масштабирование (RM). Аналого-цифровое преобразование фигурирует, как правило, в любой измерительной процедуре как ее составная часть. Само аналого-цифро- вое преобразование также может выступать в качестве измерительной процедуры, причем эта измерительная процедура содержит необходимый минимум измерительных преобразований, что позволяет определить ее как простейшую. Измерительный модуль, реализующий простейшуюизмерительнуюпроцедуру, принятоназывать аналого-цифровой преобразователь (АЦП).

Уравнениеаналого-цифровогопреобразованиявопе- раторнойформе, составляемогоданнымитремяоперациями, при измерении величины λ имеет следующий вид:

– реализуемое аналого-цифровое преобразование;

– идеальное аналого-цифровое преобразование;

– гипотетическоеаналого-цифровоепреобразование, где λ j (t j ) – истинное значение поступающей на вход величины в момент времени tj.

Аналитико-алгоритмическое представление анало- го-цифрового преобразования определяется принятым описанием операций дискретизации, квантования и масштабирования.

Так, при представлении результата дискретизации интегральной формой

∆t∂ – интервал времени, затрачиваемый на выполнение дискретизации,

h(t,t! ) – импульснаяпереходнаяхарактеристикааналоговогомодуляравномерногоквантованияоператором E[·] для формирования целой части отношения квантуемой величины (результата дискретизации) к интервалу квантования ∆kλ

где i – целое число, представляющее интервал квантования, а масштабирования – произведением

где ∆uk λ – интервал идеального равномерного квантования, приходим к следующей аналитико-алгоритми- ческой форме уравнения (10):

t j+∆t∂

λ*j = E[ ∫ λ j (t! ) h(t,t! )dt! / ∆k λ ] ∆uk λ . (16)

t j

Для удобства представления уравнения измерений в аналитико-алгоритмическойформеиспользуютсяследу- ющие обозначения:

t j+∆t∂

E [ ∫ λ j (t! )h(t,t! )dt! / ∆k λ ] =[λ j (t)]h∆k λ .

t j

Тогдауравнение(16), представляющеереализуемую процедуру аналого-цифрового преобразования, приобретает следующий вид:

где <·> – результат преобразования, выполняемого в числовой форме.

Соответственно, уравнениеидеальногоаналого-циф- рового преобразования:

иуравнениегипотетическогоаналого-цифровогопре- образования, представляющегоистинноезначение λ j (t j ) :

∆uk λ →0

В последнем уравнении фигурируют физически не-

реализуемые безынерционные преобразования hu (t,t! ) = δ (t − t j ) .

Здесь δ – функция Дирака, характеризующая бесконечноебыстродействиеиспользуемоговычислительного устройства.

Вышеприведенные уравнения представляют процедуруизмерений, состоящуюизпоследовательновыполняемых элементарных измерительных преобразований. Возможны процедуры, в которых ряд подобных последовательностей выполняется параллельно. Подобные процедуры (параллельные измерения) описываются с помощью систем уравнений следующего вида:

Здесь Ri l – i-ое элементарное преобразование в процедуре измерения l-го параметра λl.

В процедуре, представляемой уравнением (20), измерениявеличин {λl }llmax=1 могутвыполнятьсяпараллельно многоканальнымиизмерителямиилипараллельно-после- довательнымиизмерителямимультиплексорноготипа, в которых используются, наряду с индивидуальными для разныхканалов(реализуютпреобразования, представляемыеоператорамиRi l), т.н. групповыемодули, обслуживающиенеодин, анесколькоканалов(соответствующие операторы обозначаются Rгр). Общее уравнение (20) представляетпараллельныемногопараметрическиеизмерения. Применительнокпараллельно-последовательным многопараметрическимизмерениямсоднимгрупповым модулем (20) приобретает следующий вид:

Данное выражение нетрудно трансформировать для параллельно-последовательныхмногопараметрических измерений с несколькими групповыми модулями.

Различаются не итеративные (см. выше) и итеративные измерения. Последние характеризуются наличием циклов (итераций), связанных с формированием промежуточных и вспомогательных результатов.

Пример. При выполнении косвенных измерений на основе соотношения λ = f (γ 1,γ 2 ) , реализуемого в числовойформе, уравнениеизмеренийможетбытьпредставлено следующим образом:

λ*j =< f (<< [γ 1 j (t)]h∆kγ1 >< ∆ukγ 1 >>, << [γ 2 j (t)]h∆ukγ 2 >< ∆ukγ 1 2 >>) > .

Здесь два цикла (две итерации) обеспечивают фор-

мирование значений γ 1*j и γ 2*j , а третий – выполнение операции f (γ 1*j ,γ 2*j ) , т. е основного функционального преобразования двух параметрических косвенных измерений.

В общем случае уравнение итеративных измерений

Общее число итераций равно lmax+ 1.

Свойства результатов измерений представляются его характеристиками, важнейшей из которых является погрешность (мера точности).

Исходяизприведенногоранеебазовогоопределения погрешностиввидеразности∆ λ* = λ* – λ(см. (4)), приходимсучетомуравненийреализуемойигипотетической процедур измерений к выражению:

Подобноепредставлениепогрешностипозволяетразложитьеенакомпоненты, каждыйизкоторыхобусловлен однимизэлементарныхизмерительныхпреобразований, обеспечиваяприэтомвыполнениеследующегоусловия:

i=1

где ∆iλ*j – составляющая полной погрешности, обусловленная i-ым элементарным измерительным преобразованием.

Примером разложения полной погрешности на m компонентов может служить такое, когда

Из (22) следует, что ∆iλ*j обусловлено отличием Ri(.) от RiГ(.) и при этом условие (22) выполняется. Легко показать, что приведенный способ разложения полной погрешности на m компонентов не единственный. Примером другого способа корректного разложения полной погрешности служит следующий:

Всего способов корректного разложения полной погрешности на m компонентов 2m-1.

Пример. Применительно к простейшей измерительной процедуре при измерении величины u

u*j =<<[u j ]h∆k u >< ∆uk u >>

разложение полной погрешности на компоненты в соответствии с (26) выглядит следующим образом:

∆u*j = ∆∂u*j + ∆k u*j

– погрешностьиз-заотличияреализуемойдискретизации от гипотетической,

– погрешность из-за отличия реализуемого квантования от гипотетического.

Поскольку погрешности результатов измерений имеют случайный характер (т.к. результат измерений – случайная величина), для описания их свойств используются вероятностные характеристики (ВХ). Очевидно, чтокаждомуизмерительномуэксперименту(результату

измерений) соответствует погрешность ∆λ*j (случайная величина). Упорядоченному множеству измерительных

экспериментов{ИЭ j } N= соответствуетупорядоченное

j 1

множествопогрешностей {∆λ*}N= . Множествопогрешно-

j j 1

стей {∆λ*j }Nj=1 можетпорождатьсясоответствующиммно-

жеством средств измерений {CИj }Nj=1 или ограниченной

совокупностью средств измерений {CИ }N= (n < N), но

j j 1

привыполнении имипоследовательно вовременисоответствующего числа измерений. Бесчисленное множе-

ство измерительных экспериментов {ИЭj }∞j=1 (ансамбль)

порождает ансамбль погрешностей {∆λ*}∞= .

j j 1

Ансамбль случайных величин – принятая в матема-

тической статистике модель, позволяющая построить систему определений вероятностных характеристик, представляющих ее свойства.

Существует два определения ВХ:

разование, лежащеевосновеопределениявероятностной

характеристики Θ[∆λ*j ] ,

w(∆λ*j ) – плотность распределения вероятности (∆λ*j ) ,

Определение (27) принято в теории вероятностей

и предполагает знание w(∆λ *j ) . Определение (28) используется в математической статистике и для его

применения требуется наличие выборки {∆λ*j }Nj=1 . При проведении метрологического анализа выбирается то из представленных определений, которое соответствует имеющемуся составу априорных знаний (АЗ). Если составАЗпозволяетустановитьвид w(∆λ*j ) , применяется (27), если же метрологический анализ опирается на вы-

борку {∆λ*}N= – (28).

j j 1

Наиболее употребительны при описании свойств

погрешностейследующиетриВХ: математическоеожи-

дание (M [∆λ*j ]) , дисперсия (D[∆λ*j ]) или связанное с

ним среднее квадратическое отклонение (D1/2[∆λ*j ]) ,

вероятность принадлежности погрешности заданному интервалу[∆Н, ∆В](P∆[∆Н, ∆В]), называемаявдальнейшем интервальной вероятностью. Для них соотношения (24) и (25) приобретают следующий вид:

N

D[∆λ*j ] = lim∑(∆λ*j − M [∆λ*j ])2 / N , (32)

N →∞ j=1

Метрологический анализ

Определение (оценивание) погрешностей и характеристик погрешностей результатов измерений может выполнятьсятеоретическиилиэкспериментально. Теоретическое определение погрешностей и их характеристик может выполняться на аналитической основе (расчеты с использованием аналитических выражений) или с использованием машинного эксперимента (имитационное моделирование). Возможнаиихкомбинация. Приопределениихарактеристикпогрешностейиспользуютсямодели входныхвоздействий, процедур, средствиусловийизмерений. Экспериментальноеопределениепогрешностейи характеристикпогрешностейпредполагаетиспользование эталонов– средствизмеренийиливоспроизведенияустановленного метрологического уровня.

Аналитическоеописаниепогрешностейвыполняется наосновеуравненияизмерений, представленногована- литико-алгоритмической форме. Приэтомформируется соотношение следующего вида:

где {αs}1Sα! – неслучайные аргументы, {αs}1S+αSα! – случайные аргументы.

Вид f (·) определяется видом уравнения измерений, свойствамивходноговоздействияγj иусловиямиизмерений. Неслучайныеислучайныеаргументыопределяются моделямивходноговоздействия, измерительныхмодулей и условий измерений.

Пример. Пусть уравнение измерений имеет вид (аналого-цифровое преобразование с нормализацией):

u*j =<< [a ju j ]h∆k u >< ∆uk u / aH >>= = (a ju j (1− e−α∆t∂ )) / aH + ∆k u*j .

Соответственно (34) представляется следующим образом:

∆u*j = aju j (1− e−α∆t∂ ) / aH + ∆k u*j − u j = = (∆aj − aje−α∆t∂ )u j / aH + ∆k u*j .

Здесь aj и aн (соответственно реализуемый и номинальный коэффициенты нормализации), uj (истинное значение измеряемой величины) и ∆k u*j (погрешность квантования) – случайныепараметры; α, tд(параметры дискретизатора) и q (разрядность квантователя) – не-

случайные параметры; aj, aн, α, tд и q – параметры, входящие в состав моделей измерительных модулей,

uj – входное воздействие, ∆k u*j – случайная величина (погрешность квантования) с хорошо изученными свойствами, определяемымидинамическимдиапазоном измерений и величиной q.

Выражение (37) лежит в основе изучения свойств погрешностей. На его основе формируется расчетное соотношение для вероятностной характеристики погрешности Θ[∆λ*j ] . Действительно, (27) и(37) приводят к выражению

где {αs}Ss=Θ1 – неслучайныепараметры, используемыев моделяхвходноговоздействия, измерительныхмодулей иусловийизмеренийивлияющиенаданнуювероятностную характеристику.

При выводе соотношения (38) могут использоваться неадекватные модели и неидеальные преобразования, что порождает ошибки:

– истинноезначениевероятностнойхарактеристики, получаемое с использованием адекватных моделей и идеальных преобразований.

Поскольку δ Θ*[∆λ*j ] обусловлена двумя факторами

– неадекватностью используемых моделей и неидеальностьювыполняемыханалитическихичисловыхпреобразований, в ее состав входят два компонента:

– погрешность из-за неадекватности используемых при формировании расчетного выражения моделей, и

– погрешность из-за неидеальности выполняемых аналитических и числовых преобразований.

В общем случае для обеспечения возможности формирования (37) в состав априорных знаний должны входить: сведенияопогрешностиввидеаналитического соотношения (34), сведения о значениях неслучайных

!

аргументов {αs}1Sα и о свойствах случайных аргументов

{αs}Sα ! ввидеплотностейраспределениявероятностей

1+Sα

{w(αs )}Sα !

1+Sα .

Синтез (37) и (38) производится с использованием следующей последовательности операций (отображений):

Параллельное развитие метрологии и информатики, опирающеесянасовременнуювычислительнуютехнику, привелокаккусложнениюизмерительныхзадач, такик расширениювозможностей, предоставляемыхсовременнымиинформационнымитехнологиями. Усложнениеизмерительныхзадач, а, следовательно, исоответствующих измерительныхпроцедурвлечетзасобойусложнениеметрологическогоанализа, традиционныеметодыкоторого, ограничивающиеся метрологическим экспериментом, не обеспечивают удовлетворение новых потребностей. Однакоразвитиеинформационныхтехнологийпозволяет ввестиновыеметодыметрологическогоанализа, кчислу которых, впервуюочередь, следуетотнестиприменение имитационногомоделирования. Этотметодпредполагает воспроизведениевходныхвоздействийисоставляющих измерительную процедуру преобразований в числовой форме на основе соответствующих математических моделей. Имитационноемоделированиерасширяетвозможности выполнения метрологического анализа без использования метрологического эксперимента даже в тех случаях, когда вывод расчетных соотношений для вероятностных характеристик погрешностей осуществить невозможно из-за сложности требующихся для этогопреобразованийинеобходимостиобращатьсякнеприемлемымсточкизрениядостоверностиполучаемых результатов аппроксимациям и допущениям.

Последовательностьотображений, представляющих процедурувоспроизведения(имитации) j-гоизмеритель- ного эксперимента, имеет следующий вид:

Здесь ИМj – результат воспроизведения входного воздействия в j-ом измерительном эксперименте в числовой форме с помощью генератора случайных чисел, обеспечивающего требуемое распределения плотности вероятностей w(γj), RИМ i (.) – результат воспроизведения i-гоэлементарногоизмерительногопреобразованиявчис- ловойформесиспользованиемизвестнойаприоримодели Ri (.), содержащей все необходимые для этого сведения.

Последовательное воспроизведение и {R }m=

ИМ j ИМi i 1

При использовании имитационного моделирования используются те же априорные знания, что и при выполнении расчетов на аналитической основе – совокупность математических моделей входного воздействия, выполняемыхизмерительныхпреобразованийиусловий. Используютсяэтизнанияиначе, чтоипозволяетобойти трудности вывода сложного расчетного соотношения для получения требуемых количественных результатов, которые формируются последовательностью операций, представленных выражением (45).

Из изложенного видно, что воспроизведение случайных величин (входных воздействий, случайных параметровмоделей) сизвестнымираспределениямиихвероятностейпроизводитсяспомощьюспециальных программ (т.н. генераторов случайных чисел). В этом их отличие от фигурирующих в моделях неслучайных величин, использованиекоторыхоснованонанепосредственнойподстановке их значений в соответствующие соотношения.

Реализацияпоследовательности(45) позволяетсформировать оценку погрешности

где ИМj FИМ (γИМj) – результат воспроизведения истинного значения измеряемой величины в j-ом измерительномэкспериментесиспользованиемизвестнойзависимости отвходноговоздействияγ. Примашинном эксперименте ИМjиграет роль действительного значе-

ния. При ИМj= j и FИМ(.)=F(.) получаем FИМ(γИМj)= j Таким образом, последовательность отображений,

представляющая процедуру формирования оценки погрешности ∆λ*j с помощью имитационного моделирования, приобретает следующий вид:

Оценивание вероятностной характеристики Θ[∆λ*j ] с помощью моделирования предполагает использование некоторой совокупности оценок погрешностей

{∆*ИМλ*j }Nj=1 , получаемых с помощью процедур, пред-

ставленныхпоследовательностью(47). Соответствующее выражение вытекает из общего определения (28) заменой предела выборочного среднего самим выборочным средним:

j=1

N

гдеgИМ и ∑ – реализуемыеприимитационноммоде-

j=1

лированииоператорыпреобразования, лежащеговоснове определения характеристики Θ[∆λ*j ] , и усреднения.

Для истинного значения вероятностной характеристики Θ[∆λ*j ] справедливо следующее выражение в виде предела выборочного среднего:

N

Θ[∆λ*j ] = lim∑u gu [∆ИМ* λau j* ] / N . (49)

N →∞ j=1

Здесь ∆ИМ* λau j* – гипотетическая оценка погрешности с помощью машинного эксперимента при использовании адекватныхмоделейиидеальномвыполнениивсехсостав-