Метрология и стандартизация / Rossiyskaya metrologicheskaya entsiklopediya. Tom 1 (Okrepilov) 2015

Послетого, каканалоговыепреобразованиясигнала измерительной информации выполнены, получившийся в результате аналоговый сигнал поступает на вход собственно аналого-цифрового преобразователя (АЦП), который расположен на одной и той же плате с аналоговым преобразователем. В выходном регистре АЦП в дискретные моменты времени ti появляются цифровыезначенияy(ti), соответствующиемгновенным значениям сигнала измеряемой величины x(ti). К этим дискретным значениям, содержащим в себе погрешности, вызванныепогрешностямипримененияиотличием реального оператора Ap от номинального оператора А, добавляются собственные аддитивные погрешности ε1 аналоговогоианалого-цифровогопреобразования. Получившийсяврезультатедискретныйцифровойсигнал y1 (ti )= y (ti )+ε1 (ti ) передается по общей магистрали в компьютердлядальнейшегоцифровогопреобразования

иматематической обработки. Однако на этом процесс измерения не заканчивается. Для того, чтобы выразить каждый результат прямого измерения в единицах измеряемой величины необходимо решить, в общем случае, обратную задачу, то есть преобразовать дискретный цифровой сигнал y1(ti) к единицам измерения

ик масштабу измеряемой величины. В общем случае это достигается воздействием на полученный сигнал оператора A-1, обратного номинальному оператору А. В частном случае линейности преобразования в статическом режиме эта операция сводится к делению сигнала

y1(t) на номинальный коэффициент преобразования К, поскольку он известен из документации. Описанное действие при реализации КИИТ выполняется компьютером. Если средства измерений нелинейные и режим измерений статический, эта операция выполняется с помощьюитераций, какнахождениекорняхуравнения

fпр(fД(x+e))=y+ε1. (1)

Снаиболее сложным случаем придется встретиться

вдинамическом режиме, когда операция приведения

сигнала y1(t) ко входу и к единицам измеряемой величины выполняется путем решения относительно x(t) операторного уравнения

Такимобразомреализуетсяобратныйоператор, представленный на рис. 2.

Решение этого уравнения не обладает устойчивостьюнетолькокимеющимсяпогрешностямикотличию номинального оператора от реального, но и к погрешностямвычисленийвсилунекорректностизадачирешения этого уравнения. Математическая некорректность этой задачи вызвана тем, что операторы, реализуемые физически осуществленными средствами измерений, являются вполне непрерывными, а такие операторы не имеютнепрерывныхобратныхоператоров. Применить в этом уравнении реальный оператор Ap невозможно в силу того, что он неизвестен. Подробнее сведения об этой непростой задаче и ее роли в теории измерений изложены при рассмотрении задачи восстановления сигнала измеряемой величины.

Теперь после действия обратного оператора получается результат, который можно сопоставить со шкалой

измеряемой величины, воспроизведенной заранее в компьютере при периодической или иной стандартной поверке или калибровке.

Понятно, что применение обратного оператора и передача единицы измерения от государственного эталонакданномуизмерительномуканалусопровождается погрешностьюε2(ti), котораяноситаддитивныйхарактер. В конце концов, в компьютере возникает цифровой дискретный результат измерения мгновенного значения сигнала измеряемой величины x (ti ), содержащий в себе все накопленные погрешности, обозначенные ∆xi

. Поскольку абсолютная погрешность каждого результата есть разность между полученным результатом и фактическимзначениемизмеряемойвеличины, насхеме пунктиром представлена виртуальная цепь идеальной передачи значения измеряемой величины с условным указанием ее дискретизации в моменты времени ti. На практикехарактеристикиэтойпогрешностиопределяются расчетным путем по характеристикам погрешностей исполнениядействий, показанныхнасхемерис. 2. Чаще всего характеристики погрешности ∆xi выражаются в виде интервала, реже – в виде комбинации остаточной систематической погрешности и дисперсии случайной погрешности.

Аналогичные процедуры выполняются во всех измерительных каналах ИИС. Таким образом в памяти компьютераформируютсяисходныеданные: результаты прямых измерений x и характеристики погрешностей ∆x , необходимые для последующей математической обработки в соответствии с назначением КИИТ.

Развитие разделов теории измерений, поддерживающих КИИТ

Способности, приобретаемые КИИТ в результате компьютеризации, допускают реализовать в массовых измерительных процедурах ряд функций, выполнение которыхдоопределенноговременибылоограниченонедостаточнойпроизводительностьюсредстввычислений, а также несовершенством теоретического и программного обеспечения.

Для эффективного использования современных и перспективных возможностей КИИТ могли бы быть полезными усилия по привлечению и разработке в интересах теории измерений задач из списка, который приводится ниже со ссылками на публикации, в которых рассматривались отдельные задачи с разной степенью подробности.

1. Разработка методов и приемов корректной формализации и использования математических моделей объектови(или) сигналовизмеряемыхвеличинсцелью:

–повышения точности результатов измерений [7],

вчастности за счет уменьшения составляющей e1(t) погрешности применения e(t), порожденной некорректностью математической модели ОИ и измеряемой величины,

–диагностированиясостоянияобъектовиадаптации измерительнойпроцедурыкизменяющемусясостоянию,

–диагностированиясостоянияприменяемыхсредств измерений,

–регуляризации решения некорректных или плохо обусловленных задач, перечисленных ниже [8-10].

2.Разработка теоретических методов оценивания

погрешности e2(t), порожденной взаимодействием средства измерений с ОИ и входящей в состав погрешности применения. Первый опыт экспресс-оценки этой составляющейпогрешностиприменения, основанныйна энергетических соотношениях, выполнен в работе [11].

3.Разработка методов аналоговой и цифровой фильтрации помех, пульсаций, стохастического поведения измеряемой величины, и действия других нестацио-

нарных факторов, порождающих погрешность e3(t). Предпочтение следует отдавать аналоговому фильтру, расположенному ближе к входу преобразователя.

4.Решение некорректных и плохо обусловленных

задач:

–восстановление(реконструкция) сигналаизмеряемойвеличиныпосигналунавыходесредстваизмерений

иизвестному оператору преобразования этого средства измерений[12-16] соценкойхарактеристикпогрешности результата, приэтомдолжныучитыватьсяхарактеристикипогрешности, скоторымиизвестеноператорсредства измерений, характеристики погрешности, вызванные взаимодействием средства измерений с объектом измерений и действием влияющих величин,

–идентификация статических и динамических характеристик преобразования датчиков и одноплатных аналого-цифровыхпреобразователей(тоестьоператора А), подлежащихнормированиюиконтролюприметрологических испытаниях с оценкой характеристик погреш- ностирезультатовэтойидентификации[17-19] вформе, регламентированной метрологическими нормативными документами [6, 20],

–идентификация рукотворных или природных объектов, для испытаний или исследований которых применяется КИИТ, с оценкой характеристик погрешности получаемых результатов [17-19].

5.Разработкаиадаптациякрешениюизмерительных задач современных методов математической обработки данных, устойчивых по отношению к априорной неопределенности свойств объектов и (или) сигналов измеряемых величин:

–не зависящих от распределения (distribution-free) статистическихметодовобработкиданных(определение метрологических характеристик средств измерений, доверительных интервалов для измеряемых величин, параметров и характеристик исследуемых объектов и явлений, проверка сложных статистических гипотез об измеряемыхвеличинах, метрологическиххарактеристиках и параметрах с гарантированными вероятностями ошибок первого и второго рода) [21-24],

–методов вычисления результатов косвенных, совокупных и совместных измерений по результатам прямых измерений с автоматической оценкой этой же программой вычислений характеристик погрешности окончательных результатов, вызванной погрешностями результатовпрямыхизмерений, тоестьисходныхданных

[25, 26],

–методованалоговойицифровойфильтрациисигналов в реальном времени, в том числе методов обеспеченияустойчивостиоптимальныхфильтровпоотношению

к неопределенности априорной информации, методов проектирования и аппаратной реализации обратных регуляризированных фильтров для решения некорректной задачи восстановления (реконструкции) сигнала измеряемойвеличинывтемпеполученияданных[16, 27],

–методов, алгоритмовипрограмм, реализующихтак называемые «мягкие вычисления», то есть действия с нечеткимипеременными, нечеткуюлогику, нейронныеи генетическиеалгоритмы, атакжевычислениясучастием оператора в диалоговом режиме.

–методов нормирования, представления, определенияиконтроляхарактеристикпогрешностирезультатов всехперечисленныхвышевидовобработкиданных, если эта обработка выполняется с конечной целью прямых, косвенных, совместныхилисовокупныхизмерений[25, 26, 28, 29].

6. Разработка методов оценки гарантированного риска ошибочных выводов, формулируемых в итоге выполнения любого из перечисленных выше видов математическойобработкирезультатовпрямыхизмерений, еслиизмеренияиихобработкавыполняютсясконечной контрольной целью (сертификационные испытания, арбитражный надзор, экологический мониторинг, криминалистика и т. д.).

Задача восстановления (реконструкции) сигнала измеряемой величины как основная задача теории измерений

Впервыезадачурешенияоператорногоуравнения(2) сцелью«редукциикидеальномуприбору» сформулировал Рэлей в 1871 г. Напомним это уравнение:

Ax1(t)=y1(t)=y(t)+ε2(t)

В математической физике эта задача называется «обратной задачей» и, по сути дела, имеет целью восстановлениепричиныпоследствию. Первымизвестным историческимпримеромрешенияподобнойзадачибыло довольноточноепредсказаниеДж. АдамсаиУ. Леверье в 1845 г. положения еще не обнаруженной планеты НептунпоотклонениюорбитыУранаотрасчетной. Через год ее обнаружил И. Галле в 52′ от предвычисленного места.

Известно, что физически реализуемый оператор вполне непрерывен. Обратный ему оператор, вообще говоря, небудетфизическиреализуемыминепрерывным, апотомурешениеуравнения(2) теряетустойчивостьпо отношениюкмалейшимпогрешностямисходныхданных

ивычислений [8, 12, 13]. Вследствие этого задача решенияуравнения(2) естьнекорректнопоставленнаязадача,

идля получения физически осмысленного решения необходимоприменятьспециальныемеры. Некорректность этой задачи создает большие проблемы определения характеристик погрешности решения.

Как видно из существа задачи «редукции к идеальному прибору», ее содержание и цели имеют ярко выраженную познавательную направленность.

Некорректностьзадачиипринципиальныетрудности оценки остаточной неопределенности ее решения есть

отражениевматематическойформетехизвечныхпрепятствий, которые воздвигает Природа перед любознательным, но несовершенным человечеством в его попытках овладетьеетайнами, ибовсераскрытыетайныПрироды человек обращает против себя. Здесь уместно привести мнение русского философа Вл. Соловьева, выраженное им в стихотворной форме:

Природа с красоты своей Покрова снять не позволяет.

И ты машинами не вынудишь у ней, Чего твой дух не угадает!

Таким образом, задача реконструкции сигнала измеряемой величины или, по Рэлею, «редукция к идеальномуприбору» вполноймереотражаетвсестороны познавательного процесса и является исключительной особенностьютеорииизмерений. Именноонадоставляетпринципиальноеотличиетеорииизмеренийотдругих наукисферчеловеческойдеятельности, чемподчеркивается и укрепляется роль ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ как прикладной естественнонаучной ветви общей теории познания. Вчастности, авторыработы[30] считают, что основнойразделтеорииизмерительно-вычислительных комплексов сверхвысокого разрешения должен быть посвященрешениюпроблемы«редукциикидеальному прибору», то есть решению уравнения (2).

Здесьследуетотметить, чтокрешениюуравнения(2) сводится еще одна задача, заслуживающая включения в кругзадачтеорииизмерений. Этозадачаидентификации, котораясостоитвэкспериментальномопределениипараметров математической модели объекта измерений или метрологическиххарактеристиксредствизмерений[17]. Вэтомслучаепредполагаютсяизвестнымивходныесигналыx(t) иреакциянаних, тоестьвыходныесигналыy(t). Искомым является оператор Ap. При отсутствии какойлибо априорной информации об искомом операторе эта задача, вообще говоря, корректной не является. Однако удовлетворительная устойчивость решения может быть достигнута в тех случаях, когда:

–идентификация объекта или средства измерений производится не в режиме их штатной работы,

–известна какая-либо априорная информация о модели,

–имеется возможность синтезировать тестовые сигналы x(t) специальной формы и подать их на соответствующие входы.

Общие принципы нахождения регулярного решения некорректных задач разработаны А.Н. Тихоновым [8]. Эти принципы заключаются в регуляризации исходного уравненияпутемнезначительногоискаженияоператора, такого, которое делает задачу корректной, но при этом вноситвполученноеустойчивоерешениепренебрежимо малое, но, к сожалению, в большинстве случаев неконтролируемое смещение. Наиболее распространенными приемами регуляризации уравнения (2) являются:

–конечномерная аппроксимация оператора и (или) искомого решения – чаще всего применяется при идентификации [18, 19]; при неизвестной размерности

–перебор размерности аппроксимации в сторону ее увеличения и останов по формализуемому критерию; какпоказановработе[31], такоенаправлениеперебора

соответствует монотонному ухудшению обусловленности задачи,

–конструирование параметрического семейства

операторовAα α>0, сходящегосякоператорурешаемого уравненияприα → 0, каждыйоператорсемействаимеет непрерывныйобратныйоператор, общиерецептывыбора подходящего значения этого параметра, именуемого параметром регуляризации, отсутствуют,

–использование в качестве регуляризирующего фактора априорной информации о характеристиках погрешности(принципминимальногомодуля[15]) и(или)

освойствах искомого решения [8,9],

–вовлечениевпроцессрешениячеловека-исследова- телячерезсредстваобеспечениядиалогаскомпьютером; устойчивое решение находится путем перебора размерности конечномерной аппроксимации – по первому методу, или значений параметра регуляризации – по второму методу; перебор ведется в направлении ухудшенияобусловленностиипрекращаетсяисследователем, который руководствуется личным опытом и интуицией; этот прием используется в случаях, когда априорная информация о решении и критерий останова не могут быть формализованы [33].

Понятно, что процедура решения уравнения (2) требует значительных затрат процессорного времени, которого может не оказаться при измерении нескольких быстроизменяющихся величин. Кроме того, вследствие некорректностизадачисильнозатрудненаоценкагарантированнойхарактеристикиотклоненияполученногорешенияотдействительного, особенновпоследнемслучае, когда к решению привлекается человек-исследователь.

В связи с этим в перечне наименее разработанных задач, связанных с проблемой восстановления сигналов измеряемых величин, которые должны быть решены в рамках современной теории измерений, можно назвать следующие:

–разработка теоретических основ и практических методов проектирования физически реализуемых в аналоговом или цифровом виде регуляризированных обратных фильтров, способных к решению уравнения

(2) втемпеполученияданных; попыткисозданиятакого фильтра изложены в работе [27],

–разработка теоретических основ и практических методов оценки характеристик погрешности (неопределенности) решения уравнения (2), как того требуют международные и национальные метрологические нормативные документы и законодательные акты,

–разработка методов эффективного использования априорной информации при решении указанных задач и ориентированных на это способов ее формализации [7, 9, 10,]; в частности, можно предположить, что при одновременном измерении нескольких изменяющихся во времени и функционально связанных друг с другом величин эта функциональная связь может оказаться богатым источником информации, регуляризирующей уравнение (2).

Аналогичноезаключениеможетбытьвзначительной степени отнесено и к задаче идентификации.

Если целью идентификации является текущая корректировка математической модели объекта, содержащейсявбазезнаний, тоеепридетсявыполнятьврежиме

нормальнойработывреальномвремениприимеющихся входных сигналах, форма которых обычно порождает плохую устойчивость решения. Здесь, конечно, может помочь информация о модели объекта, поскольку эта информация постоянно обновляется.

Представляется заманчивым задачу измерений формулировать как задачу идентификации параметров математической модели объекта. Такая постановка задачи в ряде случаев может привести к практически полному устранению влияния неинформативных параметров объекта на результат измерения других его параметров. В этих ситуациях модель объекта должна быть известна, и устойчивость решения будет улучшаться за счет фактической конечномерной аппроксимации исходной задачи, посколькуотыскиваютсязначенияограниченного количества параметров известной модели.

Статистическая обработка результатов многократных измерений неизменной величины при метрологических испытаниях средств измерений и при реальных измерениях

Отдельно рассмотрим традиционные для любых КИИТ программы обработки результатов измерений, которые не отличаются сложностью, но при этом существенно различаются между собой. Дело в том, что реальные многократные измерения неизменной во времени величины в условиях действия случайных погрешностейвыполняются, какправило, сцельюуточнения результата измерения и определения остаточной неопределенности полученного результата. Правила выраженияэтойнеопределенностииметодыоценивания границ интервала неопределенности для этого случая регламентированы стандартами [34, 35]. Оставляя на совести зарубежных авторов первоисточников этих стандартов неточности в отношении математической статистики, отметим, что эти стандарты представляют собойруководствопоопределениюнесмещеннойточечной оценки измеряемой величины, а именно, среднего арифметического, и таких границ интервала неопределенности, которые с увеличением объема выборки сближаются друг с другом, благодаря чему ширина интервала неопределенности уменьшается. Сделанные при этом предположения о равномерном или нормальном законе распределения случайных погрешностей не играют существенной роли вследствие центральной предельной теоремы, в соответствии с которой среднее арифметическое, представляющее собой усредненную суммуодинаковораспределенныхнебольшихслучайных величин, асимптотическинормально. Посколькухарактеристики погрешности (неопределенности) конечного результата измерений обычно округляются максимум до двух-трех значащих цифр в сторону увеличения, отличие распределения среднего арифметического от нормального при оценке неопределенности становится практически незаметным уже при объеме выборки, равном 10÷15.

Для иллюстрации изложенного предположим, что результатыизмеренийизмеряемойвеличиныхвозмуще-

нытолькослучайнойинструментальнойпогрешностью, плотность распределения которой на рис. 3 обозначена цифрой 1.Принято, что инструментальная систематическая погрешность равна нулю. Пусть выполнено 4 повторных измерения постоянной величины х. Плотность распределения среднего арифметического обозначена цифрой 2. Интервал, в пределах которого находится подавляющеебольшинствозначенийслучайнойинструментальнойпогрешности, обозначенбуквойJ. Интервал неопределенностиизмерений, соответствующийвероятности, близкой к единице, обозначен un. Если будет выполнено больше измерений, то при одинаковой доверительнойвероятностиширинаинтервалаun уменьшится.

Крометрадиционнойметодикиоценкинеопределенности может быть использован не зависящий от плотности распределения (distribution-free) метод бутстреп [22]. Он позволяет строить доверительные интервалы для любых параметров плотности распределения вероятностей при ограниченных объемах выборки порядка десятиидажеменьше. Несмотрянакритикуиобвинения в недостаточной корректности, проверка работоспособностиметоданамодельныхпримерахпоказалаегоудовлетворительнуюработоспособность, котораяподверглась подробному исследованию в [36].

Совершенно иная ситуация возникает при метрологическихиспытанияхсредстваизмеренийвстатическом режиме с целью определения или контроля характеристики его инструментальной погрешности, пригодной для нормирования. Пусть подлежит нормированию абсолютная инструментальная случайная погрешность. Тогдахарактеристикойпогрешностиявляетсяпредельно допускаемоезначениепогрешностисредстваизмерений пр, такое, что

P(– пр< < пр) ≥P0,

где – значение случайной погрешности, P0 − заданное значение вероятности, которое в отечественной практике обычно равно 0,95. В качестве примера на рис. 3 показан этот интервал

J = (– пр, пр).

Впроцессеметрологическихиспытанийсредстваизмерений(датчика, одноплатногоаналого-цифровогопре- образователясосвязующимзвеномилиизмерительного канала в целом) с целью определения характеристики его инструментальной погрешности для назначения нормирующего значения, которое будет записано в нормативной документации и которое в дальнейшем будет браковочным значением при метрологическом контроле, целесообразновыполнитьегостатистическую оценку в виде доверительного интервала. Понятно, что с увеличением количества измерений, то есть объема выборки, этот доверительный интервал, конечно, будет сужаться, но всегда будет шире интервала J. Границы этого доверительного интервала называются толерантнымипределами[21]. Ихвычислениевсильнойстепени зависитотвидаплотностираспределениявероятностей погрешности. Поэтому за исключением нормального распределения погрешности определяют независящие отвидараспределениянепараметрическиетолерантные пределы, в качестве которых используются непосред-

Рис. 3. Пример интервала неопределенности и интервала инструментальной погрешности

ственно выборочные значения [21, 23]. Единственное условие: должна обеспечиваться дифференцируемость функции распределения во всей области значений случайнойвеличины, изчегоследуетнепрерывностьзначений, принимаемых случайной величиной. Недостатком подхода является необходимость значительного объема выборки, исчисляемого десятками.

В случае нормального распределения толерантные пределыопределяютчерезоценкипараметровраспределения: среднееарифметическоеисреднееквадратическое отклонение, умноженное на толерантный множитель, зависящий от объема выборки, вероятности P0 и доверительной вероятности. Если оперировать терминами стандартов[34, 35], толерантныймножительможетбыть назван «коэффициентом расширения». Такие толерантные пределы являются параметрическими. Таблицы толерантного множителя приведены в [37].

Определенные таким образом толерантные пределы пригодныдлянормированияслучайнойинструментальной погрешности. Они же пригодны и для совместного нормирования случайной и систематической погрешности без их разделения. Для этого необходимо строить вариационный ряд из модулей выборочных значений погрешности средства измерений.

Приконтролехарактеристикпогрешности, который выполняется при периодических, инспекционных или внеочередных поверках (калибровках), естественно применять для этого математический аппарат проверки статистических гипотез. Обычно эти гипотезы формулируются в виде неравенств, поэтому это сложные гипотезы. Классический подход математической статистики к проверке сложных гипотез не обеспечивает установление и контроль вероятностей ошибок контроля первого и второго рода одновременно. Для преодоления этого препятствия можно обратиться к методу последовательного анализа, подробно разработанного для проверки сложных гипотез о вероятности [38]. Для проверки сложных гипотез о других вероятностныххарактеристикахсгарантиейуровнярисковвне зависимости от распределения можно рекомендовать методы, основанные на фидуциальных вероятностях,

введенных Р. Фишером на множестве доверительных интервалов [39]. Если мы умеем построить для какойлибо характеристики независимый от распределения доверительныйинтервал, например, спомощьюметода bootstrap, торекомендованныйметодбудетвэтомслучае работоспособен [24].

Использование при обработке данных в КИИТ взаимосвязей между измеряемыми величинами (параметрами) объекта измерений

Выше рассматривались алгоритмы обработки данных, обычные для процессов измерений, выполняемых в КИИТ, и необходимые для метрологического обеспечения прямых измерений. Такая обработка данных неотъемлема от КИИТ.

Внастоящемразделебудутрассмотреныперспективные методы использования сведений о взаимной связи между величинами, измеряемыми на одном объекте. При измерении нескольких величин, представляющих параметры или свойства работающего объекта, информация о функциональной или корреляционной связи между ними может быть эффективно использована для повышения точности измерений, поскольку такая информация эквивалентна дополнительно выполненным измерениям. Именно поэтому авторы одной из первых успешных попыток использования подобной информации на теплоэнергетическом комбинате применили к ней термин «псевдоизмерение» [40]. Кроме того, эту информацию удобно использовать на каждом цикле измерения всех величин в качестве проверочного условия для обнаружения неисправностей не только объекта, но и измерительной системы.

Подобная информация о параметрах и свойствах рукотворных объектов может быть получена от проектировщиков, по расчетам и чертежам которых изготовлены эти объекты, и загружена в базу знаний компьютера, откуда она может извлекаться в процессе штатнойработы. ЕслиКИИТ, вкоторойпредусмотрена такаябазазнаний, снабженасредствамисамообучения, то в процессе штатной работы объекта и КИИТ сведения об упомянутых взаимосвязях могут уточняться по результатамизмеренийииспользоватьсядляуточнения базы знаний. Правда, здесь следует соблюдать осторожность. Ведь может оказаться, что при постепенном приближении ИИС или объекта к неисправности соотношения между измеряемыми величинами будут соответственно изменяться, и неисправность может оказатьсянеобнаруженной. Поэтомунавсевзаимосвязи следует наложить ограничения, на нарушение которых следует реагировать.

Статическая взаимосвязь между измеряемыми величинами представляется одним или несколькими равенствами вида:

где x1, x2,..., xk – измеряемые величины, компоненты вектора x, с – постоянное число, f – величина, отражающая неопределенность информации.

Динамические соотношения между измеряемыми величинами представляются в виде дифференциальных или интегральных уравнений.

Перечисленныеравенстваиуравнениясутьсоставляющиеобщейматематическоймоделиобъектаизмерений. Степень их неопределенности может быть различной и выражаться в разнообразной форме.

Так, если соотношения между величинами носят фундаментальный характер, как, например, равенство, которому подчиняется сумма внутренних углов многоугольника, то неопределенность такой информации отсутствует.

Вдругих случаях причинами возникновения неопределенности модели и равенств типа (3) могут быть:

–недостаточнаяподробностьмодели, вынужденное или преднамеренное пренебрежение отдельными параметрами и связями между ними,

–трудности формализации,

–технологическиеотклонения, неизбежновозникающие при изготовлении технических объектов.

Для представления характеристик таких неопре-

деленностей традиционно применялись либо детерминистские формы в виде неравенств | f|<d, либо вероятностные характеристики. Однако эти неопределенности и причины, их вызвавшие, строго говоря, не дают оснований для подобного представления в силу присущей этим причинам нечеткости. Нечеткость подобной информации усугубляется тем, что ее источником являются эксперты, которые имеют возможность характеризовать свои интуитивные представления, основанные на богатом опыте и знаниях, лишь в лингвистических терминах, для формализации которых существует и продолжает бурно развиваться теория нечетких множеств и нечетких переменных (см. также следующий раздел настоящей статьи).

Вработе [7] приводятся примеры использования информации вида (3) в программах статистической обработки данных с целью уменьшения погрешностей результатов. Эти примеры выполнены для трех видов представления информации и характеристик ее неопределенности: фундаментальные равенства, равенства с вероятностным представлением характеристик их неопределенности, нечеткие равенства, представленные функциямипринадлежности. Впоследнемслучаевозникаютнекоторыезатруднениясовместногоиспользования теоретико-вероятностногоистатистическогоформализма

снечетким. Эту несогласованность придется преодолеватьврамкахтеорииизмеренийоднимизпутей, указанных выше в конце третьего раздела настоящей статьи.

Представляются перспективными исследования и разработка в рамках теории измерений методов, алгоритмов и программ использования в указанных целях динамических взаимосвязей между изменяющимися во времени измеряемыми величинами.

Вдополнение к изложенному заметим, что следует иметь в виду такие алгоритмы обработки данных, как нейронные и генетические алгоритмы, которые уже зарекомендовали себя с положительной стороны и применяются в некоторых измерительных процедурах. ВопросыихэффективногоприменениявКИИТдолжны обязательно войти в состав проблем теории измерений.

Непременной составляющей средств метрологической поддержки КИИТ должны быть методы и средства прогнозирования, нормирования и определения характеристик погрешности результатов всех вычислений, выполняемыхприреализацииКИИТ, сцельюполучения результатов измерений независимо от вида алгоритмов, по которым эти вычисления осуществляются. Эта проблема рассматривается в следующем разделе.

Перспективы, возможности и проблемы формирования теории погрешностей измерений в формализме нечетких переменных

Кромевсехобязательныхвычислений, неотъемлемых от КИИТ в любом варианте их реализации, полученные результаты прямых измерений в совокупности с сопровождающимиихпогрешностями x представляютсобой исходные данные, которые в дальнейшем могут быть подвергнуты любым численным преобразованиям. Содержаниедальнейшихвычислительныхпреобразований результатов невозможно заранее предусмотреть. Это могут быть: статистическая обработка, спектральный анализ, решение алгебраических, операторных и дифференциальных уравнений, моделирование сложных объектов, поиск экстремумов и другие. И на этом этапе штатной реализации КИИТ необходимо обеспечить метрологическое сопровождение программ обработки неточных данных с тем, чтобы сообщить пользователю характеристики погрешности получаемого результата вычислений [28]. Понятно, что при непредсказуемости возможныхпрограммвычислений, вусловияхразнообразия стилей программирования, при возможно большом количестве исходных данных и их комбинаций заранее нормировать метрологические свойства программ невозможно. Единственный реальный способ оценки характеристики погрешности (неопределенности) вычисленийприизвестныххарактеристикахпогрешностей исходных данных x состоит в том, чтобы снабдить каждую программу вычислений собственными средствами вычисления этой характеристики. Такой подход был рекомендован еще в 60-х гг. прошлого века международной федерацией IFIP (Международная федерация по обработке данных).

В настоящее время, когда интенсивно развивается такойразделматематики, какинтервальныевычисления [41], возникает соблазн создать новый тип переменных в программах вычислений (для работы с исходными данными и промежуточными значениями) как interval, представить каждое из значений массивом из двух чисел и действовать с такими переменными по правилам действий с интервалами. Тогда и результат вычислений будетпредставленпользователюневвидеодногочисла, аввидеинтервала, которыйбудетпредставлятьсобойне что иное, как погрешность или неопределенность [29, 41]. Однако повсеместное применение интервальных вычислений имеет существенный недостаток. Он заключаетсявсильномзавышенииполучаемыхоценокинтервалапогрешностирезультата. Например, призадании погрешностей усредняемых величин в виде интервала

интервалпогрешностейсреднегоарифметическогобудет равенинтервалупогрешностикаждогослагаемого. Более точныеоценкипогрешностивычисленийсобственными средствамипрограмммогутбытьполученыпутемпредставления погрешностей исходных данных x, промежуточных результатов и результатов вычислений в виде нечетких интервалов [26, 42].

В целесообразности нечеткого представления погрешностей и даже априорной информации убеждает то обстоятельство, что с позиций теории измерений для выполнения анализа современных КИИТ, снабженных средствамиинтеллектуализации, должныиспользоваться разнообразные формализмы: детерминистские, вероятностные и нечеткие. Для представления экспертной информации о модели измеряемых величин и объекта измерения в целом естественно привлекать формализм нечетких (размытых) множеств и нечетких (размытых) переменных. В этом же формализме действуют подсистемы логического вывода большинства экспертных систем. Более того, можно утверждать, что использованиевероятностногоформализмаидажеконсервативный детерминистский подход сопровождаются нечеткостью

всмысле теории нечетких множеств. Кроме того, такие величины, как толщина слоя облаков или уровень воды

впарогенераторе, диаметр ствола дерева, температура воды в море, температура движущегося газа являются явно размытыми (нечеткими). Иные величины могут быть менее размытыми, но, тем не менее, абсолютно не размытых величин, подлежащих измерениям, быть не может. Такая размытость вызывает естественные затруднения в трактовке стандартного определения абсолютной погрешности как отличия результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Информацияомоделиобъектатакженеявляетсячеткой, она сообщается квалифицированными экспертами на основе их опыта, и ее корректная теоретико-вероят- ностная формализация возможна в редких случаях. Для представления подобной информации и характеристик ее неопределенности естественно использовать характеристики, принятые в теории нечетких (размытых) переменных.

Метрологическиехарактеристикисредствизмерений

всоответствиисдействующимистандартамииреальной практикой представляются либо в детерминированной форме (пределов допускаемой погрешности), либо в виде пределов допускаемых значений некоторых вероятностных характеристик (математического ожидания, дисперсиислучайнойсоставляющей, интерквантильного промежуткасзаданнойвероятностью– «доверительной погрешности»). Как в первом, так и во втором случае для потребителя остается неясным, насколько далеко от установленныхпределовдопускаемыхзначенийотстоят фактические значения перечисленных характеристик. Мало того, в соответствии с действующими стандартами указанные пределы допускаемых значений следует устанавливать из определенного и довольно редкого ряда, чтоприводиткокруглениюссущественнымпревышением нормы сверх фактических значений. Если даже определение и (или) контроль характеристик погрешностисредствизмеренийприихповеркеиликалибровке проводятся статистическими методами, товожделенная

объективностьэтихметодовоказывается, посутидела, фикцией, поскольку значение контрольного допуска, равного0.7÷ 0.8, ивероятностей(доверительной, уровня значимости, вероятностей ошибок первого и второго рода) не могут быть обоснованы и выбираются по произволу лица, выполняющего испытания, или лиц – составителейсоответствующегонормативногодокумента. Это все означает, что фактически в настоящее время сведения о характеристиках погрешности средств измерений также являются нечеткими, но, тем не менее, пользователямнастоятельнорекомендуетсядействовать сэтимихарактеристиками, каксвероятностнымихарактеристиками некоторых генеральных совокупностей, которым с неменьшим произволом приписываются те или иные законы распределения.

Нафоневышеизложенногопредложение отом, чтобыпопытаться переформулироватьтеориюпогрешности в терминах нечетких множеств, кажется не слишком абсурдным. Тенденции к этому уже имеются, и даже сделаныкое-какиепервыешагивэтомнаправлении(см.,

например, [43, 44]).

Исчерпывающим описанием нечеткой (размытой) переменной z, принадлежащей нечеткому множеству Z, является функция принадлежности µz(z) [45], пример которой приведен на рис. 4.

Каждая ордината µz(zi) функции принадлежности есть численное выражение степени возможности (уверенности, доверия, предпочтения) того, что переменная z принимает значение zi из некоторого отрезка вещественной оси Sz, называемого носителем переменной z. Функция принадлежности положительна и может принимать значения от 0 до 1. Функция принадлежностинечеткогочислаимеетвид, аналогичныйвиду одномодальнойплотностираспределениявероятностей, только в отличие от последней максимальное значение функции принадлежности равно единице, а интеграл от нее по всему носителю единице не равен. Функция принадлежности нечеткого интервала имеет плоскую вершинусединичнойординатойисосклонаминакраях, крутизна которых зависит от степени размытости этого интервала, как это можно видеть на рис. 4 [45]. Нечеткий вложенный интервал (nested interval), введенный в

[46, 47], есть интервал J(α), содержащий все значения нечеткой переменной, при которых функция принадлежности превышает заданное значение α , называемое уровнемдоверия(degree of belief). Примерывложенных интервалов показаны на рис. 4.

Чтобыубедитьсявприменимостинечеткихпеременныхдляметрологическогоавтосопровожденияпрограмм вычислений, выполняемых в КИИТ, приведем примеры усреднения нечетких переменных, заданных своими функциямипринадлежности, которыепоказанынарис. 5.

В первом примере, который иллюстрируется рис. 5а, было выполнено усреднение 36 значений нечетких переменных с одинаковой функцией принадлежности. Эти значения имитируют выборочные значения погрешностей, которые не содержат систематической составляющей и представлены одномодальной функцией принадлежности вида гауссианы (кривая 1). Усреднение этих значений выполнено по стандартным правилам действий с нечеткими переменными.

Рис. 4. Пример функции принадлежности и вложенных интервалов

Результат усреднения представлен на этом же рисунке кривой 2 и не противоречит нашим естественным предположениям о возрастании точности результата, в соответствии с которыми ширина функции принадлежности уменьшилась в 6 раз.

Второйпримериллюстрируетсярис. 5б. Онаналогичен предыдущему за исключением того, что здесь имитировалось наличие неисключенной систематической составляющей погрешности, которая в соответствии с современныминормативнымидокументаминормируется интерваломвозможныхзначений. Внастоящемпримере этот интервал задан границами (-1.9, 1.9), что нашло отражениевзаданиикоординатплоскойвершиныфункции принадлежности исходных выборочных значений (кривая1). Функцияпринадлежностирезультатаусреднения тридцатишеститакихзначений, вычисленнаяпоправилам действий с нечеткими переменными, представлена на рис. 5б кривой 2. И здесь результат не противоречит нашим естественным предположениям. Мы видим, что, как и следовало ожидать, усреднение не повлияло на систематическую составляющую погрешности, ибо протяженность вершины не изменилась в то время, как склоны функции принадлежности результата, представляющие случайную составляющую, стали круче в шесть раз.

Приведенные примеры показывают работоспособность аппарата нечетких переменных в популярных процедурах усреднения. Особенно отметим, что этот

аппарат позволяет обойтись без раздельного рассмотрения систематических и случайных составляющих. Их различнаяприродаучитываетсяавтоматическипривсех арифметических действиях, выполняемых по правилам действий с нечеткими переменными. Интервалы, вложенныевфункциюпринадлежности, представленнуюна рисунке 5а, удобно трактовать, как нечеткие интервалы, с помощью которых предлагается представить погрешностьнетолькоисходныхданных, которыеподвергаются математическойобработке, ноипогрешностипромежуточных, в том числе, окончательных результатов.

Для того, чтобы использовать аппарат теории нечетких переменных в теории и практике измерений и метрологии, необходимо, но, конечно, недостаточно, чтобы этот аппарат обеспечивал выполнение математических действий с нечеткими переменными, нечеткими интервалами и нечеткими функциями.

Изнесколькихвариантовправилматематическихоперацийснечеткимипеременными, повидимому, наиболее удобными для рассматриваемого применения являются правила, основанные на использовании вложенных интервалов, называемых иначеα– срезами. Всоответствии с этими правилами функция принадлежности нечеткой переменнойзадаетсясемействомвложенныхинтервалов, ифункцияпринадлежностирезультатаматематического действия отыскивается также в виде семейства вложенных интервалов, границы каждого из которых для каждого значения уровня доверия α вычисляются по правиламинтервальнойарифметики[45]. Нонелинейные арифметическиепреобразованияприводяткискажению формыфункциипринадлежности. Ктомужедальнейшие действия с искаженными функциями принадлежности сильно затруднены.

Учитывая относительную малость погрешностей, в работе [48] применена линеаризация нелинейных арифметическихдействийифункций. Производные, вычисляемыеприэтом, неявляютсяотношениемконечных разностей, а определяются с применением аппарата «автоматического дифференцирования» [49], который служит для автоматического расчета значений производных функций, выраженных программным кодом и позволяет вычислить производную даже в точке, бесконечно близкой к точке разрыва. Чтобы снабдить программу «автоматическим дифференцированием», необходимо дополнить ее всего несколькими строками определения и описания функций, применяемых в программе. Как показывают исследования, описанные

в работе [48], компьютерные программы, основанные на комбинации действий с нечеткими интервалами и с дифференцированием программ, показываютвысокую достоверность получаемых характеристик погрешности результатов вычислений. Это подтверждено большим количеством испытаний этих программ методом Монте-Карло на разнообразных моделях распределенияпогрешностейисходныхданныхвнутриинтервала их погрешности при различных алгоритмах вычислений. Здесьможетвозникнутьвпечатление, чтоеслино- воепредложениеиспытываетсяметодомМонте-Карло, как образцовым, то почему бы не использовать этот метод для метрологического мониторинга программ вычислений? Основанием для такого предположения мог бы служить, в частности, недавно утвержденный стандарт [50], посвященный трансформации погрешности исходных данных через программы вычислений методом Монте-Карло. Но этот метод, в отличие от описанного в [25, 26] и исследованного в [48], пригоден только для оценки правильности работы расчетов, предлагаемых в работе [48], но не для применения в режиме выполнения штатных вычислений по причинам, изложенным впервом абзаце настоящего раздела. Для его обоснованного применения, как правило, не хватает данных, к тому же его использование чересчур трудоемко и должно выполняться не в реальном времени измерений и сопровождающих их вычислений, а до этого. Метод, предложенный в работе [48], обеспечивает вычисление нечеткого интервала погрешности при каждом штатном вычислении. В настоящее время рассматривается вопрос о включении и отключении программных средств оценки погрешностей в программе вычислений по желанию пользователя.

При ознакомлении с предлагаемым методом собственного метрологического мониторинга программ вычисленийвнимательныйчитательможетзаметить, что этотметодпозволяетучестьтолькотрансформированную погрешность вычислений. Ошибок программирования этот метод не учитывает.

Вэтой связи предлагаются следующие действия по метрологическомуобеспечениюпрограммвычислений.

1.На наиболее характерных числовых моделях величин, измеряемых на ОИ, проверяется правильность работы программы вычислений.

2.НатехжепримерахметодомМонте-Карлопроверя- етсядостоверностьоцениванияинтервалапогрешности результатов вычислений.

3.Впротоколефиксируютсяположительныерезультаты выполненных испытаний.

После этого КИИТ функционирует в своем режиме. Программное обеспечение проходит описанную проверку вновь в случаях преднамеренной или непреднамеренной модификации программ или переориентации КИИТ на новый ОИ.

Взаключение отметим одно перспективное применениепредложенногометодаметрологическогосамосопровождения программ вычислений. Поскольку в этом методе интервал погрешности определяется на каждом шаге вычислений, возникает возможность ускоренной остановки итерационных процессов, например, таких, как решение уравнения (1), по признаку непревышения

очередным итерационным уточнением того модуля погрешности, который определен на предыдущем шаге итерации. Такое предложение возникает из следующего соображения: можноливеритьуточнению, размеркоторогоменьше, чеминтервалнеопределенноститойточки, с которой делается данное уточнение? Эта перспектива нуждается в исследовании.

Литература

1.ГОСТ Р 8.654-2009 «ГСИ. Требования к программному обеспечению средств измерений. Основные положения». – М.: Росстандарт, 2009.

2.Р50.2.077-2011. Рекомендациипометрологии. «ГСИ. Испытания средств измерений в целях утверждения типа. Проверка защиты программного обеспечения». – М.: Росстандарт, 2011.

3.МИ 2955-2010. Рекомендации по метрологии. «ГСИ. Типовая методика аттестации программного обеспечения средств измерений». – М.: Росстандарт, 2010.

4.МИ 3286-2010. Рекомендации по метрологии. «ГСИ. Проверка защиты программного обеспечения и определение ее уровня при испытаниях средств измерений в целях утверждения типа». – М.: Росстандарт, 2010.

5.ГОСТ 8.596 «ГСИ. Метрологическое обеспечение измерительных систем». – М.: Росстандарт, 2002.

6.ГОСТ 8.256 «ГСИ. Нормирование и определение динамическиххарактеристиканалоговыхсредствизмерений. Основные положения». – М.: Изд-во стандартов, 1977.

7.Резник Л.К., Солопченко Г.Н. Использование апри-

орной информации о функциональных связях между измеряемыми величинами для повышения точности измерений // Сб. «Измерения, контроль, автоматизация». –

М., 1984. № 1.

8.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некор-

ректных задач. – М.: Наука, 1974.

9.КрейновичВ.Я., СолопченкоГ.Н. Методыучетаапри-

орнойинформацииприкоррекциипогрешностиизмеренийв ИВКвдинамическомрежиме// Сб. «Исследованиявобласти оценивания погрешности измерений». – Л.: ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 1986.

10.Vladik Kreinovich, Ching-Chuang Chang, L. Reznik, G. Solopchenko. Inverse Problems: Fuzzy Representation of Uncertainty generates a regularisation // Proc. of NASA Conf. «NAFIPS’92», Puerto Vallarta, Mexico, Dec. 15-17 1992, NASA Johnson Space Center, Houston, TX, 1992, vol. II.

11.Солопченко Г.Н. Относительная погрешность, вызванная внедрением средства измерений в объект // Вестник Метрологической академии, СПб отделение, 2001. С. 44–48.

12.Василенко В.И. Теория восстановления сигналов: о редукции к идеальному прибору в физике и технике. – М.: Сов. радио, 1979.

13.Гласко В.Б. Обратные задачи математической физи-

ки. – М.: Наука, 1984.

14.Солопченко Г.Н. Обратные задачи в измерительных процедурах // Сб. «Измерение, контроль, автоматизация». 1983. № 1.

15.СерегинаН.И., СолопченкоГ.Н. Простойрегуляризи-

рующий метод компенсации влияния аппаратной функции нарезультатизмерения// Изв. АНСССР, сер. «Техническая кибернетика». 1984. № 2.

16.Semenov K.K., Solopchenko G.N. Kreinovich V.Ya.

Inverse problems in theory and practice of measurements and metrology // Proc. of International Conference AMCTM 2014, St Petersburg, Russia, 10-12 September, 2014.

17.Эйкхоф П. Основы идентификации систем управле-

ния. – М.: Мир, 1975.

18.Солопченко Г.Н. Минимальная дробно-рацио- нальная аппроксимация комплексной частотной характеристики средств измерений // Измерительная техника. 1982. № 4.

19.Крейнович В.Я., Солопченко Г.Н. Оценка канониче-

ских параметров комплексных частотных характеристик средств измерений // Измерительная техника. 1993. № 9.

20.ГОСТ 8.009 «ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений». – М.: Изд-востандар-

тов, 1985.

21.Уилкс С. Математическая статистика. – М.: Наука,

1967.

22.Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистическогоанализа. – М.: Финансыистатистика, 1988.

23.СолопченкоГ.Н. Определениедоверительныхинтервалов для характеристик погрешности средств измерений

ирезультатов измерений вне зависимости от вида закона распределения // Измерительная техника. 1996. № 10.

24.Солопченко Г.Н. Проверка статистических гипотез о характеристиках погрешности средств измерений вне зависимости от вида закона распределения // Измерительная техника. 1997. № 11.

25.Семенов К.К., Солопченко Г.Н. Теоретическиепред-

посылкиреализацииметрологическогоавтосопровождения программобработкирезультатовизмерений// Измерительная техника. 2010. № 6.

26.Semenov K.K., Solopchenko G.N., Kreinovich V.Ya.

Fuzzy intervals as foundation of metrological support for computations with inaccurate data // Proc. of International Conference AMCTM 2014, St. Petersburg, Russia, 10-12 September, 2014.

27.Солопченко Г.Н., Савков К.Ю. Вопросы синтеза физически реализуемых обратных фильтров // Тезисы докл. III Всесоюз. симп. «Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии». – Новосибирск.: СНИИМ, 1982.

28.Солопченко Г.Н. Принципы нормирования, определения и контроля характеристик погрешности вычислений в ИИС // Измерительная техника. 1985. № 3.

29.Дмитриев В.Г., Желудева Н.А., Крейнович В.Я.

Применениеметодовинтервального анализадляоценкипогрешностиалгоритмоввИИС// Сб. «Измерения, контроль, автоматизация». 1985. № 1.

30.Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. Основы теории из-

мерительно-вычислительных систем сверхвысокого разрешения // Измерительная техника. 1998. № 2.

31.Солопченко Г.Н. Использование избыточности для получения устойчивых решений некорректных задач // Труды IV симпоз. по проблеме избыточности в информационных системах, ч. IV . – Л.: ЛИАП, 1974.

32.Серегина Н.И., Солопченко Г.Н. Коррекция ис-

кажений хроматограмм и разделение перекрывающихся хроматографическихпиков// Журналаналитическойхимии, 1995. Т. 50. № 2.

33.G.N. Solopchenko, Sh.R. Fatkudinova. The Application of digital Simulation for the Estimation of the chemical Analysis Errors // Proc. of 1-st Int. Conf. «International and

National Aspects of Ecological Monitoring.» May 25-28, 1997,

St. Petersburg.

34.ГОСТ Р 545200.1-2011. Руководство ИСО/МЭК 98.1: 2011 «Неопределенность измерения. Ч. 1. Введение в руководство по неопределенности измерения». – М.: Стандартинформ, 2012.

35.ГОСТР545200.3-2011. РуководствоИСО/МЭК98.3: 2011 «Неопределенность измерения. Ч. 3. Руководство по выражению неопределенности измерения». – М.: Стандартинформ, 2012.

36.Солопченко Г.Н., Собенников В.Л. Эксперименталь-

ноесравнениедвухнезависящихотраспределенияметодов интервального оценивания характеристик погрешности средств измерений // Измерительная техника. 1994. № 1.

37.Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математиче-

ской статистики. – М.: Наука, 1965.

38.ВальдА. Последовательныйанализ. – М.: Физматгиз,

1960.

39.Fisher R.A. The fiducial argument in statistical inference

//Ann. Eugen., 1935, vol. 6.

40.Аарна О.А., Йыерс К.А., Сийтан У.У. Применение псевдоизмерений при оценке химико-технологической системы// Тезисыдокл. V Всесоюз. совещ. постатистическим методам в процессах управления. – Алма-Ата, 1981.

41.Kearfott R.B., Kreinovich V. Application of interval computations. – Dordrecht, Boston, London.: Kluwer Academic Publishers, 1996 (ISBN 0-7923-3847-2).

42.G.N. Solopchenko, L.K. Reznik, W.C. Johnson. Fuzzy Intervals as a Basis for Measurement Theory // Proc. of the NASA Conf. NAFIPS’94, San-Antonio, Texas, Dec. 18-20, 1994.

43.Luca Mari. Notes on Fuzzy Set Theory as a Tool for the Measurement Theory // Digest of the 12th Triennal World Congress IMEKO, vol. III, Beijing, China.

44.СолопченкоГ.Н. Представлениеизмеряемыхвеличин

ипогрешностейизмеренийкакнечеткихпеременных// Измерительная техника. 2007. № 2.

45.Обработканечеткойинформациивсистемахприня-

тия решений / Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В.

идр. – М.: Радио и связь, 1989.

46.Hung T. Nguyen, Vladik Kreinovich. Nested Intervals and Sets: Concepts, Relations to Fuzzy Sets and Applications // in R.B. Kearfott and V. Kreinovich «Applications of Interval Computations», pp. 245-290 – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 1996.

47.Semenov K.K., Solopchenko G.N., Kreinovich V.Ya.

Proceeding measurement uncertainty: from intervals and p-boxes to probabilistic nested intervals // SCAN’2012. Book of Abstracts of Jnt. Symp. оf scientific Computing, September 23–29, Novosibirsk, Russia, ЗАОРИЦ «Прайс-курьер», 2012.

48.СеменовК.К., СолопченкоГ.Н. Исследованиекомби-

нированногометодаметрологическогоавтосопровождения программобработкирезультатовизмерений// Измерительная техника. 2011. № 4.

49.Piponi D. Automatic Differentiation, C++ Templates and Photogrammetry // The Journal of Graphics Tools, Vol. 9, № 4, 2004.

50.ГОСТР545200.3.1-2011. РуководствоИСО/МЭК98- 3: 2008/Дополнение1:2008 «Неопределенностьизмерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло». – М.: Стандартинформ, 2012.

Г.Н. Солопченко