Канке В.А. Энциклопедия философии науки

Глава 19. Философия математики

ный принцип математической индукции был обобщен до трансфинитной индукции (в которой используются так называемые трансфинитные числа, порядковые типы вполне упорядоченных множеств). На наш взгляд, метод трансфинитной индукции может рассматриваться как один из идеалов математического познания. Методами формализма были исследованы, казалось бы, наиболее чуждые ему интуиционистские системы. В 1933 г. Г¸дель показал, что классическую арифметику можно интерпретировать в интуиционистской арифметике. В дальнейшем непротиворечивость классической арифметики удалось показать интуиционистскими методами [12; 15, с. 37]. Удалось также показать, что в отсутствие приемлемых идеализаций растет длина математических выводов. В нестандартных моделях математического анализа наряду с действительными числами присутствуют нестандартные, в том числе бесконечно малые и бесконечно большие числа [20]. Нестандартный анализ можно рассматривать как развитие идеи Гильберта о необходимости идеальных понятий.

Наконец, крайне существенно, что в физике математические теории используются непременно вместе с их идеальными компонентами (функции комплексного переменного, понятие бесконечности). При интерпретации результатов физических измерений идеализации элиминируются. Это означает, что программа Гильберта имеет не только чисто теоретическое, но и прикладное значение. Подобно интуиционизму программа формализма представляет собой одно из важнейших метанаучных направлений современной математики. Как отмечалось выше, эти два направления не отделены друг от друга непроходимыми рвами. Нет оснований для противопоставления их друг другу.

19.6. Теретико-множественное направление

Согласно теоретико-множественному направлению основанием математики является теория множеств, и к ней должны быть сведены другие математические теории. Кроме того, сама теория множеств должна быть обоснована строго аксиоматически. В рассматриваемом направлении эта теория выступает в особом качестве, а именно как идеал, или методологическая норма математики. Среди лидеров те- оретико-множественного направления чаще других называют Г. Кантора, Э. Цермело, А. Френкеля и К. Г¸деля. Теоретико-множе-

391

Часть 2. Специальная философия науки

ственное направление имеет много общего с логицизмом, и особенно с формализмом. Во всех трех направлениях всячески приветствуется аксиоматический метод. Но в методологическом отношении теоретико-множественное направление автономно, его идеалы имеют самостоятельное значение.

Довольно часто сторонников теоретико-множественного подхода называют платонистами. Как известно, согласно Платону математические объекты идеальны, нечувственны и нематериальны. Позиция сторонников теоретико-множественного направления схожа с воззрениями Платона в том смысле, что они рассматривают математические объекты существующими, причем безотносительно к конструктивистским операциям. Имеется также в виду, что математика отражает понятийную структуру реального мира (сравните: согласно Платону идеи – модели материальных вещей). Строго говоря, между воззрениями приверженцев теоретико-множественного направления и Платона существует известная преемственность, но не тождество [21]. Совсем не обязательно восходить от теоретико-мно- жественного идеала к его платонистическому истолкованию. Можно принимать его как таковой, и только.

Первые успехи теоретико-множественного направления были связаны с выработкой Э. Цермело (1908) довольно удачной аксиоматики теории множеств, позднее усовершенствованной А. Френкелем (1922). Казалось, что таким путем можно раз и навсегда избавиться от парадоксов теории множеств. Но теоремы Г¸деля о неполноте и непротиворечивости выявили ограничительные возможности теории множеств. Целый ряд неожиданностей оказался, кроме того, связан с аксиомой выбора и континуум-гипотезой. Согласно континуумгипотезе всякое бесконечное подмножество множества мощности континуума либо равномощно множеству натуральных чисел, либо имеет мощность континуума (мощность континуума есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел). Континуум-гипотеза актуальна в деле обосновании аксиоматики теории множеств. Но проблема состояла еще и в том, чтобы выяснить, возможно ли доказать (опровергнуть) средствами теории множеств аксиому выбора и континуум-гипотезу. Ясность в эту проблему была внесена лишь в 1963 г. [22], в первую очередь, благодаря работам К. Г¸деля и П. Коэна.

392

Глава 19. Философия математики

Было доказано, что в аксиоматике Цермело–Френкеля аксиома выбора, континуум-гипотеза и отрицание обоих положений неразрешимы. Это означает, что если аксиомы Цермело–Френкеля непротиворечивы, то к ним можно добавить либо одно из рассматриваемых утверждений, либо оба, а также либо отрицание одного из положений, либо отрицание обоих. Можно вообще отказаться от аксиомы выбора и континуум-гипотезы, но в таком случае теория множеств обедняется. Можно в систему аксиом Цермело–Френкеля включить аксиому выбора и отрицание континуум-гипотезы или же отрицание аксиомы выбора и континуум-гипотезу. Существуют и другие способы построения аксиоматической теории множеств, не упомянутые нами. Вывод из сказанного, особенно если учесть, что аксиоматика Цермело–Френкеля не является единственной, очевиден: возможен целый ряд различных теорий множеств.

В рассматриваемом контексте достойна упоминания и теорема Л¸венгейма–Сколема. Оказалось, что любая аксиоматическая система некатегорична, т. е. она может быть интерпретирована по-разно- му. Так, одна и та же теория может представлять как счетное, так и несчетное множество (несчетное множество в отличие от счетного неэквивалентно множеству натуральных чисел). Налицо нечто вроде принципа математической относительности. Природа множества не является изначально данной. Она теоретически нагружена в том смысле, что зависит от избираемой аксиоматики и ее интерпретаций.

Развитие теоретико-множественного направления показало, что его статус всякий раз существенно определяется активностью субъекта, члена математического сообщества. В случае если математик пассивен и не проявляет должной метанаучной проницательности, он встречается с явными сюрпризами: математика выступает не такой, какой ее себе представляли, она оказывается «умнее» своего создателя. История эволюции теоретико-множественного направления демонстрирует тот факт, что математика, обладая единством, не единообразна. Теория множеств многообразна. Свести всю математику к теории множеств так и не удалось. Бесспорно, сторонникам теоре- тико-множественного направления удалось активизировать одну из важнейших тенденций интеграции математического знания, связанную с возможностью интерпретации его содержания на основе теории множеств.

393

Часть 2. Специальная философия науки

19.7. Интегральная оценка математических направлений

Выше было рассмотрено содержание четырех главных направлений математики: логицизма, интуиционизма, формализма и теоре- тико-множественного подхода. При ближайшем рассмотрении выясняется, что в вышеупомянутой четверке несколько особняком стоит логицизм, который можно расценивать как вариант интерпретации взаимосвязи двух научных комплексов – логического и математического. Интуиционизм, формализм и теоретико-множественный подход, в том смысле, в каком они рассмотрены в данной главе, относятся исключительно к математике.

Логицизму можно поставить в параллель эмпирицистский подход, который обычно составляет единство с методом абстракций Дж. Локка. Эмпиризм – это попытка выразить связь математики с науками о природе, прежде всего с физикой. Эмпиризм в математике часто превращается в физикализм, следы которого отчетливо просматриваются в широко распространенном клише «физико-матема- тические науки». Но математика и физика – это различные науки. Моделирование увязывает эти науки в единое целое, но оно вовсе не конституирует новые (физико-математические) науки. Таким образом, метаматематика отличается от моделирования, одной стороной которого (то ли в качестве модели, то ли в качестве оригинала) выступает математика как таковая.

Математика не совпадает и с философско-номинальными интерпретациями математики. Номинальные определения лишь поверхностно касаются концептуальных глубин этой науки. Под философс- ки-номинальными интерпретациями математики мы имеем в виду истолкование природы математики с позиций различных философских направлений, например платонизма, кантианства, феноменологии, герменевтики, аналитической философии, постструктурализма. Основатели математических направлений в той или иной форме демонстрировали свою принадлежность к определенным философским системам. Изобретатели логицизма Фреге и Рассел в качестве логистических философов должны быть отнесены к аналитической философии, но у обоих присутствуют и платонистические мотивы. Основатель интуиционизма Брауэр – интуитивист. Основатель формализма Д. Гильберт – кантианец. Один из основателей теоретикомножественного подхода К. Г¸дель – платоник.

394

Глава 19. Философия математики

Важно заметить, что все направления математики могут быть истолкованы с позиций любой философии. Интуиционизм возник на базе интуитивизма. Но в дальнейшем, особенно в связи с конструктивизмом, он часто стал рассматриваться исключительно в аналити- ческом ключе: не случайно многие конструктивисты начинают свои системы с описания используемого языка, его алфавита и т. д. Как известно, именно аналитики ставят во главу угла анализ языка. При желании можно связать конструктивизм и с феноменологией. В таком случае используемая в конструктивизме идеализация отождествления будет воспринята в качестве эйдетической интуиции, а операцию построения математических объектов можно поставить в параллель с потоком феноменов: в обоих случаях реализуется некий процесс. Любая математика может быть интерпретирована герменевтически, в духе Гадамера. С этой целью достаточно реконструировать ход выяснения сути дела в математическом языке, например в случае споров вокруг аксиомы выбора. Умный постструктуралист в многообразии геометрий или теорий множеств скорее всего признает милое ему многообразие языков.

Читатель, усвоивший содержание всего вышесказанного, может смело совершать переходы от философии к математике и обратно. Отнюдь не всегда целесообразно в поисках философско-математи- ческих откровений просеивать сквозь сито анализа многочисленные тексты великих математиков, часть которых не была по-настоящему компетентна в философии. Порой имеет смысл взять на себя труд философской интерпретации математики. Разумеется, учет достижений математики актуален для философии. Так, критически настроенный феноменолог, отталкивающийся в своих рассуждениях от математики, должен, надо полагать, существенно изменить свою позицию по той простой причине, что от математических объектов не исходят феномены. Усвоение уроков математики должно отвратить феноменолога не только от психологизма (этот путь был пройден Э. Гуссерлем под влиянием критики Г. Фреге), но и от эмпиризма. Однако и математики могут кое-что почерпнуть у феноменологов, особенно в стремлении объяснить пути выработки математических конструктов.

Мы ни в коей мере не намерены принизить значимость философии для математики. Необходимо, однако, подчеркнуть, что не в фи-

395

Часть 2. Специальная философия науки

лософии, а в философии математики получают свое непосредственное выражение концептуальные глубины математики. Философия математики – это философско-концептуальный (а не философскономинальный) уровень комплекса математических наук. Конституирование философии математики произошло лишь в XX в. Один из центральных ее выводов гласит: изменение математических идеалов непременно приводит к трансформации всего комплекса математи- ческого знания. Этот процесс не должен разочаровывать. Математику следует принимать такой, какой она является.

«Развитие оснований математики с начала XX в., – резюмирует М. Клайн, – протекает поистине драматически, и современное состояние математики по-прежнему весьма плачевно, что вряд ли можно считать нормальным. Вместо единой, вызывающей общее восхищение и одинаково приемлемой для всех математической науки, доказательства которой считались наивысшим достижением здравого смысла, хотя порой и нуждались в коррекции, мы имеем теперь различ- ные, конфликтующие между собой подходы к математике» [2, с. 320]. Такого рода заявления несостоятельны. Благодаря усилиям своих творцов математика становится все более концептуально насыщенной. Многообразие направлений – это не беда математики, как полагает Клайн, а ее преимущество.

Сравнение современной математики с традиционной математикой свидетельствует, конечно же, в ее пользу. Традиционная математика наивна, ориентируется на сравнительно простую концепцию истины, использует грубые идеалы, упрощает там, где это, порой, недопустимо. Современная математика (условно можно считать, что ее возраст – около ста лет) отмечена многочисленными достижениями, она не утратила единства, но стала многообразной. Многообразие – всегда результат развития. Разумеется, это развитие происходит не гладко, а по ухабам сложных проблем. Но любой путь к совершенству труден.

19.8. Математизация знания

Неоднократно признавалась плодотворность математизации на- учного знания и проводился анализ ее этапов [23, 24]. Ниже рассматривается смысл математизации знания, природа ее актуальности.

396

Глава 19. Философия математики

Наряду с математикой часто говорят о так называемой прикладной математике. При этом, вспоминая Галилея, утверждают, что математика – язык науки. Но действительно ли существует особая математическая наука – прикладная математика? Если да, то почему математике удается мирно ужиться с другими науками? В чем состоит, как выразился однажды физик Е. Вигнер, «непостижимая эффективность математики»? Какая часть математики востребована другими науками? Дальнейшее обсуждение, так или иначе, касается поставленных нами вопросов.

«Приложение» математики к другим наукам осуществляется посредством моделирования. Это означает, что математика рассматривается как образец, скажем, физики. Физико-математическое моделирование устанавливает соответствие между языком математики и языком физики. Всякая наука использует свой собственный, а не математический язык. Но между всеми формализованными языками существует определенное соответствие и в этой связи родственность с языком математики. Прикладная математика – это не особая наука, а лишь способ взаимоотношения наук. Так, между математикой и физикой нет науки, которая в концептуальном отношении отли- чалась бы от физики и математики. Можно выделить объект математики (числа, функции и т. д.) и объект физики (частицы, поля и пр.), но нельзя выделить специальный объект, например физико-матема- тического или биолого-математического моделирования. При анализе структуры современной науки всегда необходимо делать различия между науками как таковыми и их связями, которые недопустимо субстанциализировать, считая их особыми науками. Связи и отношения между науками – это не то же, что сами науки (если А связано с В, то это не означает, что между ними находится С).

Итак, в модельном отношении математика находится вне других наук. А это означает, что математика может не достигать концептуального содержания наук. Действительно, часто математическое моделирование не достигает цели и далеко не всякое математическое моделирование действенно. История физики показывает, однако, что в принципиальном отношении ее рафинированная концептуальность действительно связана с математикой. Эту концептуальность трудно представить себе без использования математического

397

Часть 2. Специальная философия науки

анализа в классической механике, неевклидовой геометрии в общей теории относительности, векторной алгебры в квантовой теории.

Поучителен пример с Дж. Джинсом, который в 1910 г. утверждал, что физикам нет необходимости изучать теорию групп, ибо ей никогда не найдется применение в физике [25, с. 351]. Ныне теоре- тико-групповое направление занимает в физике едва ли не центральное место. Теория групп необходима, в частности, для систематики элементарных частиц и формулировки принципов инвариантности. Казус Дж. Джинса показывает, что вопрос о том, какая именно математика должна быть востребована той или иной наукой, является в высшей степени неординарным. Нет универсальной математики, которая была бы пригодна для всех случаев. Концептуальную суть той или иной науки представляет не любая математика, а лишь та, которая имеет с ней органические связи. Это обстоятельство, возможно, объясняет, почему за пределами физики, например в биологии, действенность математики идет на убыль. Не исключено, что пока еще не найдена форма математики, адекватная природе биологических явлений. В этой связи определенные надежды возлагают на фрактальную геометрию.

Казус Джинса может быть понят и таким образом: любая математическая дисциплина будет в конечном счете использована за пределами математики. Это утверждение, думается, излишне категорич- но. Многообразный мир математики лишь частично пересекается с другими науками. Впрочем, при детальном анализе этого соприкосновения выясняется, что с той или иной наукой контактирует не только данная математическая дисциплина, а математика в целом. Любая математическая дисциплина, не будучи полностью автономной в рамках математики как единого целого, вовлекает его в математическое моделирование.

При моделировании математика выступает как модель по отношению к оригиналу, например к физике. Строго говоря, моделируется только синтаксическая часть науки. Необходимо, однако, учи- тывать, что синтактика находится в определенной связи с семантикой и прагматикой. В силу этого математическое моделирование актуально, например, не только для физической и экономической синтактики, но и для физической семантики и экономической праг-

398

Глава 19. Философия математики

матики. Всегда находится такая математическая система, которая особо актуальна в деле моделирования содержания той или иной науки. Так, исследование операций и теория игр представляют интересные возможности по математизации аксиологических наук [26, 27].

Исследование операций призвано выделить среди возможных решений оптимальные. В теории игр изучаются конфликтные ситуации, противостояния двух и более игроков («игроком» может быть

èприрода). Вновь речь идет об оптимальных решениях. Математика внедряется в конкретную прагматику постольку, поскольку в ее рамках удалось разработать математическую теорию оптимальных процессов. Обычно оптимальные решения связаны с отысканием экстремумов функций при тех или иных ограничениях, накладываемых на них. Теория оптимальных процессов может использоваться для моделирования как природных явлений, так и поступков людей. Существенное различие между теми и другими состоит, однако, в том, что в отличие от природных процессов люди в своих поступках руководствуются определенными ценностями и стратегиями поведения.

Успехи математической теории игр свидетельствуют о многом. Во-первых, нет оснований возводить бастионы между математикой

èгуманитарными науками. Во-вторых, сам концепт игры должен осмысливаться с учетом статуса математики. К сожалению, столь популярный среди философов концепт игры часто осмысливается как торжество произвольности, которой чужда всякая формализация. Действительное положение дел не подтверждает такого понимания игры. Кстати, если бы в самом деле была возможна абсолютная произвольность, даже она была бы не без успеха промоделирована математикой. В плане понимания прагматики человеческих поступков, а также концепта игры, важно не противопоставлять математику гуманитарным наукам, а укреплять их союз.

Âзаключение еще раз коснемся тезиса Е. Вигнера о непостижимой эффективности математики. На наш взгляд, эффективность математики определяется тем, что она в концептуальной форме выражает одну из сторон жизнедеятельности людей. Математическое моделирование – это ключ к пониманию мнимой непостижимости математики.

399

Часть 2. Специальная философия науки

Литература

1.Рузавин Г.И. Об особенностях научных революций в математике // Методологический анализ закономерностей развития математики. – М.,1989. С. 180–193.

2.Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М., 1984.

3.Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. – М.,1991.

4.Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М., 1963.

5.Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений. – Ì.–Ë., 1949. Ò. 2.

6.Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. – М., 1966.

7.Гейтинг А. Тридцать лет спустя // Математическая логика и ее применения. – М., 1965. – С. 224–228.

8.Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. – М.,

1963.

9.Вейль Г. Математическое мышление. – М., 1989.

10.Гильберт Д. Основания геометрии. – Ì.–Ë., 1948.

11.Поппер К. Логика и рост научного знания. – М., 1983.

12.Нагорный Н.М. К вопросу о непротиворечивости арифметики // XI Международная конференция. Логика, методология, философия науки. Вып.1. – М.; Обнинск, 1995. С. 45–47.

13.Барабашев А.Г., Глушков С.С. Новые интегративные тенденции в развитии математического знания // Философские науки. – 1988. – ¹ 7. –

Ñ.42–49.

14.Непейвода Н.Н. Логицизм // Новая философская энциклопедия. – М., 2001. Т.3. – С. 431–433.

15.Карри Х. Основания математической логики. – М., 1969.

16.Гейтинг А. Интуиционизм. – М., 1965.

17.Марков А.А. О логике конструктивной математики. – М., 1972.

18.Смирнова Е.Д. Логика и философия. – М., 1996.

19.Непейвода Н.Н. Формализм // Новая философская энциклопедия. – М., 2001. Т.4. – С. 267–269.

20.Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? – М., 1987.

21.Перминов В.Я. Философия платонизма и проблема обоснования математики // XI Международная конференция. Логика, методология, философия науки. – М.; Обнинск, 1995. Вып. 1. – С. 48–51.

22.Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. – М., 1969.

23.Математическое моделирование. – М., 1979.

24.Рузавин Г.И. Математизация научного знания. – М., 1984.

25.Дайсон Ф.Математика и физика // Успехи физических наук. – 1965. Т. 85. – Вып. 2. – С. 351–364.

26.Исследование операций. Т. 1, Т. 2. – М., 1981.

27.Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов и кибернетиков. – М.,1985.

400