Канке В.А. Энциклопедия философии науки

Глава 19. Философия математики

странство описывается несколькими геометриями, какая из них истинна? Н.И. Лобачевский, рассуждая о «воображаемой геометрии», нашел изящный выход из затруднительной ситуации: «некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой геометрии...» [5, с. 159]. Этот вывод во времена Н.И. Лобачевского не мог быть подтвержден экспериментально. К тому же он имеет не математический, а физический статус. Речь тем не менее должна идти о математических аргументах. Математики извлекли свои выводы не из физических экспериментов. Не имея возможности опереться на данные наук о природе, математикам пришлось признать, что геометрия – конструкция чисто математическая. Наиболее последовательно эту идею защищал Г. Грассман (1844).

Создание неевклидовых геометрий, во-первых, способствовало развенчанию эмпиризма в математике – она извлекается не из эксперимента, а является продуктом творческого, рационального воображения людей. Во-вторых, благодаря неевклидовым геометриям в математике был создан плацдарм для математического плюрализма. В-третьих, неевклидовые геометрии в яркой форме представили один из типов математического обобщения. Развитие математического познания часто связано с обобщениями. В этой связи полезно вспомнить о расширении понятия числа: натуральные – дробные – отрицательные – рациональные – иррациональные – комплексные числа.

Рассмотрим еще одну линию математического обобщения, истоки которой находятся не в геометрии, а в арифметике. Ее обобщение привело к алгебре, широко использующей буквенные обозначе- ния, облегчающие анализ различных числовых систем. Так называемые алгебраические операции сходны со сложением и умножением чисел. Использование алгебраических методов в геометрии превратило ее в аналитическую геометрию. Союз арифметики, алгебры и геометрии кульминировал в XVII в. в концептах переменной (вна- чале говорили только о переменных величинах), функции, дифференциала, производной. Так возник математический анализ с его ядром – дифференциальным и интегральным исчислением, о достоинствах которого наслышан каждый.

В актуальности математического анализа мало кто сомневался, но его основания привели к острейшим разногласиям в стане математиков. Особенно острые споры разразились вокруг статуса так на-

371

Часть 2. Специальная философия науки

зываемых малых величин (постоянно напоминала о себе и проблема бесконечности, особенно в связи с так называемыми расходящимися рядами). Основатели математического анализа Г. Лейбниц и И. Ньютон считали дифференциалы то нулями, то конечными вели- чинами. Споры о природе бесконечно малых величин шли весь XVIII в. Наконец, разгул эклектического плюрализма был прерван идеями О. Коши в двадцатых годах XIX в., которые в конце того же столетия получили дальнейшее развитие в работах Б. Больцано, и особенно К. Вейерштрасса. О. Коши прославился разработкой концепта предела (некоторая переменная в процессе ее изменения неограниченно приближается к некоему постоянному значению). Как выяснилось, основные понятия математического анализа, в том числе непрерывность, производная, интеграл, определяются через концепт предела.

Теория пределов имела важнейшее значение для развития философских вопросов математики. Во-первых, теория пределов посрамила огромную армию метафизиков, которые пытались разрешить проблемы математического анализа исходя из околоматематических рассуждений. Во-вторых, она показала, что сами математики с большим трудом порой находят путь к новым концептам, явно нагруженным философскими моментами. Так, работы О. Коши показали, что в математическом анализе величины являются бесконечно малыми не актуально, но потенциально. В наши дни этот вывод уточнен: следует проводить различие между актуально и потенциально существующими бесконечно малыми величинами. В-третьих, теория пределов опрокинула программу эмпиризма в математике еще более решительно, чем евклидовы геометрии. Никакой эксперимент не позволяет продемонстрировать, каким образом та или иная переменная достигает своего предела. Но при всех своих достижениях теория пределов в том виде, в каковом она существовала в XIX в., обладала и недостатками. Так, при определении предела О. Коши опирался на понятие действительного числа. С другой стороны, иррациональные числа, а они, как известно, являются действительными числами, понимались как пределы последовательностей рациональных чисел. Налицо явный логический круг.

Теория пределов в известной степени справилась с трудностями, связанными со статусом бесконечно малых величин. Но ее недостат-

372

Глава 19. Философия математики

ки особенно четко выявились при анализе расходящихся рядов с бесконечно большим числом членов. Выяснилось, что при доказательстве теорем в математическом анализе некритически используется понятие актуальной бесконечности. Это и другие обстоятельства убедили немецкого математика Г. Кантора в необходимости разработать теорию не только конечных, но и бесконечных множеств. В качестве основателя теоретико-множественного подхода Кантор добился впе- чатляющих успехов, в частности, разработал понятие мощности множества и доказал несчетность множества всех действительных чисел, т. е. невозможность привести его во взаимнооднозначное соответствие со множеством целых положительных чисел. Таким образом, было установлено существование бесконечных множеств, имеющих разные мощности.

Тем не менее рост влияния теории множеств на развитие математики сопровождался неожиданностями. Введение таких, казалось бы, очевидных понятий, как «мощность множества всех множеств», сопровождалось появлением парадоксов, число которых росло. Математики оказались в весьма затруднительном положении: их любимое дитя явно капризничало. В данном случае нет необходимости рассматривать все парадоксы теории множеств [6]. Обратим внимание лишь на самый знаменитый парадокс, который обнаружил Б. Рассел. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, называются собственными. Множества, содержащие себя в качестве элемента, называются несобственными. Примером собственного множества является множество (класс) звезд, которое не является звездой. А вот каталог каталогов является каталогом, следовательно, он образует несобственное множество. Пусть N – множество всех множеств, не содержащее себя в качестве своего элемента. Тогда если N не принадлежит N, то, по определению N, N принадлежит N; если же N принадлежит N, то, по определению N, N не принадлежит N.

Популярной иллюстрацией парадокса Рассела является история с деревенским брадобреем, который объявил, что он бреет всех, кто не бреет себя сам. Если он не бреет себя сам, ему надлежит брить себя, что противоречит его объявлению. Но если он бреет себя сам, он противоречит собственному условию: брить только тех, кто сам себя не бреет. Брадобрей находится в безвыходном положении: как

373

Часть 2. Специальная философия науки

брея себя, так и не брея себя, он противоречит своему объявлению. Парадокс Б. Рассела поставил под сомнение сам концепт множества, именно поэтому он крайне нервозно был воспринят математиками. Следует отметить, что парадоксы теории множеств в существенной степени стимулировали развитие философии математики. Никогда ранее не ощущалась в математике столь острой потребности в философии. Ситуация начала XX в. в математике по своей философской насыщенности напоминает положение дел в квантовой физике, сложившееся в 1920–1930-х годах. В том и другом случае философствовать были вынуждены даже те, кто этого не желал делать.

Многочисленные пути преодоления парадоксов теории множеств в случае их концептуальной классификации можно считать относящимися, по крайней мере, к четырем направлениям: логицизму, формализму, интуиционизму и теоретико-множественному подходу, который часто называют математическим платонизмом. Сторонникам этих направлений так и не удалось придти к единству мнений. В результате математика стала плюралистичной. В данном случае речь идет не об эклектическом плюрализме, часто предшествующем стадии установления рафинированной теории, а о плюрализме, в рамках которого различие подходов неустранимо. Один из столпов интуиционизма, А. Гейтинг, сравнивая положение дел в математике в 1930-х и в 1960-х годах, констатировал, что первоначально представители различных математических направлений считали единственно правильным то направление, к которому они сами принадлежали. Положение дел решительно изменилось к 1960 г. «Ни одно из направлений теперь не претендует на право предоставлять единственно верную математику. Философское значение исследований по основаниям математики состоит, по крайней мере, частич- но, в разделении формальных, интуитивистских, логических и платонистских элементов в структуре классической математики и точ- ном определении областей действия и ограничения этих элементов» [7, c. 225]. Итак, со второй половины XX в. математика развивается

âрусле методологического плюрализма.

Âкачестве заключения к данному параграфу, обозревая многовековой путь развития философии математики, выделим ее важнейшие этапы.

374

Глава 19. Философия математики

1.Изобретение в III в. до н. э. аксиоматического метода (геометрия Евклида). Хорошо известно, что это изобретение было подготовлено трудами древнегреческих философов от Фалеса до Аристотеля.

2.Придание алгебре самостоятельного статуса арабскими математиками (Ал-Хорезми и др.) в IX–XI вв. Оно привело к тому, что средневековая алгебра стала обобщением арифметики. Исследования арабских алгебраистов сохраняли тесную преемственность с логическими исследованиями их философского кумира Аристотеля. Именно из его логики арабы заимствовали традицию оперирования с буквенными обозначениями.

3.Создание философом и математиком Р. Декартом аналитичес-

кой геометрии и введение им переменных величин в математику (XVII в.).

Существует тесная преемственность между философией Декарта с его пристрастием к концепции протяженной субстанции и развитым им вариантом аналитической геометрии.

4.Изобретение Г. Лейбницем и И. Ньютоном дифференциального исчисления (XVII в.). Существует определенный параллелизм между монадологией Лейбница и его математическим анализом.

5.Создание неевклидовых геометрий во второй четверти XIX в. Н.И. Лобачевским, Я. Больяи, К. Гауссом и Б. Риманом. Н.И. Лоба- чевский и К. Гаусс в философском обосновании своих геометрических прозрений исходили из идеи об обусловленности свойств пространства материальными взаимодействиями объектов. Эта идея восходит к работам Лейбница и Аристотеля.

6.Разработка О. Коши концепта предела (1820-е годы). Чисто философские истоки этого понятия можно обнаружить у Аристотеля, а также у Н. Кузанского.

7.Создание теории актуальных бесконечных множеств (Г. Кантор

èдр., последняя четверть XIX в.). Ее создатель руководствовался философией Платона.

8.Разработка логицизма как философско-математического направления (Б. Рассел и др.). Расселовский логицизм выступает продолжением традиций британского эмпиризма с его приверженностью к номинализму.

9.Создание интуиционистского направления в математике (Я. Брауэр, А. Гейтинг и др.). В философском отношении математический интуиционизм восходит к идеям Декарта, Паскаля и Канта [8].

375

Часть 2. Специальная философия науки

10.Развитие программы формализма Д. Гильбертом. В творчестве Гильберта отчетливо просматриваются философские идеи Канта.

11.Переход на позиции философско-математического плюрализма. В этом отношении весьма показательно творчество Г. Вейля, умело сочетавшего возможности различных математических подходов [9,

ñ.90]. В наши дни вряд ли возможно найти выдающегося математика, который оставался бы в пределах одного философско-математи- ческого направления.

Разумеется, перечисленные этапы дают лишь самое общее представление о перипетиях развития философии математики. И, конеч- но же, мы не ставили перед собой задачу всякий раз выяснять философские истоки той или иной математической идеи (в противном случае пришлось бы каждый тезис сопровождать многостраничными рассуждениями, что в данном случае неприемлемо). Как бы то ни было, плацдарм для наших последующих рассуждений создан.

19.2.О единстве и предмете математики

Самое популярное определение предмета математики принадлежит Н. Бурбаки (коллективное имя группы французских математиков): «Математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур» [4, с. 258]. На первый взгляд, это определение заслуживает полного одобрения. Но правомерно ли оно? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к его предыстории.

В те далекие времена, когда в математике безраздельно господствовали геометрия и арифметика, ее предмет было резонно определять как количественные отношения и пространственные формы (это определение от имени Ф. Энгельса часто приводилось в работах оте- чественных философов и математиков советского периода). Рассматриваемое определение не выдерживает критики. Во-первых, количе- ственные отношения имеют смысл лишь в пределах одного и того же качества. А это означает, что наличие количественных отношений всегда сопровождается присутствием качества. Даже в случае с числами натурального ряда обнаруживается качество, а именно число как таковое. Всякая переменная Xi фиксирует и качество (все иксы тождественны друг другу в качестве иксов), и количество (каждый раз речь идет об определенном иксе). Отметим также, что в случае

376

Глава 19. Философия математики

элементов множества количественные отношения характеризуют эти элементы, т. е. некоторые вещи, а не пустоту. Во-вторых, в определение математики нельзя включать ссылку на пространственные формы, ведь они являются непосредственным предметом изучения

физики.

Усматривая специфику математики именно в арифметике и геометрии, можно определить ее предмет как дискретные и непрерывные сущности. При этом дискретности считаются предметом арифметики и алгебры, а непрерывности относят к миру геометрии, в том числе к ее обобщению в форме топологии. Алгебра и топология не исчерпывают мир математики. Кроме того, можно показать, что в алгебре обнаруживаются непрерывности, а в топологии дискретности. Поэтому отделение в определении предмета математики непрерывных величин от дискретных не объясняет ее специфику. Интерес вызывает то общее, что позволяет считать алгебру и топологию математикой, а вовсе не их различие.

Вопрос о специфике математики стал плодотворно обсуждаться лишь после того, как сложились основные философско-математичес- кие направления: логицизм, интуиционизм, формализм и математи- ческий платонизм. Строго говоря, можно показать, что представители этих направлений по-разному определяли предмет математики. Впрочем, Д. Гильберту удалось найти такую формулировку, которая в известной степени удовлетворяла всех. «В математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки <...>. Все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул» [10, с. 366]. От Гильберта – один шаг до Бурбаки: на место «совокупности формул» французы поставили скопление «математи- ческих структур». Обе стороны ведут речь об абстрактных сущностях. Но действительно ли математика имеет дело с абстракциями, как утверждается едва ли не в каждом учебнике по математике?

Абстрактное понимается в современной математике весьма двояко. В одном случае имеется в виду, что абстрактное является результатом отвлечения от некоторых свойств материальных объектов. При этом считается, что само абстрактное принадлежит этим объектам. Если бы это было действительно так, то математику следовало бы отнести к разряду эмпирических наук, каковой она, едва ли не по

377

Часть 2. Специальная философия науки

всеобщему признанию современных ученых, не является. Рассматриваемое понимание абстрактного в математике восходит к теории абстракций Дж. Локка и явно неудовлетворительно. Порой математические понятия называют не абстракциями, а идеализациями, т. е. огрублениями действительности. Замена абстракций идеализациями не отменяет эмпиризма в математике, слабости которого были выявлены уже при создании неевклидовой геометрии.

Еще одно понимание абстрактного в математике предполагает его интерпретируемость на некоторую предметную область. Например, мы рассматриваем геометрические точки, прямые и плоскости, но никак не определяем их реальные аналоги, каковыми, по известному разъяснению Д. Гильберта, не обязательно должны быть признаны пространственные признаки. Рассматриваемое определение природы абстрактно-математического, видимо, вполне приемлемо. Следует, однако, заметить, что при таком толковании термины «абстрактный», «абстракция» явно вводят в заблуждение. Оперируя с математическими концептами, никто ни от чего не абстрагируется. Имея это в виду, мы предлагаем математические концепты называть не абстракциями, а конструктами: математические концепты не извлекаются из материальной действительности, а конструируются, причем представителями всех математических направлений, а не только так называемыми конструктивистами. Из изложенного выше следует, что математические структуры не стоит называть абстрактными. Даже термин «формальные структуры» не вполне удовлетворителен. Он может быть принят логицистами, которые считают логические и математические структуры в равной степени формальными. Но статус логики и математики все-таки различен.

Математика – наука, объектами которой являются математические конструкты (числа, кольца, поля, функции и т. д.). Приведенное определение кажется тавтологией, но это мнение ошибочное. Смысл приведенного определения состоит в несводимости статуса математических конструктов к каким-либо иным вещам. Следовательно, в определении математики должны присутствовать указанные математические конструкты. Однако при определении предмета математики, как правило, желают не только выделить ее предмет в виде россыпи концептов, но указать присущую им закономерность. Поэтому говорят о математических структурах. Определение: «На-

378

Глава 19. Философия математики

ука о математических структурах называется математикой» – напоминает о другом определении, кажущемся очевидным: «Наука о законах физических явлений называется физикой». В обоих определениях акцент делается на том, что речь идет не просто о некоторых вещах, а об их закономерной, структурной связи. О природе физических явлений мы судим на основе физических теорий. О природе математических конструктов мы судим на основе математических теорий.

Но между физическими и математическими объектами существует принципиальное различие. Только физические объекты принадлежат к действительному, а не воображаемому, миру. И физические, и математические теории вызываются к жизни творческим воображением человека. Те и другие теории являются воображаемыми, в познавательном (эпистемологическим) отношении между ними нет различий. Но они появляются в процессе перехода к онтическому аспекту дела. Математические миры существуют, причем благодаря воображению, но, будучи вызваны к жизни, они не функционируют в качестве описания действительных, природных и социальных, явлений. Применительно к математике концепция возможных миров имеет не только эпистемологический, но и онтологический статус.

Àвот онтическим статусом математика не обладает.

Âтрадиционной философии возможное в онтологическом смысле понимается как тенденция действительного – например его будущее. В концепции возможных миров возможное отделено от действительного, оно самостоятельно по отношению к последнему. Такое понимание возможного не вписывается в рамки традиционной философии. На наш взгляд, концепция возможных миров является развитием концепции третьего мира К. Поппера, который настаивал на реальности мира «объективного содержания мышления» [11, с. 440]. Утонченный философский вкус К. Поппера проявился в вычленении не только ментального, но и онтологического статуса знания. Это обстоятельство имеет решающее значение в осмыслении статуса таких наук, как логика и математика.

Итак, наука о математических структурах возможных миров называется математикой. При желании можно расширить приведенное определение математики за счет включения в него указаний на те операции, которые осуществляются с математическими конструктами. В этой связи часто указывают на математические доказательства

379

Часть 2. Специальная философия науки

èвычисления. Таким образом, математика – это наука о математи- ческих структурах воображаемых миров, включенных в операции доказательств и, как правило, вычислений. Отметим особо, что в определение математики неправомерно включать логические термины. Часто утверждается, что в математике используются логические доказательства. Но в математике все доказательства являются исклю- чительно математическими. Между двумя рассматриваемыми разновидностями доказательств можно установить соответствие, но от этого логические доказательства не станут математическими.

Приведенное выше определение математики, при всех его известных достоинствах, представляется достаточно бедным, дающим поверхностные представления о математике. Это действительно так,

èясно почему. Современная математика представляет собой обширнейшее целое, объединяющее шесть десятков наук и около трехсот тем, как классических (геометрию, арифметику, алгебру, анализ), так

èновых (топологию, комплексный анализ, алгебраическую геометрию, физическую математику и др.). Статус определения математики таков, что он не способен учесть концептуальную рафинированность шести десятков наук. Тому, кто желает понять природу математики исчерпывающим образом, не остается ничего другого, как идти вглубь нее. Этого похода, разумеется, не следует избегать. Он вызывает к жизни актуальнейшие вопросы. Действительно ли математика составляет единое целое? В чем выражается единство математики? Как взаимосвязаны между собой математические теории? Допустимо ли одну математическую теорию сводить к другой? Обратимся к анализу этих вопросов.

Соответствие математических теорий друг другу устанавливается посредством теории моделей. Если тем или иным путем удается

установить соответствие между конституентами двух теорий Т1 è Ò2, то одна из них, а именно та, которая в этой паре считается образцовой, называется моделью (от лат. modulus – образец). Теорию, которая моделируется, мы предлагаем называть оригиналом. Суть образования парных сопоставлений модель – оригинал состоит в том, что информация, полученная при работе с моделью, переносится на оригинал. На этот счет в математике имеются весьма впечатляющие примеры.

380