Канке В.А. Энциклопедия философии науки

Глава 18. Философия логики

Тезис о вариативности логики обосновывался выше в основном на материале логической семантики. Но он подтверждается и логи- ческой синтактикой. Его философское доказательство можно провести по такой схеме: рассмотреть различные способы формализации отношения логического следования (а это, как известно, прежде всего: 1) аксиоматические построения, 2) системы натурального вывода, 3) секвенциальные исчисления и 4) табличные системы) и убедиться, что все они при переходе от классической к неклассической логике подвергаются существенной трансформации. То, что дело обстоит именно таким образом, довольно убедительно показано в обзорной статье П.И. Быстрова [16].

Пересмотр содержания методологических регулятивов логики непременно сопровождается трансформацией как логической семантики, так и логической синтактики. При этом сохраняется преемственность между классической и неклассической логиками. Все идеалы классической логики по отношению к идеалам неклассической логики выступают как абсолютизации их известных сторон. Лишите релевантную импликацию ее содержательных аспектов, и она превратится в материальную импликацию классической логики. Откажитесь от нетривиальных логических систем, и выплывает наружу принцип непротиворечивости классической логики. Преемственность логических теорий просматривается также в устойчивости интегральных логических концептов: семантической истины и логи- ческого (синтаксического) следования. В содержательном отношении трансформируются оба упомянутых концепта, но от них не отказываются – их логическая действительность даже не ставится под сомнение.

Итак, останавливая свой выбор на тех или иных металогических преференциях, субъект выражает свое отношение к семантике и синтактике. А как же обстоят дела с логической прагматикой? На этот счет высказываются самые противоречивые суждения. Чтобы разобраться в существе поставленного вопроса, проследим последствия обогащения логики семантикой возможных миров. Концепция возможных миров позволила определить концепт истины для модальных логик, высказывания которых содержат, по определению, оценочный компонент («необходимо», «обязательно» и т. д.). Возможно, модальные высказывания относятся не к семантике, а к прагматике.

361

Часть 2. Специальная философия науки

Действительно, видимо, не случайно в рамках модальной логики были развиты деонтическая логика и логика предпочтений. В деонтической логике в качестве нормативной выступает модальность долженствования. Деонтически должным является совместимое с нормами и законами, действующими в данном сообществе людей. В логике предпочтений оперируют сравнительными оценками «луч- ше», «хуже», «равноценно» и т. п.

Интересный подход к проблеме логической прагматики осуществил Я. Хинтикка. Он смело включил в логику так называемые пропозициональные установки («знает», «верит», «считает», «желает» и т. д.). «В семантике возможных миров их анализ опирается на допущение о том, что не все возможные миры равно важны для наших целей» [8, с. 228]. Логика пропозициональных установок явно имеет какое-то отношение к прагматике. В связи с развитой им теоретикоигровой семантикой сам Хинтикка не преминул отметить, что логи- ческие игры иллюстрируют возможность и важность чисто логической прагматики [8, c. 278]. Он категорически возражает своим коллегам, которые склонны отдавать прагматику языка на откуп психологии, социологии и другим нелогическим дисциплинам [8, с. 277]. Остается, однако, неясным, почему семантика возможных миров понимается как прагматика.

Несколько ранее Хинтикки семантику возможных миров в интересах логической прагматики использовал Р. Монтегю. Обращаясь к общей деонтической логике, одному из центров логической праг-

матики, он делает весьма обязывающий вывод: «Истинность Oϕ в i, таким образом, равносильна истинности ϕ во всех лучше устроенных достижимых из i мирах» [17, с. 271] (где О – прагматический оператор, например, «обязательно», ϕ – формула (высказывание) прагматического языка, i – комплекс всех возможных аспектов использования языка, т. е. так называемые индексы Р. Монтегю, или точки соотнесения Д. Скотта.). Итак, вновь семантика возможных миров интерпретируется как логическая прагматика.

Прежде чем перейти к заключениям, обратим внимание и на анализ так называемого практического вывода, проведенный Г.Х. фон Вригтом. Практический вывод имеет такую форму: А намеревается (у него такая интенция) осуществить р; А считает, что он не

362

Глава 18. Философия логики

сможет осуществить р, если он не совершит а; следовательно, А принимается за совершение а. Суть размышлений фон Вригта [18, с. 128– 193] заключается в следующем. Интенция сама по себе не поддается установлению, ее верификация возможна лишь вместе с анализом практического поведения. Интенции и действия слиты воедино, связь между ними является необходимой. Пристанищем интенции является не только ментальность человека, но и его практические дела. Интенцию и практическое действие неправомерно уподоблять причинно-следственной связи. Причину и следствие можно верифицировать независимо друг от друга, а интенцию и действие – нет.

Итак, историческое объяснение выступает как установление интенциональных связей, которые обладают непреложностью логи- ческих отношений (если а, то р) и поддаются верификации. Практический силлогизм – это необходимость, полученная после действия [18, с. 147], он не позволяет предсказывать. (Предсказание возможно, если выделены образцы поведения. – В.К.) Рассуждения фон Вригта относятся к прикладной логике. Они не вносят искомой ясности в вопрос о логической прагматике как таковой.

Итак, последовав за рассуждениями выдающихся логиков, мы оказались вовлеченными в весьма запутанную ситуацию. Одна часть логиков считает, что истина может быть только семантической и никакой другой. В таком случае логика отторгается от всего комплекса прагматического знания. К счастью, действительное положение дел свидетельствует о том, что логическая составляющая отнюдь не чужда прагматическому знанию. Другая часть логиков включает логическую прагматику в семантику возможных миров. Но в таком случае приходится признать, что как таковая логическая прагматика не обнаружена. В логической семантике невозможно обнаружить логическую прагматику по определению. Нам не остается ничего другого, как попытаться собственными силами разобраться в существе рассматриваемого проблемного вопроса.

Отметим для начала ряд фактов, представляющихся в свете современного научного знания в высшей степени бесспорными. Вопервых, следует признать, что введение трехчленной позиционности, содержащей синтактику, семантику и прагматику, не имеет смысла вне учета концептуального статуса отдельных наук. Это означает, что, говоря, например, о прагматике, необходимо четко указать на

363

Часть 2. Специальная философия науки

тот тип концептов, который определяет ее статус. С этой точки зрения, под прагматикой понимают знание, имеющее дело с ценностями как концептами. Во-вторых, в формальной логике нет ценностей, следовательно, нет оснований для утверждений, что в ней присутствует прагматика. В логике как таковой прагматика отсутствует. Надо полагать, по этой причине сторонники логической прагматики, в том числе Хинтикка и Монтегю, были вынуждены обратиться к логической семантике. В-третьих, в логике, строго говоря, нет и семантики. По определению семантика имеет место там, где те или иные явления описываются посредством понятий, что характерно для наук о природе. В отличие от ценностей понятия описывают на концептуальном уровне определенность природных явлений, их собственное содержание. Если утверждается, что камень обладает массой, речь идет о его собственной характеристике. Логические концепты являются не понятиями, а конструктами. Логика представляет закон (форму) отношений. Именно в этом состоит ее специфика. В-четвертых, логика есть некоторая разновидность синтаксиса, логический синтаксис. Сердцевину логики представляет закон синтаксиса. В-пятых, логический синтаксис не без успеха интерпретируется на область прагматических наук, следовательно, он обладает прагматическим потенциалом в возможности. Он реализуется при логическом моделировании. Таким образом, при характеристике логической прагматики крайне важно учитывать, с одной стороны, особенности логики как таковой, а с другой стороны, специфику логического моделирования. К прагматике логика приобщается лишь в процессе логического моделирования. При этом выясняется, что в этом деле эффективными являются не любые, а лишь избранные логические системы.

На первый взгляд, кажется, что мы пришли к вопиющему противоречию с реальным положением дел в логике. Сказано ведь, что знаменитое определение истины, разработанное Тарским, является семантическим. При ближайшем рассмотрении выясняется, что определение Тарского актуально для логики в целом. Он дал определение не семантической, а логической истины. По своей природе она является формальной и в этом смысле синтаксической. Сформулированный тезис, разумеется, нуждается в обосновании. Истина – это прежде всего методологический регулятив, согласно которому недо-

364

Глава 18. Философия логики

пустимо отклонение от образцовой теории. Истину нельзя выразить иначе как языком образцовой теории. Вне теории истины нет. Истина как методологический регулятив и истинность теории – это разные вещи. Но в данном месте нет необходимости рассмотрения критериев истинности теорий различных типов, например физических или экономических. В определении Тарского речь идет об истине как методологическом регулятиве.

В примере Тарского: «Предложение “Снег бел” истинно тогда и только тогда, когда снег бел» – не учитывается отличие истины как методологического регулятива от критерия истинности теории. Чтобы учесть это отличие, перепишем пример Тарского следующим образом: «Предложение «Снег бел» истинно тогда и только тогда, когда оно входит в состав теории, которая подтверждается фактами». Если бы Тарский рассматривал феномен подтверждения теории фактами, он действительно выступал бы как семантик, а его определение истины было бы семантическим. Но как раз этого-то и нет, следовательно, его определение истины не является семантическим. Его смысл сводится к пониманию истины в качестве некоторой методологической оценки того или иного предложения теории. Крайне актуальным является введенное Тарским различие между объектным языком и метаязыком, но и оно не вынуждает его определение истины считать семантическим. К сожалению, и сам Тарский, и его многочисленные сторонники интерпретировали логику в духе теории копирования, согласно которой теория должна соответствовать определенным фактам. К логике эта теория неприменима.

Итак, мы пришли к выводу, что в составе логики отсутствует прагматика как таковая. Образно выражаясь, в логике нет этики. Мы используем числа для описания физических явлений, но они не обладают массой или энергией. Пример с числами понадобился нам для иллюстрации положения дел с логическим моделированием. Мы используем логические системы для изложения содержания аксиологических наук, но ценностным содержанием эти системы не обладают. Сделанный вывод следует дополнить двумя примечаниями. Вопервых, надо иметь в виду, что в логике, как уже отмечалось нами выше, широко используются методологические регулятивы, являющиеся определенными предпочтениями людей. Любая методология относится к прагматике. Крайне важно, однако, что нельзя ставить

365

Часть 2. Специальная философия науки

знак равенства между методологией и прагматическим содержанием теории. Суть в том, что методологические принципы не являются прагматическими концептами, т. е. ценностями. Прагматика на уровне методологии и на уровне теории – это разные вещи. Во-вто- рых, следует иметь в виду, каким образом логика подключается к прагматическим дисциплинам. За счет логического моделирования устанавливается соответствие между логическим синтаксисом и синтаксисом прагматических наук. Переход совершается от одного синтаксиса к другому, а не от синтаксиса к семантике и прагматике.

18.5. Логика и другие науки

Мало кто сомневается сейчас в плодотворности логики для других наук, разве что чрезмерно эстетствующие философы. Но по поводу степени этой плодотворности существует значительный разброс мнений. Наиболее тесно логика связана с семиотикой, лингвистикой, математикой и информатикой. Перечисленные дисциплины непосредственно обрамляют ее. С одной стороны, возможности, заключенные в семиотике и лингвистике, трансформируются в логическое знание. С другой стороны, это знание образует предпосылку математики и информатики. В субординации наук логика – плод семиотики и лингвистики, но источник математики и информатики. С учетом субординации наук нельзя ставить знак равенства между переходами «логика → математика» и «математика → логика».

Согласно логицизму математика сводится к логике. Руководствуясь этой максимой, в качестве основания всего математического знания сначала определяют одну из математических дисциплин – арифметику, теорию множеств, теорию групп или теорию категорий, а затем, как полагают, исследуют основания математики. В действительности же имеет место научно-теоретическое постижение содержания математики, в том числе места в ней аксиоматического метода. Когда это постижение достигнуто, некоторым математикам кажется, что оно вообще ничего не добавило к математике. Математики, дескать, вообще не страдают от своего невежества в логике [19, с. 319]; сама логика заимствует свои идеи из математики. Это мнение глубоко ошибочное. Тот или иной математик действительно может себе позволить не заниматься логическими изысканиями, но

366

Глава 18. Философия логики

лишь постольку, поскольку этим занимаются другие – те самые, которые трансформируют логику в математику настолько успешно, что она перестает замечаться. В известных пределах математики могут обойтись без логики, но пользы это не принесло еще никому.

Что касается роли логики, особенно в силу ее приверженности формализованным языкам, ее значение общеизвестно [20]. В данном месте нет необходимости подробно рассматривать эту тему. Имеет смысл отойти от логики подальше, чем информатика, например в область естественных и гуманитарных наук. Есть ли в этих науках потребность в логике? Как выясняется, есть, и очень большая. Логический генотип проявляется во всех науках, независимо от того, находятся ли они близко или же далеко от логики. На наш взгляд, это обстоятельство убедительнее других продемонстрировали фило- софы-аналитики. Им удалось добиться значительных успехов в постижении содержания самых различных наук – от физики до юриспруденции. Показателен метод их действия, который включает два этапа: проблематизацию логики и трансляцию добытых знаний по методологическим каналам от логики к другим наукам.

Достаточно часто недопонимается, что формальный характер логики – это не ее недостаток, а преимущество. Нельзя требовать от логики больше того, что она дает. А дает она немало, а именно – концептуальное постижение синтаксических связей. Не прекращаются и попытки создания так называемой содержательной логики. В данном случае приходится иметь дело с явным недоразумением. Так называемая содержательная логика не может быть ничем иным, как той или иной наукой. Строго говоря, это уже не логика, а синтаксис в составе науки. Что касается гегелевской науки логики, то она является, по сути, не чем иным, как философией.

Литература

1.Черч А. Введение в математическую логику. – М., 1960. Т. 1.

2.Гладких Ю.Г. Логика без экзистенциальных предпосылок. – Ростов- íà-Ä., 1984.

3.Бессонов А.В. Теория объектов в логике. – Новосибирск, 1987.

4.Бочаров В.А. Логика // Новая философская энциклопедия. – М., 2001. Т.3. – С. 404–407.

5.Смирнова Е.Д. Логика и философия. – М., 1996.

367

Часть 2. Специальная философия науки

6.Клини С.К. Математическая логика. – М., 1973.

7.Гудстейн Р.Л. Математическая логика. – М., 1961.

8.Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. – М., 1980.

9.Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики // Аналитическая философия: становление и развитие. Антология. – М., 1998. С. 90–129.

10. Гейтинг А. Тридцать лет спустя // Математическая логика и ее применение. – М., 1965. С. 224–228.

11. Панов М.И. Идеи интуиционизма в восприятии советских ученых: Н.Н.Лузин и П.С.Александров о Л.Э.Брауэре // Методологические проблемы развития и применения математики. – М., 1985. С. 70–92.

12. Бажанов В.А. Геракл в колыбели: значение логических идей Н.А.Васильева для современной логики // Современная математика: методологи- ческие и мировоззренческие проблемы. – М., Обнинск, 1987. Ч. II. С. 261– 273.

13. Карпенко А.С. Паранепротиворечивая логика // Новая философская энциклопедия. – М., 2001. Т. 3. С. 198–199.

14. Васюков В.Л. Фундаментальный труд ученого // Вопросы философии. – 2000. ¹ 1. С. 71–90.

15. Hintikka J. Selected papers. Vol. 2. – Dordrecht, Boston, London, 1997. 16. Быстров П.И. Синтаксические методы современной неклассической логики: проблемы и перспективы (обзор) // Логика, методология и

философия науки. Вып. 3. – М., 1987. С. 44–71.

17. Монтегю Р. Прагматика // Семантика модальных и интенсиональных логик. – М., 1981. С. 254–279.

18. Вригт Г.Х. фон. Логико-философские исследования. Избранные работы. – М., 1986.

19. Хао Ван. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применения. – М., 1965. С. 315–339.

20. Логика и компьютер. – М., 1990.

368

Глава 19. ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

19.1. Метаморфозы развития математики

Âпредварительном плане мы определяем математику как науку

îтаких структурах воображаемых миров, которые вовлечены в операции доказательств и вычислений. Наша ближайшая задача поиска философских вопросов математики состоит в обзоре развития математики, фиксации в ней метаморфоз, коперникианских поворотов, которые могут быть квалифицированны в качестве научных революций. На наш взгляд, логика авторов, настаивающих на необходимости осмысления роста математического знания посредством концепта «научная революция», вполне оправдана [1]. В нашем дальнейшем изложении содержится много таких положений, которые в философии математики приобрели статус общеизвестных. При их описании ссылки на первоисточники необязательны. Если же читатель в них заинтересован, мы рекомендуем ему обратиться, в первую очередь, к книге М. Клайна [2], а также к книгам по истории математики [3, 4].

Древнейшими математическими дисциплинами являются геометрия, арифметика, а также алгебра, которая конституировалась благодаря арабским ученым лишь в IX в. Таким образом, становление математики первоначально происходило прежде всего в лоне геометрии и арифметики. Статус обеих дисциплин был сугубо практическим, а современный исследователь сказал бы, что он был эмпирическим. Разумеется, и геометрия, и арифметика определенным образом осмысливались (например, платониками и аристотеликами). Платоники считали геометрические фигуры проявлениями идей. Аристотелики принимали геометрические и арифметические сущности за результат абстрагирующей деятельности человека. Платоники ставили на первое место геометрию, аристотелики – арифметику. Геометрию удалось осмыслить научно-теоретическим образом раньше, чем арифметику. В III в. до н. э. Евклид изложил геометрию в аксиоматическом виде. Но лишь в конце XIX в. были созданы первые аксиоматические системы арифметики. Древние греки с их приверженностью к наглядным образам, по сути, геометризировали всю математику. Все, что невозможно было представить в геометричес-

369

Часть 2. Специальная философия науки

ких иллюстрациях, представлялось для них непонятным. Арифметизация математики произойдет лишь в начале XX в., особенно благодаря знаменитым теоремам К. Г¸деля (1931). Даже самые сложные математические теории начнут сопоставлять с арифметикой.

Изобретение греками аксиоматической геометрии – это, по всеобщему признанию, едва ли не рубеж между квазинаучной и науч- ной математикой. Опора на дедукцию позволяла считать геометри- ческие доказательства достоверными, неопровержимыми. До такого рода доказательств не дошла математика Вавилонии и Древнего Египта. Явный математический успех древних греков вызвал к жизни клубок сложнейших проблем. Что такое точка, прямая, плоскость? Уходят ли непересекающиеся линии в бесконечность? Изобретая весьма необычные математические объекты, греки всегда стремились представить их в форме наглядных аналогов. Аналогом геометрической точки является тело маленьких размеров. Но что является аналогом параллельных прямых, уходящих в безбрежную даль? На этот вопрос грекам было сложно найти ответ. Понятие математической бесконечности им было чуждо уже постольку, поскольку оно не иллюстрируемо.

Скандал по поводу геометрической бесконечности хорошо известен в связи с дебатами вокруг пятой аксиомы евклидовой геометрии, которую в наши дни связывают с возможностью проведения через точку, находящуюся вне данной прямой, только одной прямой, параллельной исходной (обе прямые должны лежать в одной плоскости). Все попытки вывести пятую аксиому евклидовой геометрии из девяти других заканчивались безрезультатно. Это обстоятельство рано или поздно должно было навести на мысль, что через точку, находящуюся вне данной прямой, можно провести либо более чем одну или вообще ни одной прямой, параллельной к исходной линии.

Исторически первая разновидность неевклидовой геометрии была разработана Н.И. Лобачевским (1826). Среди изобретателей неевклидовых геометрий значатся также венгр Я.Больяи, немцы К. Гаусс и Г. Риман. Открытия геометров вызвали явное замешательство в стане математиков. К. Гаусс, опасаясь окриков коллег, вообще не опубликовал результаты своих изысканий. Почему существует несколько геометрий? Геометрия – наука о пространстве, которое вроде бы существует в единственном экземпляре. Если одно и то же про-

370