Канке В.А. Энциклопедия философии науки

Глава 18. Философия логики

общезначимой, если она принимает значение истинно при всякой подстановке конкретных аргументов. Формула универсально общезначима, если она общезначима в любой области ее выполнения. Итак, логику высказываний всегда можно построить таким образом, чтобы решить, является ли данная формула доказуемой или нет. Следовательно, логика высказываний является разрешимой логикой.

Следует отметить, что разработки в области логики высказываний доставляли и доставляют их авторам немало приятных минут. Были разработаны эффективные варианты ее аксиоматического изложения (Г. Фреге, Б. Рассел и др.), удалось доказать независимость аксиом (П. Бернайс) и их полноту (Э. Пост и др.), а также непротиворечивость логики высказываний в целом. Логика высказываний полна в двух смыслах: 1) всякая общезначимая формула доказуема, 2) присоединение к аксиомам недоказуемой формулы делает систему противоречивой [7, с. 49]. Даже размножение способов доказательства – дополнение аксиоматического метода так называемым естественным выводом и исчислением секвенций (оба изобретены Г. Гентценом) – и переход из классической логики в интуиционистскую не нарушили представления о логике высказываний как логи- ческом рае, где выполняются все кажущиеся столь привычными идеалы логического исследования.

Пожалуй, лишь одна темная тучка заслоняла ясное небо логики высказываний – приравнивание истин логики к тавтологиям (Л. Витгенштейн, А. Айер, К. Гемпель). Общезначимая формула является тавтологией по определению, она дает истинное высказывание при подстановке в нее вместо переменных любых высказываний. Обвинение логики в тавтологичности вряд ли доставит удовольствие исследователю, влюбленному в нее. На это обвинение, пожалуй, убедительнее других ответил Я. Хинтикка, который категорически заявил, что «логический вывод не тавтологичен» [8, с. 217]. Не без оснований он утверждает, что в процессе логических рассуждений увеличивается мера информации. Кроме того, сам статус разработанной им теоретико-игровой семантики разрушает представление о тавтологичности логики в силу ее игрового характера. Каждый игровой акт отнюдь не сводится к тавтологии, т. е. к утверждению ранее известного (гр. tauto – то же самое + logos – слово).

351

Часть 2. Специальная философия науки

Обратимся теперь к логике предикатов. Нами рассматривается логика предикатов первого порядка, основная теория современной логики. В первопорядковой логике имеется лишь один тип квантифицируемых переменных – индивидуальные переменные. В логике предикатов второго порядка переменные пробегают по признакам индивидов. В логике предикатов третьего порядка переменные пробегают по признакам признаков. Метатеоремы логики предикатов имеет смысл разделить на два класса – «положительные» (или неограничительные) и «отрицательные» (или ограничительные). Чаще других среди «положительных» метатеорем логики предикатов указываются следующие:

•для логики предикатов существует независимость некоторого множества аксиом (теорема Дж. Маккинси);

•классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво, т. е. каждая его формула универсально общезначима;

•исчисление предикатов также синтаксически непротиворечи- во, т. е. нет такой формулы А, что доказуемо и А и íå-À;

•всякая общезначимая формула доказуема (теорема о полноте

Ê. øäåëÿ).

Однако наряду с «положительными» существует также целый ряд ограничительных теорем первопорядковой логики предикатов. Так, при некоторых, довольно слабых, условиях, налагаемых на теорию Т, свойство быть истиной формулой теории Т не выразимо в Т (теорема А. Тарского). Проще говоря, понятие семантической истины не выразимо в синтаксической теории. С интуитивной точки зрения это вроде бы очевидно. Но далеко не очевидно содержание теоремы К. Г¸деля о неполноте, которая гласит: «Если все формулы теории Т общезначимы, то она неполна. То есть существует такая формула А, что ни А, ни не-А не доказуемы в Т».

Еще одна ограничительная формула гласит: исчисление предикатов не является синтаксически полным, т. е. к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворе- чивой. Логика предикатов не является категоричной (теорема Л. Л¸- венгейма и Т. Сколема), т. е. ее модели могут быть неизоморфными. Теорема А. Ч¸рча: не существует алгоритма, позволяющего для про-

352

Глава 18. Философия логики

извольной формулы логики предикатов решить вопрос, является ли она доказуемой в данной теории.

Наличие как ограничительных, так и неограничительных теорем логики предикатов резко усложняет вопрос оценки ее статуса. На первый взгляд, кажется, что ограничительные теоремы являются «плохими», а неограничительные «хорошими». Такое мнение весьма поверхностно. Во-первых, мы вообще не в состоянии правильно оценить статус логики предикатов, которая лишена ограничительных теорем. Во-вторых, ограничительные теоремы не лишены явных достоинств. Так, в прикладной логике очень часто используется неполнота синтаксиса первопорядковой логики: к логическим аксиомам присоединяются нелогические постулаты, не нарушающие синтаксическую непротиворечивость теории. Наличие неполноты синтаксиса логики обеспечивает поле возможностей для перехода от чистой логики к прикладной логике.

Главное достоинство теорем логики, причем как неограничи- тельных, так и ограничительных, состоит в том, что они обрисовывают статус логического языка с позиций его продуктивности в науке и, следовательно, во всей человеческой культуре. Мы должны в полной мере осознать статус и возможности языка. В этой связи достоин упоминания вопрос о так называемых логических парадоксах, среди которых, пожалуй, наиболее знаменитым является парадокс (антиномия) лжеца: «Я лгу». Предложение: «Я лгу», – истинно тогда

èтолько тогда, когда его утверждающий лжет.

À.Тарский показал, что парадоксы типа антиномии лжеца характерны для семантически замкнутых языков и могут быть преодолены за счет корректного различения объектного языка и метаязыка [9]. Но это далеко не единственный путь преодоления логических парадоксов. Выход из парадоксальной логической ситуации всегда связан с обнаружением некритически принимаемой той или иной ложной предпосылки. Критика ее избавляет от логических парадоксов и делает логический язык более эффективным. Крайне важно понимать, что является, а что не является логическим парадоксом. Таким образом, история логики предикатов первого порядка свидетельствует о том, что идеалы логики не могут быть заданы произвольно. Это, во-первых. Во-вторых, эти идеалы должны постоянно совершенствоваться.

353

Часть 2. Специальная философия науки

18.3. Развитие неклассических логик

До сих пор нами рассматривались системы так называемой классической логики. Основное внимание уделялось синтаксису и семантике, анализ которых выявил их границы. В этой связи особое зна- чение имеют методологические регулятивы логики как науки. Нас интересует их трансформация и переоценка, особенно при переходе от классических к неклассическим логикам.

Для всех изобретателей неклассических логик характерна одна общая черта: они отказываются от тех или иных идеалов логической классики. У истоков неклассических логик возвышаются фигуры трех мыслителей: голландца Л. Брауэра, русского Н. Васильева и поляка Я. Лукасевича. Поистине революционные логические идеи были сформулированы ими в 1907–1910 гг. Брауэр, Васильев и Лукасевич – основатели соответственно интуиционистской, паранепротиворечи- вой и многозначной логик. Справедливости ради отметим, что из трех названных авторов лишь Лукасевичу, который в 1920 г. создал вариант аксиоматизированной трехзначной логики, удалось довести свои творческие идеи до рафинированной завершенной формы. Система аксиом для интуиционистской логики была изобретена А. Гейтингом в 1930 г. Развитые паранепротиворечивые логики стали появляться лишь начиная с 1948 г. (работы С. Яськовского, Н. да Коста и др.).

Основная идея интуиционистов состоит в понимании логических конституентов в качестве конструктов. Конструкт признается существующим лишь в том случае, если он может быть построен. Логические построения должен кто-то осуществлять. Ясно, что этим субъектом является человек. В этой связи интуиционисты обращаются к ментальности человека, прежде всего к его воображению, которое призвано придать логике естественность и интуитивную ясность [10, с. 225]. Эта ясность призвана как поставить пределы необузданной фантазии логиков классического направления, так и обеспечить свободу творчества: создавайте конструкты всеми возможными способами, т. е. посредством свободно становящейся последовательности шагов. В свете идеалов конструктивизма многие положения методологии классической логики представляются несостоятельными.

354

Глава 18. Философия логики

Сторонники классической логики, как полагают интуиционисты, во-первых, не обращают должного внимания на вопрос о существовании ее конституентов. Этот аспект логического дела просто недопонимается. Во-вторых, мир логического признается изначально данным, причем как нечто абсолютное и неизменное. В-третьих, признается действительной актуальная бесконечность. Но в силу фактора времени в процессуальном отношении бесконечность недостижима. Следовательно, актуальная бесконечность – это абстракция, причем вводящая в заблуждение. Имея в виду, что никому не дано поставить предел свободно становящейся последовательности, следует признать допустимой абстракцию потенциальной бесконечности. Так, пользуясь методом математической индукции, можно конструктивно доказать существование сколь угодно большого числа. Кажется, что, настаивая на существовании сколь угодно большого числа, интуиционист противоречит себе: это число невозможно построить в режиме реального времени. Но интуиционист не утверждает, что логическая последовательность шагов воспроизводится в режиме реального времени. Для него время не бесконечно, но конеч- но. Строго говоря, он имеет в виду не реальное, а логическое время. В-четвертых, в классической логике некритически используется закон исключенного третьего: истинно либо А, либо не-А. Из ложности А нельзя извлечь информацию о не-А; лишь построение не-А покажет, является ли оно истинным или ложным. В-пятых, с точки зрения интуициониста можно показать, что существенные недостатки характерны для классического понимания буквально всех пропозициональных связок (импликаций, дизъюнкций и др.). Сказанного о специфике идеалов классической и интуиционистской логик достаточно для постулирования своеобразия и оригинальности каждой из них. Оценивая статус интуиционистской логики, отметим три типа затруднений, с которыми она встретилась.

Во-первых, неоднократно критиковался тезис о субъективном характере логики (согласно аналитикам логика есть разновидность языковой деятельности, согласно марксистам – источником логики является предметная практика людей). Пожалуй, следует признать, что, настаивая на субъективном характере логики, интуиционисты весьма рискованно сближали логику с психологизмом. Во-вторых, интуиционистам не удалось придать своей критике классической

355

Часть 2. Специальная философия науки

логики законченный характер. Так, критика абстракции актуальной бесконечности не доводилась до объяснения факта ее известной приемлемости. Другими словами, интуиционисты не установили соответствия между классической и интуитивистской логиками. В-тре- тьих, им лишь частично удалось воплотить в логике исключительно новаторский тезис о свободно становящейся последовательности шагов. Первоначально казалось, что он вообще опровергается успехами так называемого конструктивистского направления в логике (А.А. Марков, Н.А. Шанин) с его опорой на концепт алгоритма. Впрочем, успехи теоретико-игровой семантики (Я. Хинтикка и др.) показывают, что это не так. Как нам представляется, в идее свободно становящейся последовательности шагов была предвосхищена концепция языковых игр, получившая известность благодаря усилиям Л. Витгенштейна. На наш взгляд, интуиционизм Брауэра и конструктивизм Маркова – это разновидности логико-математического конструктивизма. Как показал М.И. Панов, излишне жесткое противопоставление интуиционизма и конструктивизма непродуктивно [11, с. 86–87].

Обратимся теперь к паранепротиворечивой логике, еще одному претенденту на лидерство среди неклассических логик. Со времен Аристотеля основным принципом логики считался принцип непротиворечивости. Именно он модифицируется в воображаемой логике Н.А. Васильева [12, с. 267]. В паранепротиворечивых логиках терпимость к логическим противоречиям связывается с продуктивностью такого отношения логического следования, которое не является чрезмерным, т. е. для любых формул А и В, из А и не-А не следует произвольная формула В [13, с. 198]. В логической системе не должно быть выводимо «все, что угодно», она не должна быть тривиальной. В классической логике справедливо отвергались противоречивые тривиальные системы, но необоснованно отрицались нетривиальные теории. Иначе говоря, принцип непротиворечивости должен учитывать условия нетривиальности. Логический хаос отвергается не только в классической, но и в паранепротиворечивой логике. На наш взгляд, развитие паранепротиворечивых логик выявило необходимость позиционирования принципа недопустимости противоречий. Этот принцип относится к сфере методологии логики. Он предусматривает определенные противоречия в составе логики, но лишь такие,

356

Глава 18. Философия логики

допустимость которых оговорена со всей возможной логической строгостью.

Одно из несомненных достоинств паранепротиворечивых логик состоит в предоставляемой ими возможности учесть динамику знания. Как известно, рост научного знания осуществляется эстафетой теорий, не лишенных противоречий. В классической логике эти теории считаются ложными и на этом основании выталкиваются за пределы науки. В паранепротиворечивых логиках открывается путь формализованного описания нетривиальных теорий. Разумеется, при этом не отвергается необходимость сравнения достоинств различных теорий. Такое сравнение и обоснование принимаемых предпочтений – прерогатива логической методологии. Смысл паранепротиворечивых логик состоит в осознании подлинного места противоречий в логи- ческой теории. Что касается логических метатеорем, их содержание в свете паранепротиворечивых логик должно пересматриваться. Так, можно показать, что все истинные теоремы доказуемы. Как известно, это положение отвергается в теоремах Тарского и Г¸деля о неполноте.

Важным классом паранепротиворечивых логик являются релевантные (от англ. relevant – уместный) логики. Под релевантностью обычно понимают смысловое (интенсиональное) соответствие между высказываниями логического следования. В классической логике используется абстракция материальной (т. е. не учитывающей наличие между высказываниями связи по форме и содержанию) импликации («А имплицирует В», или А В, где А – антецедент, а В – консеквент). Материальная импликация ложна лишь в одном случае, а именно если А истинно, а В ложно. Это приводит к парадоксу истинного высказывания (истинность В совместима с любым А, как истинным, так и ложным) и парадоксу ложного высказывания, называемого также законом Дунса Скота (если А ложно, то оно имплицирует любое высказывание, как ложное, так и истинное). Закон Скота можно проиллюстрировать такой импликацией: «2 + 2 = 5 имплицирует наступление зимы». Ясно, что абстракция материальной импликации не согласуется с актуальной практикой научных и естественных языков, в которых широко используются условные высказывания: «Если А, то В». Релевантная импликация учитывает в логическом виде содержательные аспекты условных высказываний

357

Часть 2. Специальная философия науки

значительно более адекватно, нежели материальная импликация классической логики. Это достигается наличием в антецеденте и консеквенте общей части.

Определенная интерпретация позволит отнести к паранепротиворечивым логикам и многозначные логики. В них высказываниям приписывается более двух («истинно» и «ложно») истинностных зна- чений, в том числе и таких, которые совместимы с логическими противоречиями. В трехзначной логике Я. Лукасевича в качестве третьего истинностного значения было введено «возможно», или «нейтрально». Многозначная логика широко используется в информационнопоисковых системах для записи, хранения и обработки данных, содержащих элементы неопределенности или парадоксальности, вариативности.

Проблема содержательной интерпретации исчислений многозначной логики уже около столетия остается остродискуссионной. Многие исследователи полагают, что многозначные логики лишают нас ясного понимания природы истины, которое будто бы характерно для двузначной классической логики. Их оппоненты указывают на необходимость пересмотра классической концепции истины. Они считают абстракцию двузначной функции истинности достаточно грубой, а потому не всегда приемлемой. Суть дела состоит в том, что истинностной оценке можно приписывать те или иные значения истинности. Функциям истинностных оценок могут быть присущи провалы, неопределенности и аномалии [5, с. 177–194]. Современные логики структурируют функцию истинностной оценки очень смело, без какого-либо страха. Их смелость особенно возросла вследствие успехов семантики возможных миров и теоретико-игровой семантики Я. Хинтикки. Семантика возможных миров, развитая в 1960-х годах С. Крипке, К. Кангером и Я. Хинтиккой, явилась реакцией на сложности определения функции истинностного значения для модальных логик. В отличие от дескрипций модальности всегда содержат оценочный компонент, который выражается, например, концептами «необходимо», «возможно», «обязательно», «разрешено» и т. д. Высказывания классической логики истинны или ложны во всех возможных мирах. Высказывания, содержащие модальности, могут быть истинными лишь в некоторых из возможных миров. А это означает, что условие истинности для высказываний модальной ло-

358

Глава 18. Философия логики

гики должно включать концепт возможных миров. Причем поскольку оценочные высказывания формулирует человек, постольку речь должна идти о возможных мирах, достижимых из нашего мира. Высказывание ◊А , где ◊ – оператор модальности (например: «необходимо», «обязательно», «будет»), истинно в мире К, если и только если А истинно во всех мирах, возможных относительно К (или достижимых из К). Семантика возможных миров позволяет в логической форме осмыслить с использованием функции истинностных оценок высказывания по поводу возможного положения дел. Семантика возможных миров привела к переосмыслению статуса логики. Он таков, что ей совсем не обязательно заниматься непосредственно реальным миром природы и общества. Логике достаточно определиться с возможными логическими мирами. Каким образом намерения, цели и планы людей будут осуществляться на деле – это уже вопрос не логики, а скорее определенных частных наук, прежде всего из области обществоведения.

Семантика возможных миров позволила Я. Хинтикке развить интереснейший вариант неклассической логики – так называемую теоретико-игровую семантику. Он сумел представить философскую идею Л. Витгенштейна о языковых играх в логической форме. Суть логической игры видится Хинтикке в том, что рассуждающий стремится доказать истинность высказывания А в некотором возможном мире, модельном множестве, т. е. в модели М [8, с. 46–47]. При этом должны быть рассмотрены все опровержения А в этой модели. Истина достижима лишь в том случае, когда рассуждающий обладает некоторой выигрышной и в этом смысле оптимальной стратегией. В классической логике предполагается, что всегда можно руководствоваться чистой оптимальной стратегией, и в таком случае высказывание оказывается истинным, а не ложным. «Однако, если в наши допущения внести соответствующие изменения, оптимальные стратегии (если они вообще имеются) могут оказаться смешанными. В этом случае веса различных чистых стратегий, включенных в эту смесь, могли бы служить моделями неклассических истинностных значе- ний» [8, с. 274]. Благодаря работам Я. Хинтикки теоретико-игровая семантика заняла в современной логике достойное место [14,15].

Итак, нами рассмотрен целый ряд неклассических логик. Уроки их развития мы разберем в следующем параграфе.

359

Часть 2. Специальная философия науки

18.4. Возможна ли логическая прагматика?

Как нам представляется, главный урок развития неклассических логик – это вариативность методологических регулятивов (идеалов) логики. Интуиционисты отказываются от идеалов предзаданности всех логических конституент и актуальной бесконечности и провозглашают идеалы конструктивности и свободной последовательности, в которой в известной степени предвосхищается идея логических игр. Сторонники паранепротиворечивой логики отказываются от идеала тривиальной теории и провозглашают идеал нетривиальной теории. В релевантной логике на смену идеалу материальной импликации приходит идеал релевантной импликации. В многозначной логике функция истинностных оценок считается не двузначной, а многозначной. Семантика возможных миров отказывается от понимания логики как описания (дескрипции) необходимого мира. Предмет логики – возможные формализованные языки. В теоретико-иг- ровой семантике однозначной логической необходимости противопоставляется идеал выигрышной игровой стратегии и существенно пересматривается концепт истины. Истина не есть всего лишь фиксация наличного, существующего, а конечное звено некоторой выигрышной стратегии. Как видим, в новейшей логике отрицается идеал универсального логического языка, предложенный Лейбницем. Задача логики – раскрыть возможное богатство формализованных языков, число которых не является заданным.

Постмодернисты от философии (Лиотар и др.), не будучи знатоками логики, интерпретировали многообразие языков как крах идеалов науки. Но отказ от методологии классической логики и переход к методологии неклассической логики – это не поражение, а достижение науки. Кстати, в свете неклассических логик поддаются осмыслению самые причудливые языки, в том числе диалектический язык Гегеля и деконструктивистский язык Дерриды. Языки Гегеля и Дерриды часто вызывают раздражение у логиков. Видимо, в силу известной претенциозности этих авторов в критике научной логики. Однако оба упомянутых языка можно считать благотворным полигоном для неклассических логик. Гегель и Деррида, с одной стороны, и неклассические логики, с другой стороны, копают в одном и том же научном направлении.

360