Канке В.А. Энциклопедия философии науки

Глава 19. Философия математики

Впервые теория моделей была применена в математике в 1870-е годы. Э. Бельтрами и Ф. Клейн установили соответствия между евклидовой и неевклидовой версиями геометрии. Этим было доказано, что неевклидова геометрия столь же непротиворечива, как и евклидова. Но действительно ли евклидова геометрия непротиворечива? Ее непротиворечивость Д. Гильберт доказывал, устанавливая соответствие между ней и арифметикой. На этот раз в качестве образца выступала арифметика, а евклидова геометрия стала оригиналом. Что касается арифметики, то ее непротиворечивость была доказана многократно, причем без обращения к теории моделей [12].

Теория моделей, несомненно, обладает рядом достоинств, в ча- стности, она позволяет установить определенное родство некоторых математических теорий. Но столь же бесспорно, что теория моделей не всесильна. Во-первых, далеко не все теории удалось поставить в соответствие с арифметикой, нынешним образцовым оплотом математики. Во-вторых, не всегда учитывается многовариантность аксиоматических построений арифметики. В-третьих, соответствие модели и оригинала фиксирует известную схожесть их положений, но при этом анализ не достигает глубинных смыслов математических конструктов. В качестве моделей, как правило, избираются наиболее простые теории, содержание которых беднее концептуального содержания оригинала. Таким образом, теория моделей фиксирует внешние черты сходства математических теорий. Их концептуальное единство остается в значительной степени не выраженным.

Единство математики проявляется также: 1) в однотипности используемых методов (в этой связи особое значение имеет опора на аксиоматический метод); 2) во введении унифицирующих понятий и теорий; 3) в интеграции посредством упрощения идей (например, в нестандартном анализе), которые актуальны для ряда математических теорий; 4) в использовании единого программного подхода при исследовании систем уравнений. Однако ни один из способов интегрирования математических теорий не является универсальным [13]. Аксиоматический метод используется не во всех математических теориях. Интегрирующие возможности унифицирующих теорий (и содержащихся в них понятий) также не безграничны. К примеру, арифметику удалось включить в теорию множеств, а ее – в теорию кате-

381

Часть 2. Специальная философия науки

горий. Впрочем, такое включение не всегда актуально. Теоремы арифметики после их включения в теорию множеств перестают быть арифметическими. Мало кто сочтет целесообразным использование теории множеств там, где проще обратиться к арифметике.

Следует отметить, что математические теории соподчинены друг другу иначе, чем, например, физические теории. В физике более развитая теория позволяет обнаружить в ее предшественнице несообразности, элиминирование которых востребуется идеалом адекватного описания реальных физических явлений. Принципиально поиному выглядит ситуация в математике. Арифметика, включаемая в теорию множеств, во многих отношениях (например, в плане непротиворечивости и независимости ее аксиом) отнюдь не уступает теории множеств. Соизмеримость математических теорий принципиально отличается от соизмеримости физических теорий. Программа выработки единой основы всего математического знания в форме либо теоретико-множественных, либо теоретико-категориальных построений все еще остается программой. Это обстоятельство не отменяет наличия единства различных математических теорий.

На наш взгляд, единство математического знания не вызывает сомнения уже хотя бы потому, что нет такой теории, которая не была бы многими отношениями связана с другими теориями. Но наиболее полно единство математики проявляется в истории становления и упрочения ее теорий, которые всегда сохраняют преемственность со своими предшественницами. Единство математики образуется за счет возникновения проблем, их состыковки в научных исследованиях.

19.3. Логицизм

В определении специфики математического знания огромную роль играет анализ его оснований. В этой связи целесообразно рассмотреть: 1) логицизм, 2) интуиционизм, 3) формализм, 4) математический платонизм, или теоретико-множественный подход.

Последняя четверть XIX века была триумфом так называемой наивной (канторовой) теории множеств. Казалось, что найдены незыблемые основания математики. Впрочем, радужные ожидания были омрачены открытием парадоксов теории множеств. Первые попытки их преодоления вылились в программу логицизма [2, с. 251– 266; 14]. Она восходит к идеям Г. Лейбница, который, различая ис-

382

Глава 19. Философия математики

тины факта и истины основания, связывал последние с законами логики. Возможно, Лейбниц был первым ученым, осознавшим, что нельзя войти в математику без логики, отсюда, разумеется, не следует то, что математика сводима к логике. Тем не менее это положение, составляющее суть логицизма, нуждается в проверке. Оно часто посещало умы таких первоклассных логиков, как Г. Фреге, Б. Рассел, Н. Гудмен, У. Куайн.

Решающее значение для конструирования логицизма имели работы Г. Фреге и Б. Рассела. Фреге не без успеха реализовал программу логицизма уже в своей ранней работе «Основания арифметики» (1884), а затем в «Основных законах арифметики» (1902). Но проблематике парадоксов теории множеств он не уделил должного внимания, и в результате сам не избежал их. Подлинным манифестом логицизма стал трехтомный труд Б. Рассела и А. Уайтхеда «Основания математики» (1910–1913).

Во избежание парадоксов теории множеств Рассел и Уайтхед развили так называемую теорию типов. Согласно этой теории высказывание об элементах (индивидах) множества имеют тип 0. Высказываниям о свойствах индивидов присваивается тип 1. Каждому утверждению о свойствах свойств элементов приписывается тип 2. И т. д. Ступенчатая логика, выступающая как иерархия высказываний, весьма громоздка, но зато она позволяет избежать всех парадоксов теории множеств. Как выяснилось, они возникают в силу соотнесения высказываний о множествах с одним и тем же логическим типом, что недопустимо. Если а принадлежит b, то b должно быть более высокого типа, чем а. Отсюда, в частности, следует, что в теории типов высказывание о множестве, принадлежащем самому себе, недопустимо, поскольку в нем отождествляются два логических типа. Вскоре, однако, выяснилось, что логицизм встретился с непреодолимыми трудностями в форме трех исключительно важных для математики аксиом. Речь идет об аксиомах сводимости, выбора и бесконечности.

Аксиома сводимости – любое высказывание более высокого типа эквивалентно одному из высказываний первого типа – позволяла обосновать, среди прочего, метод математической индукции. Последний, как известно, состоит в том, что высказывание A(x), зависящее от натурального параметра x, считается доказанным, если дока-

383

Часть 2. Специальная философия науки

зано A(1), и для любого натурального числа n из предположения, что верно A(n), делается вывод, что верно также A(n + 1). Согласно теории типов логический тип A(1), A(n) и A(n + 1) на единицу ниже, чем логический тип A(x). Выходит, что возможен переход между высказываниями различных логических типов. Аксиома сводимости может рассматриваться как обобщение метода математической индукции. Но обобщение некоторого математического положения не изменяет его статуса, оно остается по своей природе математическим и не превращается в логическое высказывание. Критики Рассела и Уайтхеда указывали на невыводимость аксиомы сведения из логики. Рассел пытался вывести аксиому выбора из логических аксиом, но эти попытки не привели к успеху.

С серьезными сложностями столкнулись логицисты и в связи с аксиомой выбора, или аксиомой Э. Цермело. В простейшей формулировке эта аксиома гласит, что если дан набор множеств, то, выбирая из них по одному элементу, можно составить из них новое множество. Поскольку аксиома выбора успешно используется при доказательстве важнейших теорем, логицистам необходимо было определиться относительно правомерности считать ее логической аксиомой. Расселу и Уайтхеду пришлось признать, что она имеет математическую природу. Она задает элементы с некоторыми свойствами, и последние никоим образом нельзя свести к логическим высказываниям. С большими сложностями столкнулись логицисты и в случае с аксиомой бесконечности (существует бесконечное множество индивидов наинизшего уровня), которая необходима для определения натуральных чисел [15, с. 32–33]. Подобно аксиоме выбора аксиома бесконечности имеет экзистенциальный характер, т. е. задает объекты с определенными свойствами, относительно которых аксиомы логики безмолвствуют.

Как неоднократно отмечалось различными авторами, программа логицизма оказалась невыполнимой постольку, поскольку природа логических и математических концептов различна. Аксиомы логики лишь определяют природу логических объектов. Как ни странно, вопрос о соотношении логики и математики до сих пор остается дискуссионным. Многие полагают, что хотя математика не редуцируема к логике полностью, она сводима к ней частично. В подтверждение этой точки зрения можно привести следующий аргумент.

384

Глава 19. Философия математики

В логике успешно дается определение натуральных чисел, типично математического объекта. Так, число «3» есть класс всех классов, в которых содержится по три элемента.

На наш взгляд, ситуацию по поводу соотношения логики и математики существенно прояснил Х. Карри. Он отнес логику Рассе- ла–Уайтхеда к области не логических, а математических наук [15, с. 40]. Из этого замечания следуют актуальные философские выводы. Путаница в рассуждениях логицистов и их критиков объясняется тем, что обе стороны не проводили четкого различия между логикой и математикой. За логику принималась логизированная математика, которую тщательно оберегали (и совершенно напрасно) от математи- ческих аксиом, в том числе аксиом сводимости, бесконечности и выбора. Четкое различение логики и математики могло бы предотвратить многочисленные взаимные обвинения логицистов и их критиков.

Математика не может быть сведена к логике ни полностью, ни частично. Бесспорно, логика может быть интерпретируема на область математики, а математика, в свою очередь, может быть интерпретирована на область физики. Но ни в первом, ни во втором случае не происходит поглощения одной науки другой. Логическому знаку конъюнкции часто ставят в соответствие математический знак сложения. Но отсюда не следует, что конъюнкция и сложение есть одно и то же. Продолжая эту аргументацию, можно сослаться на следующее обстоятельство: когда физик говорит о сложении сил, действующих на данное тело, он имеет в виду некоторый физический процесс, а отнюдь не математическое сложение или логическую конъюнкцию. Переход от одной науки к другой предполагает установление правил соответствия, а не сведение их друг к другу. В свете изложенного не удивительно, что теория типов в конечном счете вылилась в один из вариантов теоретико-множественного подхода, который рассматривается нами в разделе 19.6.

19.4. Интуиционизм

В качестве противоядия от парадоксов «наивной» теории множеств исключительно эффективным средством оказался интуиционизм (Б. Бауэр, А. Гейтинг и др.). Философия интуиционизма (не путать с интуитивизмом А. Бергсона и др.) рассматривалась нами в начале разд. 18.3. Теперь обратим внимание на существенные черты

385

Часть 2. Специальная философия науки

математического интуиционизма, в том числе конструктивизма (А.А. Марков и др.) [16, 17].

В интуиционистской математике отказываются от идеализации (абстракции) актуальной бесконечности в пользу идеализации потенциальной бесконечности. Одно это избавляет от большинства парадоксов теории множеств, так или иначе содержащих идеализацию актуальной бесконечности. Что касается аксиом сводимости и выбора, то они не используются интуиционистами и, следовательно, малоинтересны им. Здесь оперируют конструктивными объектами, которые либо атомарны, либо построены из атомарных объектов. В любом случае конструктивный объект задается как слово в некотором алфавите. Так, натуральные числа могут быть рассмотрены в качестве слов в алфавите {0,1}. Число «3» запишется как 0111. Вклю- чая в алфавит новые знаки, расширяют его конструктивные возможности. Для интуициониста важно, что он всегда оперирует знаками первого уровня. Вопрос о том, образуют ли они класс элементов, обладающих системными свойствами, для него не актуален.

Отметим, что в философской и математической литературе принято рассуждать об абстракциях актуальной и потенциальной бесконечности. К сожалению, слово «абстракция» давно уже стало фетишем научной терминологии. Когда говорят об абстракции, например актуальной бесконечности, то ни от чего не абстрагируются. В случае как актуальной, так и потенциальной бесконечности, речь идет, строго говоря, не об абстракциях, а об идеализациях. В чем состоит природа этих идеализаций, определяется в ходе специального анализа.

Как известно, теория всегда имеет дело с общим. Резонно поставить вопрос о теоретическом содержании интуиционизма. Оно получает выражение в двух отношениях: применительно к объектам и применительно к способам их конструирования. В первом случае речь идет об идеализации отождествления, когда говорят о двух или нескольких объектах как об одном и том же. Буквы конструктивистского алфавита можно писать как угодно, что никак не влияет на зафиксированные посредством их смыслы. Иначе говоря, конструктивист строит объекты не из единичных сущностей, лишенных общего содержания, а из концептов. В принципиально иной манере действуют строители мостов и зданий. Конечной целью их деятельности является определенный материальный, а не концептуальный объект.

386

Глава 19. Философия математики

Не лишены концептуального содержания и пути построения конструктивных объектов, которые осуществляются в соответствии с определенными предписаниями, алгоритмами (алгорифмами). Концепт алгоритма фиксирует концептуальное содержание способов построения конструктивных объектов. Алгоритм всегда содержит некоторые правила. В интуиционистской математике никому не суждено избежать алгоритма или же руководствования таким алгоритмом, который лишен каких-либо правил. Но нет и универсального алгоритма, пригодного для всех случаев. В этой связи важнейшее значение приобретает конкретизация алгоритма, расширение спектров возможных алгоритмов. Весьма эффективной оказалась конкретизация содержания алгоритмов в представлении о машине Тьюринга, рекурсивной функции и нормального алгорифма А.А. Маркова. Теория алгоритмов решающим образом способствовала развитию союза математики и техники. Разумеется, формирование алфавита интуиционистской математики и определение эффективных алгоритмов всегда насыщено многочисленными проблемными моментами.

Разительные отличия математического интуиционизма от других философско-математических направлений остро ставят вопрос о методе. Логицизм, формализм, платонизм руководствуются аксиоматическим методом. Можно ли считать, что он является сердцевиной интуиционизма? На этот счет крайне интересные мысли высказывал Г. Вейль [9, с. 21–23]. В частности, он отмечал, что ни один из двух методов (конструктивистский и аксиоматический) не обладает привилегией представления подлинности математики. Более того, нельзя провести границу, которая отделила бы аксиоматический метод от конструктивистского. Недопустимо также строить произвольную смесь двух методов. В таком случае аксиомы лишь устанавливают границы области значений переменных, участвующих в конструкции. Если за основу берется аксиоматический метод, конструкции отводится второстепенная роль. Аксиоматический метод позволяет выводить суждения, он дедуктивен. Конструктивистский метод, даже при известной опоре на аксиомы, индуктивен. Широко используемая в интуиционистской математике математическая индукция не сводима к дедуктивным правилам.

Итак, в рамках интуиционистской математики был выработан особый, конструктивистский метод. Впрочем, нет оснований для

387

Часть 2. Специальная философия науки

противопоставления друг другу аксиоматического и конструктивистского методов. Строго говоря, приходится различать два метода: аксиоматико-конструктивистский и конструктивно-аксиоматичес- кий. Лишь для краткости можно называть их соответственно аксиоматическим и конструктивистским. Отношения между конструктивистами и аксиоматиками долгое время были очень напряженными. Более ровными они стали после 1930 г., когда А. Гейтинг предложил аксиоматизацию интуиционистской логики и арифметики. Вопрос о соотношении интуиционистской математики с другими направлениями математики до сих пор остается дискуссионным.

19.5. Формализм

Основателем формализма является Д. Гильберт. Выдвинув свою программу в 1899 г., он работал над ней вплоть до самой смерти в 1942 г. Его не устраивали ни логицизм, ни интуиционизм. Он счи- тал, что логицисты тщетно пытаются свести математику к логике. А интуиционисты чрезмерно сужают сферу математики, отказываясь от многих ее достижений, в том числе канторовой теории бесконечных множеств. Сам Гильберт очень трепетно относился к математике. Ему хотелось непременно сохранить все положительное, накопленное в ней. В этой связи предметом его особого внимания стали наряду с подлинными математическими объектами так называемые математические идеализации типа мнимых чисел, бесконечно малых величин и бесконечности как таковой. Подлинные математические объекты необходимы для описания реальных явлений, полагал Гильберт. Но каков же статус идеализаций, например, бесконечности? «Бесконечное, – утверждал Гильберт, – нигде не реализуется, его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления... Роль, которая остается бесконечному, – это только роль идеи, если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле целостности...» [10, с. 364]. Реконструируя ход мысли Гильберта, ее можно обобщить следующим образом.

В теорию допустимо включать такие идеализации, которые не нарушают ее статуса. Они имеют вспомогательное значение. Недопустимо включать в теорию идеализации, которые разрушают ее, т. е.

388

Глава 19. Философия математики

вносят в нее недопустимые противоречия. Так как идеализации не описывают реальные явления, то они изобретаются самим человеком. В соответствии с философией Канта, человек способен изобретать трансцендентальные и трансцендентные идеи. В отличие от трансцендентальных идей трансцендентные положения приводят к противоречиям. Следовательно, математические идеализации имеют трансцендентальный характер, т. е. являются результатом деятельности рассудка. Имея дело с реальными явлениями, рассудок приписывает им трансцендентальную схематику, которая не совпадает ни с реальными явлениями, ни с процессами сознания. Отсюда Гильберт делал вывод, что следует формализовать допустимые математи- ческие методы и работать с символами. Что касается обоснований математических теорий, то оно вынужденно оказывается трехступен- чатым. Во-первых, необходимо всячески избегать трансцендентных понятий, вносящих в математические теории противоречия. Во-вто- рых, необходимо доказать, что трансцендентальные понятия, т. е. идеализации, безвредны, они лишь свидетельствуют о силе основного ядра теории. В-третьих, необходимо доказать непротиворечивость ядра теории. В конечном счете, благополучно избежав Сциллы и Харибды эмпиризма и интуитивизма, Гильберт оказался в родной математической стихии. Достоверность теории должна быть обоснована в теории математического доказательства, основателем которой и стал Гильберт. Таким образом, решающее значение в программе формализма приобретает доказательство непротиворечивости математических теорий. К этому необходимо добавить, что, будучи прекрасным геометром, Гильберт, используя теорию моделей, связал непротиворечивость евклидовой геометрии с непротиворечивостью арифметики. Он рассматривал арифметику в качестве модели евклидовой геометрии, а также других математических теорий. Вследствие этого вопрос о непротиворечивости формальной аксиоматической арифметики приобрел в программе формализма важнейшее значе- ние. Что касается математических доказательств, то они должны быть избавлены от призрака бесконечности, т. е. осуществляться за конеч- ное число шагов (требование финитизма).

Трудности, с которыми встречается формализм, в ярчайшем виде удалось представить К. Г¸делю в двух его знаменитых теоремах (1931). Согласно теореме Г¸деля о неполноте, если формальная ариф-

389

Часть 2. Специальная философия науки

метика непротиворечива, в ней найдется формально неразрешимое предложение, т.е. такая формула А, что ни А, ни не-А не могут быть выведены из аксиом системы. Теорема Г¸деля о неполноте относится ко всем формальным системам, включающим в себя аксиомы арифметики. В этих системах в качестве А можно взять формулу, которая выражает непротиворечивость формальной арифметики. В таком случае из теоремы о неполноте следует вторая теорема Г¸- деля, или теорема о непротиворечивости: не существует доказательства непротиворечивости формальной арифметики средствами той формальной системы, которая ее содержит. Существенно, что класс ограничительных для формальной арифметики теорем не ограничи- вается теоремами Г¸деля. Так, согласно теореме Тарского о неопределимости класс истинных предложений формальной арифметики в ней не определим; согласно теореме Россера о неразрешимости теоремы арифметики первого порядка неразрешимы [18, с. 115–116], т. е. они и не доказуемы, и не опровержимы в рамках данной системы.

Теоремы Г¸деля (теоремы Россера и Тарского появились позже) первоначально были восприняты как доказательство несостоятельности программы формализма. В любой достаточно богатой формальной аксиоматической неконструктивистской системе всегда найдутся истинные утверждения, недоказуемые в ее рамках. Стало ясно, что не следует переоценивать достоинств аксиоматического метода. Лишь постепенно было выяснено, что программа формализма в целом является одним из вариантов истолкования идеалов математического познания. В ней самой следует различать: а) плодотворные идеи, б) неоправданные идеализации. Удаление этих идеализаций не уничтожает программу формализма, а скорее вычленяет ее актуальное содержание. Программа Гильберта, отмечает Н.Н. Непейвода, не сводится к псевдопроблемам и является реальной программой научных исследований [19, с. 268]. В обзорной статье он перечисляет важнейшие вехи утверждения программы формализма после появления ограничительных теорем Геделя. Все они имеют важнейшее значение в деле уяснения метанаучных оснований математики [19, с. 268].

В 1936 г. ученик Гильберта Г. Гентцен доказал непротиворечи- вость арифметики и отдельных разделов математического анализа. Отход от «жесткой» программы формализма состоял в том, что обыч-

390