10. Момент силы, момент импульса, закон изменения момента импульса. Уравнение моментов.

Анализ поведения механических систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еще одна механическая величина, которая может сохраняться. Эта величина называется моментом импульса.

Пусть r – радиус-вектор, характеризующий положение рассматриваемой частицы (точка А на рис. 4.8) относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета, а p – импульс этой частицы в той же системе.

Моментом импульса частицы относительно точки О называется вектор L, равный векторному произведению векторов r и p: L = [r, p].

Здесь прямоугольные скобки  знак векторного произведения. По определению векторного произведения вектор L перпендикулярен векторам r и p (т. е. заштрихованной на рис. 4.8 плоскости), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при вращении его от r к p (в сторону меньшего угла между ними), а модуль вектора L равен L  r  p sin  lp, где  – угол между векторами r и p; l  rsin – плечо вектора p относительно точки О (длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление импульса).

Выясним, от чего зависит изменение вектора L в данной системе отсчета. Для этого продифференцируем выражение для L по времени. Воспользовавшись свойством производной от произведения двух функций, получим

Поскольку точка О неподвижна, вектор равен скорости v частицы в рассматриваемой системе отсчета, т. е. совпадает по направлению с вектором p, поэтому первое слагаемое равно нулю. Согласно второму закону Ньютона

где F – равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют моментом силы F относительно точки О (рис. 4.9). Обозначив ее буквой M, запишем

M = [r, F].

Модуль момента силы M равен M rFsinlF, где  – угол между векторами r и F, а l  rsin – плечо вектора F относительно точки О.

По определению векторного произведения вектор M перпендикулярен векторам r и F (т. е. заштрихованной на рис. 4.9 плоскости) и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при вращении его от r к F.

Итак, производная по времени от момента импульса L частицы относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета равна моменту M равнодействующей силы F относительно той же точки О:

Это уравнение называется уравнением моментов. Из него, в частности, следует, что если M = 0, то L = const. Иными словами, если относительно некоторой точки О в выбранной системе отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то относительно данной точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого промежутка.

Уравнение моментов позволяет: а) найти момент силы M относительно точки О в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса L(t) частицы относительно той же точки. Решение этого вопроса сводится к нахождению производной по

времени от момента импульса ;

б) определить приращение момента импульса частицы относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы M(t), действующего на эту частицу.

Из уравнения моментов имеем dL  Мdt.

Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора L за конечный промежуток времени t = t₂ – t₁:

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы. Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за тот же промежуток времени.

Пусть относительно некоторой точки О на произвольной неподвижной оси Z (в интересующей нас системе отсчета) момент импульса частицы равен L, а момент силы, действующий на частицу, – M.

Моментом импульса относительно оси Z называют проекцию на эту ось вектора L, определенного относительно произвольной точки O, лежащей на данной оси (рис. 4.10).

Аналогично вводится понятие момента силы относительно оси. Обозначают эти величины соответственно L_Z и M_Z.

Записав уравнение моментов в проекции на ось Z, получим  М_Z, т. е. производная по времени от момента импульса частицы относительно оси Z равна моменту силы относительно этой оси. В частности, если M_Z = 0,

то L_Z = const. Это означает, что если момент силы относительно некоторой неподвижной оси Z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным. При этом сам вектор L может и меняться.

Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:

где L_i – момент импульса i-й частицы, причем все векторы определены относительно одной и той же точки O заданной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы – величина аддитивная: момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют ли они между собой.

Продифференцировав L по времени и воспользовавшись свойством производной от суммы функций, получим

В предыдущем пункте было показано, что производная равна

моменту всех сил, действующих на частицу. В соответствии с уравнением моментов можно записать

где ^M_внутр.i – момент внутренних сил; ^M_внеш.i – момент внешних сил, действующих на i-ю частицу. Это приводит к соотношению

В данном выражении первая сумма представляет собой суммарный момент внутренних сил относительно точки O, вторая – суммарный момент внешних сил относительно той же точки.

Суммарный момент внутренних сил относительно любой точки равен нулю. Действительно, внутренними называются силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил, действующих между двумя любыми частицами системы, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент внутренних сил всегда равен нулю.

В результате получаем

где M_внеш. – суммарный момент внешних сил. Таким образом, производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту внешних сил. Предполагается, конечно, что оба момента (L и M) определены относительно одной и той же точки O выбранной системы отсчета. Из полученного уравнения следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени t составляет

где M_внеш. – функция от времени суммарного момента внешних сил, т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента внешних сил за соответствующий промежуток времени.

Следовательно, момент импульса системы может изменяться под действием суммарного момента только внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным. Действительно, если  0, то L  const. При этом моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем.

Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса сохраняется для незамкнутых систем. Если суммарный момент внешних сил относительно точки O выбранной системы отсчета M_внеш. = 0, то момент импульса системы относительно этой точки сохраняется. Вообще говоря, в незамкнутых системах такой точки может и не быть.

Возможна ситуация, в которой в незамкнутых системах сохраняется не сам момент импульса L, а его проекция L_Z на некоторую неподвижную ось Z. Записывая закон изменения момента импульса в проекции на эту ось, получаем

Отсюда следует, что если относительно некоторой неподвижной оси Z сумма моментов внешних сил равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется. При этом сам вектор L относительно произвольной точки O на этой оси может изменяться.