20. Распределение Максвелла. Средняя квадратичная скорость молекул.

Молекулы газа совершают хаотическое движение. В результате столкновений скорость молекул меняется как по величине, так и по направлению. Однако средняя квадратичная скорость молекул , находящихся в состоянии равновесия, остается постоянной. Это объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Это распределение описывается функцией распределения молекул по скоростям F(v). Выражение для нее было выведено Дж. Максвеллом. Физический смысл функции F(v) состоит в следующем.

Пусть dN(v) – число молекул, имеющих скорость в интервале от v до v+dv, N – общее число молекул газа. Функция F(v) определяет относительное число молекул dN(v)/ N:

и имеет вид

Функция распределения F(v) для трех разных температур (Т₁ < T₂ < T₃) представлена на рис. 10.12.

Скорость v_в, при которой функция F(v) максимальна, называется наиболее вероятной скоростью:

С повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает, поэтому максимум функции распределения молекул по скоростям сдвигается в сторону больших скоростей (на рис. 10.12 Т₁ < T₂ < T₃, и по- этому v_в1 < v_в2 < v_в3).

Средняя скорость молекулы v_ср (средняя арифметическая скорость) определяется как

С помощью функции распределения можно вычислить и среднюю квадратичную скорость u_ср:

Перечисленные скорости молекул газа связаны неравенствами ^v_в ^{< v}_ср ^{< u}_ср^.

21. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов устанавливает связь между давлением р газа, его объемом V и кинетической энергией W_к хаотического поступательного движения его молекул:

В этом выражении – суммарная кинетическая энергия поступательного движения N молекул однородного газа; m₀ – масса одной молекулы, а v_i – ее скорость. Так как

имеем

где ; mm₀N–масса газа; u_ср –средняя квадратичная скорость его молекул. Таким образом, основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов может быть записано следующим образом:

С помощью этого уравнения давление p газа может быть выражено соотношением

где – плотность газа; n – концентрация его молекул. Записанное для одного моля газа основное уравнение принимает следующий вид:

где представляет собой среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул газа; N_А – число Авогадро.

22. Внутренняя энергия идеального газа. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Внутренней энергией U системы называется энергия, зависящая только от термодинамического состояния системы. Она определяется характером движения и взаимодействия частиц, входящих в систему, и включает в себя: а) кинетическую энергию теплового движения всех частиц системы;

б) потенциальную энергию взаимодействия частиц системы; в) энергию электронов в атомах и внутриядерную энергию этих атомов. В рассматриваемых термодинамических системах изменением энергии электронов и внутриядерной энергии можно пренебречь и оценивать внутреннюю энергию системы как сумму кинетической энергии теплового движения частиц и потенциальной энергии их взаимодействия.

Внутренняя энергия является функцией термодинамического состояния системы, т. е. зависит от ее термодинамических параметров и не зависит от того, каким образом система пришла к этому состоянию. При переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии U  U ₂  U₁ не зависит от характера этого перехода. В случае кругового процесса, при котором система возвращается в исходное состояние, U  0 . Внутренняя энергия идеального газа включает в себя только кинетическую энергию теплового движения его молекул, так как взаимодействие между молекулами такого газа пренебрежимо мало:

С учетом того, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекул одноатомного однородного газа

Так как число молекул , внутренняя энергия идеального  одноатомного газа равна

а ее изменение

Очевидно, что внутренняя энергия идеального газа является функцией абсолютной температуры Т, и ее изменение определяется только изменением температуры T.

Используя уравнение состояния идеального газа , изменение внутренней энергии можно представить в виде

Приведенные формулы справедливы для одноатомного идеального газа. Для многоатомного идеального газа внутренняя энергия зависит еще от одного параметра – числа степеней свободы.

Число степеней свободы молекулы – число независимых величин, полностью определяющих ее положение в пространстве.

Молекулу одноатомного газа (гелий, ксенон и др.) можно рассматривать как материальную точку, ее положение в пространстве характеризуется тремя декартовыми координатами, которым соответствуют три степени свободы поступательного движения, которым соответствует кинетическая энергия этого движения.

Молекула двухатомного газа (водород, кислород, азот) в первом приближении рассматривается как совокупность двух жестко связанных материальных точек. Эта молекула кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения – вокруг двух осей, перпендикулярных оси молекулы, в них запасается кинетическая энергия вращения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через два атома молекулы, не меняет расположения последней в пространстве, при таком вращении энергия вращения не запасается, так как момент инерции молекулы относительно этой оси равен нулю. Таким образом, двухатомная молекула обладает пятью степенями свободы.

Трехатомная (углекислый газ, вода) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы: три поступательные и три вращательные.

Естественно, жесткой связи между атомами в молекуле не существует. Поэтому необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения, при котором изменяется расстояние между атомами. Отметим, что двухатомная молекула имеет одну колебательную степень свободы.

В классической статистической физике справедлив закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится кинетическая энергия, в среднем равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы – в среднем равная kT.

Колебательная степень свободы имеет вдвое большую энергию, так как на нее приходится не только кинетическая энергия, но и потенциальная, а средние значения этих энергий одинаковы.

Таким образом, средняя энергия молекулы

,

где i – суммарное число степеней свободы молекулы i = i_пост + i_вращ + 2i_колеб. Так как в идеальном газе потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю, его внутренняя энергия равна сумме энергий молекул, т. е.

Для 1 моля газа N = N_A, и его внутренняя энергия

Если в газе содержится ν = N/N_A молей, то

Используя уравнение состояния идеального газа, изменение внутренней энергии можно представить в виде