7. Работа и мощность. Теорема о кинетической энергии.

Механической работой ΔА, совершаемой постоянной силой F на перемещении Δr материальной точки, называется скалярная физическая величина, равная A Frcos, где  – угол между векторами силы и перемещения (рис. 3.1).

В прямоугольной декартовой системе координат выражение работы можно записать в следующем виде:

AF_X xF_Y yF_Z z, где F_X , F_Y , F_Z – проекции силы F, а x, y, z – проекции вектора перемещения Δr на координатные оси X, Y, Z соответственно. В математике такая скалярная величина (ΔА), равная FΔrcosα, называется скалярным произведением двух векторов (F и Δr) и записывается в виде A(F, r), или AFr.

Работа силы положительна ( A  0 ), если угол между направлением вектора силы и направлением вектора перемещения материальной точки находится в пределах 0    90 .

Работа силы равна нулю (A0), если материальная точка перемещается в направлении, перпендикулярном к направлению действия силы, т.е. при =90°.

Работа силы отрицательна (A0), если угол между направлением силы и направлением перемещения тупой (90180), так как в этом случае cos  0. В частности, если перемещение происходит в сторону, противоположную направлению вектора силы, т. е.  180, то cos  1, и A  Fr. Из этого следует, что работа силы трения скольжения является отрицательной.

Механическую работу при перемещении материальной точки под

действием силы можно определить с помощью графика зависимости проекции силы на направление перемещения от перемещения F_r  F_r (r) : работа численно равна заштрихованной площади (рис. 3.2) под линией графика. Этот вывод справедлив для любой зависимости F_r  F_r (r) (рис. 3.3).

При совпадении направления перемещения с направлением вектора силы работа положительна (ΔA₁ > 0). Если направления векторов силы и перемещения противоположны, то работа отрицательна (ΔA₂ < 0).

Для прямолинейного движения без изменения направления скорости модуль вектора перемещения r материальной точки равен пройденному пути s, и поэтому работу можно вычислить по формуле A  Fs cos . В случае если на материальную точку действует несколько сил:

F₁, F₂, F₃, ..., F_n, то полная работа этих сил на перемещении Δr равна алгебраической сумме работы, совершаемой каждой силой на этом перемещении:

Элементарной работой силы F на элементарном (бесконечно малом) перемещении dr называется величина A  Fdr  Fdr cos , где  – угол между векторами F и dr, dr  ds  |dr| – элементарный путь.

Суммируя элементарную работу, совершенную на всех элементарных участках пути от начальной точки 1 до конечной точки 2, найдем работу А₁₂ силы F по перемещению частицы на всем пути. В математике такая сумма элементарной (бесконечно малой) работы записывается в виде интеграла:

В системе единиц СИ работа измеряется в джоулях (Дж): 1Дж = 1Н · 1м.

Быстрота совершения работы характеризуется мощностью. Средней мощностью N_ср называется физическая скалярная величина, равная отношению работы ΔА к длительности промежутка времени t, в течение которого совершается эта работа:

Так как A  F r cos  , средняя мощность

В этом выражении = v_ср, где v_ср – средняя скорость перемещения. Следовательно, N_ср  Fv_ср cos, где  – угол между векторами F и v. Мощностью (мгновенной мощностью) N называется скалярная физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя мощность N_ср при бесконечном уменьшении промежутка времени t:

Используя определение скорости, это соотношение можно переписать следующим образом:

где v – мгновенная скорость; α – угол между векторами силы и скорости. Воспользовавшись определением скалярного произведения векторов, мгновенную мощность можно записать в виде N  Fv. Если на материальную точку действует несколько постоянных сил F₁, F₂, F₃, ..., F_n, то

где α_i – угол между векторами силы F_i и скорости v.

В системе единиц СИ мощность измеряется в ваттах (Вт): 1Вт = 1Дж/1с.

Эффективность работы, совершаемой различными механизмами, характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД), который определяется следующим образом:

где N_п, A_п – полезная мощность и работа механизма; N_з, A_з – затраченная механизмом мощность и работа.

Кинетической энергией W_к материальной точки или тела называется часть механической энергии, которая зависит от скоростей их движения

в данной инерциальной системе отсчета. Кинетическая энергия W_к материальной точки (или поступательно движущегося тела) с массой m равна

где v – скорость материальной точки или центра масс тела; p  mv – импульс материальной точки.

Кинетическая энергия W_к механической системы, состоящей из n материальных точек или тел, равна сумме их кинетической энергии:

Мерой изменения кинетической энергии может служить работа всех сил, приложенных к данной точке или телу.

Количественно эта работа определяется теоремой о кинетической энергии: изменение W_к кинетической энергии тела при его переходе из одного механического состояния в другое равно работе всех сил, действующих на данную точку или тело: AW_к W_к2 W_к1, где W_к1, W_к2 – кинетическая энергия в начальном и конечном состоянии соответственно. Действительно, в простейшем случае поступательного движения тела, когда векторы силы и перемещения направлены вдоль одной прямой в одну и ту же сторону, проекции силы F, перемещения Δr, ускорения a и скорости v на ось OX будут одного знака и равны модулям самих векторов. Работа в этом случае равна A  F r. По второму закону Ньютона F  ma.

При постоянной силе F модули перемещения r и скорости v тела связаны соотношением

где v₁ и v₂ – модули векторов скоростей материальной точки или тела в начале и конце рассматриваемого перемещения r. Подставив выражение для r в формулу работы, получим

Выражение в правой части последнего равенства представляет собой изменение кинетической энергии. Таким образом, работа всех сил, действующих на тело, является мерой изменения ее кинетической энергии.

Действие сил, работа которых на данном участке траектории положительна, приводит к увеличению кинетической энергии тела (W_к2 W_к1).

Действие сил, работа которых на данном участке траектории отрицательна, приводит к уменьшению кинетической энергии тела (W_к2 W_к1).