Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

n

X

1

π2

Це сво¹ю чергою да¹

n2

=

.

=1,3,5,...

8

∞

1

X

1

X

1

π2

1

∞

1

X

X

çâiäêè

n2

=

n2

+

n=2,4,...

n2

=

8

+

n=1

n2

,

n=1

n=1,3,5,...

∞

1

π2

X

Приклад. Хвильова ункцiячаñòèíêè=

.

n=1

n2

6

За означенням, хвильова

в iмпульсномуψn (x)зображеннiв iмпульсному зображеннi.

Z a e−ipx/~

1

Z a

−ipx/~

π

o

C(p)

=

√

ψn(x) dx =

√

e

sin

nx dx

0

2π

pa

π

πa n 0

озподiл за

√

sin

~

+

2

n

pa

π

2

−i

(πn~)2 − (pa)2 exp

2~ + 2 (n − 1) .

=

2n

πa

2

4πa~3n2

2 pa

π

Очевидно повинна|C(p)| =

(π2n2~2

− p2a2)2

sin

+

n .

2~

2

виконуватись умова

Z∞

2

Перевiрмо ¨¨. Зробимо замiну|Cзмiнно¨(p)| dpiнте= 1.рування

−∞

i знайдемо

x = pa/2~ + πn/2

Z∞

2

π

2

Z∞

sin2 x

182

|C(p)|

dp

=

n

dx

−∞

−∞

π 2

Z∞ sin2 x

1

1

=

n

+

dx

2

2

(äèâ

2

Мштейн.:Наука,И.С.1971,ыжикнасторИ.αÌ.=463). Таблицыπn.iIíòå

2

0

x

πn + x)

π 2

d

Z∞ sin2 x

1

1

Z∞

=

2 n −dα

0 Z∞ x2

sin

2α

− x

+

α + x dx

тимчасове позначення =

2

−

d

α 0

x

dx,

πn

теперинтегралов,¹абличнимсумм, рядов.наприклад,произведенийрад-.

|C(p)|

2

2

−

d

π

2 −

sin 2α

dp = πn

−∞

πn

2

2

sin 2α

îñêiëüêè

=

1 + cos 2α −

= 1,

2

α2

α

озв'язки класичних рiвняньH =

ðóõó+ äîáðåx2

.âiäîìi:

2m

2

x = x0 sin(ωt + δ),

ω iÿ

x0

δ

òóò

p = mωx0 cos(ωt + δ),

Åíåð

частотнабува¹коливань,

àìïëiòóäà,

початкова аза.

E

неперервний ряд значень:

mω2

E =

x02.

183

2

тати швидше, нiж

H(ξ) на безмежностi е повинна зрос-

184

exp(ξ2/2), C стала нормуваííÿ.

Запишемо

H′′(ξ) − 2ξH′(ξ) + ~ω − 1 H(ξ) = 0.

íåâiäîìó óíêöiþ

2E

H(ξ) у виглядi ряду

X

k

H(ξ) =

ak ξ

k≥0

X

k

2

X

k

2E

X

k

Ó

k 2 ak k(k − 1)ξ

−

− 2 k 0 ak kξ

+

~ω

− 1 k 0 akξ

= 0.

першо у доданку поклада¹мо

≥

≥

≥

познача¹ìо через

k − 2 = k′, à ïîòiì k′

знову пере-

X

k:

2E

k

рiвнянняно,Длящобтогокщобдляжнийневiдомихсумачленстепеневогорядукоедорiвнювавiцi¹нтiвяду дорнулевi.iâíювалаЦе нулевi,да¹рекурентненеобхiд-

k

≥

0 (k + 2)(k + 1)ak+2

−

2kak

+

~ω

− 1 ak ξ

= 0.

ak:

значеннях

2k + 1

2E/~ω

При великих

= ak

−

.

ak+2

(k + 2)(k + 1)

бачимо, що для кое iцi¹нтiвk знахпарнимиодимо, значкамищоa

= 2a /k. Çâiäñè

k+2

k

ÿä äëÿ

2

a2k 1/k!, íàø

не буде задовH(ξ) да¹льнятиH(ξ)граничнихexp(ξ ). умовУрезультатi хвильова ункцiя

забезп чення îбрива¹мо

яд, покладаючиψ → 0, ξ → ±∞. Для ¨х

an+2 = 0, àëå an 6= 0:

Це рiвняння визнача¹2n +ðiâíi1 −åíåð2E/~i¨ω = 0.

лятора

E = En гармонiчного осци-

En = ~ω(n + 1/2),

n = 0,

1, 2, . . .

185

ис. 19. iвнi енер i¨ лiнiйного гармонiчного осцилятора.

êîå iöi¹íòè

à óíêöiÿ

ak+2

= ak

2(k − n)

,

(k + 2)(k + 1)

H(ξ) = Hn(ξ):

n

X

Hn(ξ) =

ak ξ

k=0

íèì

2n, решта знах димо з рекурентних спiввiдношень:

ξn ðiâ-

HÄåêiëüêà(ξ) = (2першихξ)

−

(2ξ)

−

+

−

−

−

(2ξ)

−

+. . .

n

−

n(n

1)

n

2

n(n

1)(n

2)(n

3)

n

4

n

полiномiв мають

вигляд:

1!

2!

H0(ξ) = 1,

H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ,

H1(ξ) = 2ξ,

H4(ξ) = 16ξ4 − 48ξ2 + 12,

186

H2(ξ) = 4ξ2 − 2,

H5(ξ) = 32ξ5 − 160ξ3 + 120ξ.

íî ïîëiíîì

n > n′, òî

ÿâ

-

зновуункцi¨отриму¹мо,

iнте ралякi-дорiвкратнеповинною¹iнтебутинулевiрування.Якщо.От187

же, хвиль

Hn′(ξ) п ртогональними,водимо ак само n′

мального, тостепеняпохiднi полiномаiд iнте .раломЦей внесокдають дорiвню¹внесок лише вiд макси-

n = n′

2nn!. З умови

нормування

Z−∞

Z−∞

∞

~

∞

2

~

1знаходимо= ψn2 (x)dx = Cn2r

2nn!

e−ξ

dξ = Cn2r

2nn!√π

mω

mω

Отже, остаточно

Cn = π~

√2nn! .

ψn(x) =

mω

1/4

1

2

причому

√

e−ξ

/2Hn(ξ),

π~

одСтаниВхвильоваос¹невироджовному

Z−∞ ψn′ψn dx = δn′,n.

∞

ункцстаненими,iя.колидорiвню¹к жному значенню енер i¨ вiдповiда¹

менше зíачення, але не

n = 0нулевi:,енер iя осцилятора ма¹ най-

E0

=

~ω

невизначеностейтак звана енерункцiяайзенбернульвиха:неколиваньможе2 бути.Цеодночаснонаслiдок принципу

2

i = 0

Приклади

hx2i = 0 i

hp

Хвильова(див.

основногод Ÿ7). стану

ψ0(ξ) =

mω

1/4

ξ2/2

e−

.

дженогоЯк бачимо,станувона ¹ безвузловою. Хвильова ункцiя першого збу-

ÿêà âiäïîâiä๠åíåðψ1i¨(ξ) = π~

e−ξ

/2√2 ξ,

mω

1/4

2

188

E1 = 3~ω/2, ма¹ один вузол (рис. 20).

Зроб мо уваження. Якщо розг

задачу про рух час