Пустынский Л.Н. Конспект лекций по Ядерной физике
.pdf
эффективное сечение есть среднее значение площади, при нахождении в пределах которой частиц а и А с определенной вероятностью должна произойти реакция, если последние считать точками. В ядерной физике для измерения сечений используется специальная единица, называемая барн (б), 1б = 10-24 см2.
Часто используется также величина макроскопического сечения
= nА , (4.3.5)
имеющей размерность длины. Физический смысл этой величины раскрывается ниже.
Перепишем (4.3.3) в виде
|
|
|
|
dx |
|
dN = σn |
A |
N |
a |
(4.3.6) |
|
|
|
|
и разделим левую и правую части равенства (4.3.6) на бесконечно малый объем dV = Sdx. В результате получим
|
|
|
|
|
|
|
dN |
|
|
N |
|
||
|
= σn |
A |
|
a |
. |
|
dV |
S |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
(4.3.7)
В ядерной физике
S
Рис. 4.3.1
частиц а равна
оказалось удобным использовать величину плотности потока частиц Ф, определяющую интенсивность поступления частиц в заданный объем. Пусть в объем сферы (рис. 4.3.1) с площадью поперечного сечения S по всевозможным направлениям поступает однородный в пределах объема сферы поток частиц N . Тогда по определению плотность потока
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
Фа = |
а |
. |
(4.3.8) |
|
S |
||||
|
|
|
Обозначим через = dN/dV - число реакций, происходящих в бесконечно малом объеме вещества мишени в единицу времени. С учетом этого и (4.3.8) выражение (4.3.7) принимает вид
=
nAФа
,
141
(4.3.9)
где Фа – плотность потока частиц а. Выражение (4.3.9) будет в дальнейшем неоднократно использоваться.
Установим, как изменяется плотность потока частиц а при их движении в пластинке. Число реакций в единицу времени, происходящих в тонком слое мишени единичной площади и толщиной dx, равно dx, а с другой стороны равно убыванию плотности потока
частиц в этом слое, то есть |
|
dx = - dФа. |
(4.3.10) |
Используя (4.3.9) и (4.3.10) получаем дифференциальное уравне-
ние для ослабления плотности потока частиц а: |
|
dФа= - nАФаdx, |
(4.3.11) |
которое следует интегрировать с граничным условием Фа(х = 0) = Ф0. Сечение также является функцией х, так в общем случае энергия частиц является функцией прйденного в мишени расстояния, но часто (например, в случае прохождения тепловых нейтронов через вещество) можно приближенно считать, что не зависит от x. Тогда, разделяя переменные в (4.3.11), получим после интегрирования:
Ф ( x) = Ф e |
−nσx = Φ ( x) = Φ e−Σx . |
(4.3.12) |
||
а |
0 |
а |
0 |
|
Из (4.3.12) получаем вероятность частице a пройти без столкно-
вений путь x: |
|
|
|
P( x) = |
Φ(x) |
= e−nσx = e−Σx . |
(4.3.13) |
|
|||
|
Ф0 |
|
|
Найдем среднюю длину пробега частиц а до первого взаимодействия:
|
|
−Σx |
|
1 |
|
|
L = xdP( x) = xde |
= |
. |
||||
|
Σ |
|||||
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
(4.3.14)
142
Таким образом,
dω
О
Рис. 4.3.2.
макроскопическое сечение [см-1] имеет смысл
среднего числа взаимодействий частиц а c
Ωядрами А на единице длины пути в мишени,
то есть смысл коэффициента поглощения в
материале мишени.
Более подробной характеристикой ядерного взаимодействия (реакции или рас-
сеяния) служит дифференциальное сечение:
σ |
|
(T |
, ) = |
dσ(T |
) |
[см 2 / стерад]. |
диф |
a |
|
||||
|
a |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.15)
Дифференциальное сечение определяет плотность вероятности
продуктам (В или b) реакции (4.1.1) вылететь в пределах телесного |
||||||||||||
|
d = sin d d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
угла |
в направлении |
Ω (рис. 4.3.2). Дифференцируя |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
(4.3.3) по ω, получим выражение |
|
|
|
|||||||||
|
|
dP |
1 |
|
|
|
dσ |
|
|
|||
|
|
|
dN |
|
nAdx , |
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
(4.3.16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dω |
|
Na |
|
dω |
|
dω |
|
|
||
которое устанавливает связь между дифференциальным сечением и плотностью вероятности.
Если спины налетающих частиц и ядер в мишени ориентированы хаотично, то процесс взаимодействия обладает цилиндрической симметрией относительно оси, совпадающей с направлением движения частицы a , т.е. не зависит от полярного угла φ и определяется
только азимутальным углом |
|
вылета одной из частиц. |
|
||||||
|
|
||||||||
σдиф (T |
, ) = σ |
|
|
(T , )d = 2 |
dσ |
. |
(4.3.17) |
||
диф |
|
||||||||
a |
|
a |
|
|
d |
|
|||
Зависимость дифференциального сечения от угла вылета |
называ- |
||||||||
ется угловым распределением. |
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрирование (4.3.17) по углу |
|
устанавливает связь между |
|||||||
|
|||||||||
эффективным сечением и угловым распределением:
143
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(T |
|
) = 2 σ |
диф |
(T |
, )sin d |
|||||
a |
0 |
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Часто вместо |
зависимости |
|
(Ta , ) |
используют |
||||||
(Та, ), где cos . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
σ(E) = 2 |
|
σ |
диф |
(T |
, )d |
. |
||||
|
|
|
|
|
a |
|
||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4.3.18)
зависимость
(4.3.19)
На одних и тех же ядрах А под действием частиц а могут иметь место различные выходные каналы (см. (4.1.2)), каждый из которых
характеризуется своим парциальными микроскопическим σi и мак-
роскопическим Σi сечениями. Тогда, в соответствие с (4.3.6), сече-
ния входного канала или полные сечения t и Σt складываются из парциальных сечений следующим образом:
σt = σi ; i
t
=i = nAσi
ii
= nA σi =nAσt i
.
(4.3.20)
Если же вещество мишени имеет в своем составе ряд различных нуклидов, концентрация ядер каждого из которых равна nj, то в этом случае можно говорить только о полном макроскопическом сечении
|
|
|
t = i j = n j σij , |
(4.3.21) |
|
|
|
|
j i |
j i |
|
где |
σ |
ij |
- микроскопическое сечение реакции вида i на ядрах j, или |
||
|
|||||
же о средней (приходящейся на одно ядро) величине микроскопического сечения реакции вида i:
|
n j σi |
|
σ |
= |
j |
|
||
i |
n j σi |
|
|
|
|
|
j |
i |
.
(4.3.22)
144
Используя (4.3.14) и (4.3.20) или (4.3.21) можно рассчитать пол-
ную среднюю длину пробега
L |
= |
t |
|
Lt 1 /
частиц а:
t ,
(4.3.23)
Вероятность осуществления ядерной реакции, непосредственно измеряемая в физических экспериментах и позволяющая экспериментально определить макроскопическое сечение, есть выход ядерной реакции Y или просто выход. Выход определяется как среднее число частиц а, испытавших взаимодействие в единицу времени, отнесенное к полному числу частиц а, падающих на мишень макроскопических размеров в единицу времени. Вид формулы, связывающей выход и макроскопическое сечение, определяется конкретным видом ядерной реакции. Для примера рассмотрим процесс (4.3.12) на мишени толщиной d:
= |
Φ |
0 |
− Φ(d) |
|
|
||
|
|
Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= 1 − |
Φ(d) |
|
Φ |
||
|
||
|
0 |
= 1 − e |
−Σ d |
|
.
(4.3.24)
После небольших преобразований и логарифмирования получаем формулу для нахождения макроскопического сечения
Σ
=− 1 ln(1 −Y ) d
1 |
Y |
|
d |
||
|
,
(4.3.25)
если, как обычно, Y << 1.
Для экспериментального определения дифференциального сечения необходимо измерить угловое распределение продуктов реакции или рассеяния частиц а
§4.4. Законы сохранения в ядерных реакциях
Ядерная реакция представляет чрезвычайно сложный процесс взаимодействия налетающей частицы с ядром. Построение законченной математической теории ядерных реакций невозможно хотя бы потому, что до сих пор неизвестен точный вид сил, действующих между нуклонами. Однако многие важные сведения о ядерных реак-
145
циях можно получить в результате применения законов сохранения (см. §1.8), без решения задачи о самом процессе протекания ядерной реакции. Законы сохранения накладывают определенные ограничения на возможность протекания ядерных реакций, и энергетически выгодный процесс всегда оказывается абсолютно запрещенным, если он сопровождается нарушением хотя бы одного из законов сохранения.
Закон сохранения электрического заряда. Во всех ядерных реак-
циях и радиоактивных превращениях ядер сохраняется алгебраическая сумма элементарных зарядов, т.е. алгебраическая сумма элементарных электрических зарядов первичной системы равна алгебраической сумме элементарных зарядов вторичной системы.
Закон сохранения барионного заряда. Барионами называется группа тяжелых частиц, в состав которой входят нуклоны и гипероны, частиц имеющих полуцелый спин и массу не меньше массы протона. Всем барионам приписывается барионный заряд (барионное число), равный единице. Поэтому массовое число А есть в то же время и барионный заряд ядра. Для всех остальных частиц барионный заряд равен нулю. Если барионам и антибарионам приписать разные знаки, то закон сохранения барионного заряда оказывается аналогичным закону сохранения электрического заряда. Для ядерных реакций в области энергий меньше 1 ГэВ и радиоактивного распада закон сохранения барионного заряда сводится к тому, что сохраняется полное число нуклонов, так как в этой области энергий в ядерных реакциях не может происходить рождение антинуклонов и гиперонов. Приведем примеры, иллюстрирующие эти законы.
Реакция на легких ядрах:
2 |
H+ |
2 |
H |
|
1 |
1 |
|||
|
|
3 |
He+ |
1 |
n, |
|
2 |
0 |
|||
|
|
|||
3 |
1 |
|
||
1 |
H + p. |
|||
1 |
|
|||
(4.4.1)
Закон сохранения барионного заряда (числа нуклонов) – сохраня-
ется сумма верхних индексов:
146
3+1
2+2
3+1
Закон сохранения электрического заряда - сохраняется сумма
2+0
1+1
1+1
нижних индексов:
Эти же два закона можно проверить на примере одного из вариантов реакции деления ядер урана:
235 |
U + |
1 |
n → |
236 |
U |
|
140 |
Xe + |
94 |
Sr + 2 |
1 |
n . |
|
|
91 |
0 |
92 |
|
→ |
54 |
38 |
|
(4.4.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||
Продукты реакции 140Хе и 94Sr сильно перегружены нейтронами по сравнению с «нормой» (например, в составе ядра 140Хе имеется 86 нейтронов вместо 78 у стабильного нуклида 132Xe), поэтому они--активны.
Применение этих же законов сохранения для --распада 140Xe:
|
|
|
140 |
140 |
0 |
0 |
~ |
|
|
|
54 Xe → 55Cs +−1β |
+0 |
; |
||
|
|
|
|
140 = 140 + 0 + 0 , |
|
||
|
|
|
|
54 = 55 + (-1) + 0. |
|
||
Запись |
0 |
β |
означает, что это – частица с отрицательным электриче- |
||||
−1 |
|||||||
ским зарядом, равным одной единице элементарного заряда, и нулевым барионным зарядом.
В твердых телах атомные ядра при их малых размерах (<10-12 см) удалены друг от друга на расстояния ~ 10-8 см. Малое значение химической энергии связи позволяет считать систему из двух взаимодействующих ядерных частиц замкнутой (изолированной). В соответствии со вторым законом Ньютона изменение импульса системы
тел |
|
|
|
(4.4.3) |
|
d p = Fd t . |
||
|
|
147 |
В замкнутой системе равнодействующая всех сил, действующих на систему, равна нулю и поэтому сохраняется полный импульс и, следовательно, полная энергия системы частиц.
Закон сохранения энергии для ядерной реакции записывается следующим образом:
E1 = E2 , |
(4.4.4) |
т.е. полная энергия системы частиц до реакции равна полной энергии системы образовавшихся частиц:
E01 + T1 +U1 = E02 + T2 + U2, |
(4.4.5) |
где (для процесса (4.1.1)): E01 = ma + MA |
и E02 = mb + MB – |
суммарные массы покоя (в энергетических единицах) частиц до и после реакции; Т1 = Та + ТА и Т2 = Тb + TB – суммарные кинетические энергии частиц, вступивших в ядерную реакцию, и возникших в результате реакции; U1 и U2 – потенциальные энергии взаимодействия между собой частиц до и после реакции. Поскольку наблюдения за частицами ведут на макроскопических расстояниях, то на таких расстояниях их взаимная потенциальная энергия равна нулю.
Величина |
|
Q = E01 - E02 = T2 - T1 |
(4.4.6) |
называется энергией реакции. Очевидно, что величина Q не зависит от выбора системы координат, т.к. определяется разностью масс покоя. Энергия реакции определяет изменение суммарной кинетической энергии системы взаимодействующих частиц.
Если Q > 0, то реакция сопровождается увеличением суммарной кинетической энергии частиц (выделением энергии), образовавшихся в результате реакции, за счет уменьшения массы (энергии) покоя частиц, вступающих в реакцию, и называется экзоэнергетической. Экзоэнергетические реакции могут идти при любой кинетической энергии частиц, вступающих в ядерную реакцию.
148
Если Q < 0, то реакция сопровождается увеличением энергии покоя образовавшихся частиц за счет уменьшения суммарной кинетической энергии системы и называется эндоэнергетической. Эндоэнергетические реакции обладают энергетическим порогом минимальной величиной кинетической энергии частиц, необходимой для открытия такого канала реакции (см. (4.5.24)).
Случай Q = 0 соответствует упругому рассеянию частиц. Нуклонный состав ядер и частиц входного и выходного каналов при этом не изменяется, не изменяется сумма энергии покоя частиц и их кинетической энергии.
Закон сохранения импульса в ядерной реакции (4.4.1): |
|
|||
|
|
, |
(4.4.7) |
|
P |
= P |
2 |
||
1 |
|
|
||
т.е. полный импульс системы частиц до реакции равен полному им-
пульсу частиц, возникших в результате реакции. Для реакции (4.4.1) |
||||
|
|
|
|
(4.4.8) |
Pa + PA = PB + Pb . |
||||
Точно так же сохраняется и полный момент, состоящий из суммы |
||
|
|
|
относительного, то есть орбитального момента |
l |
движения каждой |
из частиц относительно центра инерции системы, и собственных
моментов частиц (спинов): |
|
|
|
|
||
|
|
|
(4.4.9) |
|||
la A + I a + I A = lBb + I B + Ib |
||||||
Закон сохранения четности в ядерной реакции записывается в виде
P P |
(−1) |
l |
= P P |
(−1) |
l |
(4.4.10) |
|
aA |
bB |
||||||
a A |
|
b B |
|
|
|||
|
|
|
|
|
где буквой Р обозначены соответствующие собственные четности частиц, а (−1)laA и (−1)lbB - четность орбитального движения. Так же как и другие законы сохранения, закон сохранения четности накладывает ограничения на возможность протекания реакции.
149
При упругом рассеянии собственные четности частиц не изменяются. Поэтому из (4.4.10) следует, что при упругом рассеянии l может изменяться только на четное число.
В ядерных реакциях выполняется также закон сохранения сум-
марного изотопического спина частиц (см. §1.10), что приводит к определенным правилам отбора по изоспину.
§4.5. Кинематика ядерных реакций. Импульсная диаграмма
Напомним, что кинематикой называют раздел механики, посвященный изучению геометрических свойств движения тел без учета действующих на тела сил. Движение любого тела в кинематике изучают по отношению к некоторой системе координат, позволяющей задать относительное положение движущегося объекта в любой момент времени. В ядерной физике обычно используют две системы координат: лабораторную (ЛСК), связанную с ядром-мишенью, и систему центра инерции (СЦИ), определение которой будет дано ниже.
Кинематическая схема ядерной реакции и связь между энергиями, импульсами и углами вылета частиц в ЛСК и СЦИ имеет наглядное графическое представление и может быть проанализирована с помощью импульсной диаграммы (векторной диаграммы импульсов). Построение импульсной диаграммы основано на применении законов сохранения энергии и импульса.
Рассмотрение выполним для случая, когда скорости движения объектов существенно меньше скорости света, т.е. когда массы ча-
стиц m >> T – их кинетической энергии, и можно использовать законы классической механики.
Пусть имеется произвольная инерциальная система координат К', которая движется относительно ЛСК со скоростью V . Тогда ско-
150