12. Тестовые функции

Эффективность программ оптимизации проверяют на наборе тестовых функций. В таблице представлены функции, а на рис. П.12.1…П.12.10 – линии равных уровней некоторых из них.

Тестовая функция	Минимум x*
y1= 100(x2–x12)2+ (1 –x1)2	(1; 1)t
y2 = (x2 – x12)2 + (1 – x1)2	(1; 1)t
y3 = (x2 – x12)2 + 100(1 – x1)2	(1; 1)t
y4 = 100(x2 – x13)2 + (1 – x1)2	(1; 1)t
y5 = [1.5 – x1(1 – x2)]2 + [2.25 – x1(1 – x22)]2 + [2.625 – x1(1 – x23)]2	(3; 0.5)t
y6 = (x12 + x2 – 11)2 + (x1 + x22 – 7)2	(3; 2)t
y7 = (x1 – 2)2 + (x2 – 1)2 + 0.04/(–0.25x12 – x22 + 1) + 5(x1 – 2x2 + 1)2	(1.795; 1.378)t
y8 = (2x12 + 3x22)exp(x12 – x22)	(0; 0)t
y9 = 100(x2 – x12)2 + (1 – x1)2 + 90(x4 – x32)2 + (1 – x3)3 + + 10.1[(x2 – 1)2 + (x4 – 1)2] + 19.8(x2 – 1)(x4 – 1)	(1; 1; 1; 1)t
y10 = (x1 – 10x2)2 +5(x3 – x4)2 + (x2 – 2x3)4 + 10(x1 – x4)4	(0; 0; 0; 0)t
y11 = 0.1[12 + x12 + (1 + x22)/x12 + (x12x22 + 100)/(x14x24)]	(1.743; 2.036)t

y₂ = (x₂ – x₁²)² + (1 – x₁)²

y₁= 100(x₂–x₁²)²+ (1 –x₁)²

x₂

x₂

x₂

x2 Рис. П.12.1

Рис. П.12.2

y₃ = (x₂ – x₁²)² + 100(1 – x₁)²

y₄ = 100(x₂ – x₁³)² + (1 – x₁)²

Рис. П.12.3

Рис. П.12.4

y₅ = [1.5 – x₁(1 – x₂)]² + [2.25 – x₁(1 – x₂²)]² + + [2.625 – x₁(1 – x₂³)]²

x₂

y6 = (x12 + x2 – 11)2 + (x1 + x22 – 7)2 x2 Рис. П.12.5
Рис. П.12.6

y₈ = (2x₁² + 3x₂²)exp(x₁² – x₂²)

x₂

x₂

y7 = (x1 – 2)2 + (x2 – 1)2 + + 0.04/(–0.25x12 – x22 + 1) + + 5(x1 – 2x2 + 1)2 y9 = 100(x2 – x12)2 + (1 – x1)2 + 90(x4 – x32)2 + (1 – x3)3 + + 10.1[(x2 – 1)2 + (x4 – 1)2] + 19.8(x2 – 1)(x4 – 1) x2 Рис. П.12.7

Рис. П.12.8

Рис. П.12.9

y₁₀ = (x₁ – 10x₂)² +5(x₃ – x₄)² + (x₂ – 2x₃)⁴ + 10(x₁ – x₄)⁴

x₂

Рис. П.12.10

Содержание

Предисловие 4

Практическое занятие 1. Исследование методов одномерного поиска минимума унимодальных функций 5

Практическое занятие 2. Исследование методов полиномиальной интерполяции для поиска минимума целевых функций 7

Практическое занятие 3. Исследование методов линейного поиска 8

Практическое занятие 4. Исследование градиентных методов 10

Практическое занятие 5. Проектирование программы оптимизации 12

Практическое занятие 6. Исследование модификаций ньютоновских оптимизационных процессов 14

Практическое занятие 7. Исследование методов переменной метрики 15

Практическое занятие 8. Исследование методов сопряженных градиентов 17

Практическое занятие 9. Исследование методов безусловной оптимизации нулевого порядка 19

Практическое занятие 10. Исследование алгоритмов случайного поиска 20

Практическое занятие 11. Исследование методов нелинейного программирования 21

Список литературы 24

Приложения 25

1. Метод средней точки (метод Больцано) 25

2. Метод трехточечного поиска на равных интервалах 25

3. Метод Ньютона 26

4. Метод линейной интерполяции (метод секущих) 26

5. Метод кубической интерполяции для одномерной минимизации 27

6. Метод Фибоначчи 28

7. Метод Хука–Дживса с одномерной минимизацией 29

8. Метод Зангвилла 29

9. Алгоритм LPτ-поиска 30

10. Формулы методов переменной метрики 32

11. Минимизация целевых функций в Microsoft Excel 97 33

12. Тестовые функции 41

Редактор Э. К. Долгатов

Подписано в печать     .   .   . Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Гарнитура «Times» Печ. л. 2,75.

Тираж 200 экз. Заказ

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»