4. Метод линейной интерполяции (метод секущих)

Метод секущих предлагает заменить вторую производную f ''(x_k) в ньютоновской формуле ее линейной аппроксимацией (f '(x_k) –f '(x_k – 1))/(x_k–x_k – 1).

Тем самым очередное приближение x_k + 1к стационарной точкеx^*задается формулой видаx_k + 1 = x_k – f '(x_k)(x_k – x_k – 1)/(f '(x_k) – f '(x_k – 1)).

Легко видеть, что x_k + 1– точка пересечения с осью абсцисс секущей прямой, проходящей через точкиx_kиx_k – 1.

В отличие от метода Ньютона метод секущих гарантирует сходимость точек {x_k} к стационарной точкеx^*, однако сходимость метода достигается ценой потери быстродействия. Как правило, метод дихотомии оказывается эффективнее метода секущих, хотя последний и получен из более быстродействующей схемы.

Начальный этап. Пусть методом Свенна получен интервал неопределенности [a₁, b₁], границы которого удовлетворяют неравенствуf '(a₁)f '(b₁) < 0. Задать– погрешность вычисления минимума и принятьk = 1.

Основной этап.

Шаг 1. Найти очередное приближениеx_k + 1к минимумуx^*и проверить условие окончания поиска:

(1) x_k + 1 = b_k – f '(b_k)(b_k – a_k)/(f '(b_k) – f '(a_k));

(2) еслиf '(x_k + 1) ≤ , то остановиться.

Шаг 2. Уменьшить интервал поиска минимума:

(1) еслиf '(x_k + 1) > 0, тоa_k + 1 = a_k,b_k + 1 = x_k + 1, в противном случае принятьa_k + 1 = x_k + 1,b_k + 1 = b_k;

(2) положитьk = k + 1 и перейти к шагу 1.

5. Метод кубической интерполяции для одномерной минимизации

Суть алгоритма заключается в том, что на каждой итерации функция f(x) аппроксимируется кубическим полиномомF(x), точка минимумаx^(*)которого берется в качестве текущего приближения к искомому минимумух^*. Алгоритм предполагает вычисления в каждой очередной точке значений функцииf(x) и ее производнойf '(x).

Начальный этап. Задать,x₁,h₁– параметры метода, имеющие общепринятый смысл. Методом Свенна установить начальный интервал [a,b]:

(1) изменить направление поискаh₁= –h₁, еслиf '(x₁) > 0;

(2) вычислятьf_kв точкахx_k + 1=x_k+h_kприh_k= 2h_k – 1,k= 2, 3, ...,m– 1 до тех пор, пока не продвинемся в точкуx_m, такую, чтоf '(x_m)f '(x_m – 1) < 0;

(3) еслиx_m – 1<x_m, то положитьa=x_m – 1,b=x_m, иначе –a=x_m,b=x_m – 1.

Основной этап.

Шаг 1. Найти аппроксимирующий минимум:

(1) вычислить параметр  = (z + w – f '(a))/(f '(b) – f '(a) + 2w), где z =  = f '(a) + f '(b) + 3(f(a) – f(b))/(b – a), w = (z² – f '(a)f '(b))^1/2;

(2) принять аппроксимирующий минимум

x^(*)=a + (b – a), если 0 ≤  ≤ 1,

x^(*)=a, если< 0, и

x^(*)=b, если> 1.

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска:

eслиf '(x^(*))<илиx^(*)=a, илиx^(*)=b, поиск окончить. Иначе вернуться к шагу 1, используя новый интервал [a,x^(*)], еслиf '(x^(*)) > 0, либо интервал [x^(*),b], еслиf '(x^(*)) < 0.

6. Метод Фибоначчи

Метод Фибоначчи является процедурой линейного поиска минимума унимодальной функции f(x) на замкнутом интервале [a, b], отличающейся от процедуры золотого сечения тем, что очередная пробная точка делит интервал локализации в отношении двух последовательных чисел Фибоначчи. Последовательность чисел Фибоначчи задается условиямиF₀ = F₁= 1,F_k + 1 = F_k + F_k – 1,k = 1, 2, ... . Начальными членами последовательности будут 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . Стратегия поиска Фибоначчи требует заранее указатьn – число вычислений минимизируемой функции и– константу различимости двух значенийf(x). Рассмотрим один из возможных вариантов метода.

Начальный этап.

(1) Задать начальный интервал [a₁, b₁], длину конечного интервалаL_nи определить числоnтак, чтобы выполнялось условиеF_n > (b₁ – a₁)/L_n. Вычислить ≤ L₁/F_n + 1.

(2) Взять 2 пробные точки₁ = a₁ + (F_n – 2/F_n)(b₁ – a₁) и₁ = a₁ + (F_n – 1/F_n)(b₁ – a₁). Положитьk = 1.

Основной этап.

Шаг 1. Сократить текущий интервал локализации:

(1) еслиf(_k) <f(_k), то положитьa_k + 1=a_k,b_k + 1=_k,_k + 1=_kи вычислить новую точку_k + 1=a_k + 1+ (F_{n – k – 2}/F_n – k)L_k + 1, гдеL_k + 1=b_k + 1–a_k + 1; перейти к шагу 2;

(2) еслиf(_k) ≥f(_k), то положитьa_k + 1=_k,b_k + 1=b_k,_k + 1=_kи вычислить_k + 1=a_k + 1+ (F_{n – k – 1}/F_n – k)L_k + 1.

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска:

(1) заменитьkнаk+ 1;

(2) еслиk=n– 1, перейти к шагу 3, иначе – к шагу 1.

Шаг 3. Найти аппроксимирующий минимумx^(*):

(1) положить_k=_k+;

(2) eслиf(_k) >f(_k), тоx^(*)= (_k+b_k)/2. В противном случае –x^(*)= (a_k+_k)/2.