Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Проверка правильности вычисления коэффициентов при неиз­ вестных и свободных членов канонических уравнений производит­ ся с помощью суммарной единичной эпюры моментов M s , строя­ щейся по правилу:

Если“перемножить” единичнуюэпюру M г- и эпюру M s , то получим:

то есть сумма коэффициентов при неизвестных в i -м (i = 1, 2, • • •,n)

уравнении должна быть равна 5is. Такая проверка называется по­

строчной.

Вместо “перемножения” каждой единичной эпюры моментов на сум­ марную M s на практике производится “перемножение” M s на M s .

то есть Sss равно суммевсех коэффициентов канонических урав­

нений. Эту проверку называют универсальной.

Аналогично выполняется проверка правильности вычисления

Сумма всех свободных членов уравнений равна As*.

241

Необходимо отметить, что выполнение упомянутых здесь проверок коэффициентов и свободных членов не всегда является гарантией пра­

вильных вычислений. В ходе определения 8 ^ , A* и 5ss , As* на не­

которой операции может быть допущена одна и та же ошибка и, как следствие, она окажется незамеченной. Поэтому, еще раз напомним, основой правильных расчетов на этом этапе является знание и уме­ ние правильно применять способы вычисления интегралов Мора.

Для проверки окончательной эпюры моментов используются статическая и кинематическая проверки. Статическая проверка эпюры “M ” сводится к проверке равновесия узлов рамы. С ее помо­ щью выявляются только ошибки, которые могут быть допущены при операции построения эпюры моментов с помощью формулы (8.15).

Основной проверкой является кинематическая (другие ее назва­ ния: деформационная проверка, проверка перемещений). Переме­ щение точки приложения i -й основной неизвестной по ее направ­ лению в заданной системе должно быть равно нулю. Поэтому, пользуясь общим правилом определения перемещений, получим:

M i M dx

(8.22)

В таком случае понятно, что и сумма перемещений по направле­ ниям всех основных неизвестных тоже равна нулю. Следовательно,

(8.23)

то есть результат “перемножения” суммарной единичной эпюры

M s на окончательную эпюру моментов должен быть равен нулю. Статическая проверка эпюр Q и N заключается в проверке

равновесия отсеченной от опорных закреплений части рамы.

П р и м е р. Построить эпюры M , Q и N для рамы, изобра­

женной на рис. 8.14,а.

Заданная рама является дважды статически неопределимой. Ос­ новная система и основные неизвестные показаны на рис. 8.14,б. Система канонических уравнений имеет вид:

242

811X 1 + 812X 2 + A1F = 0; [

821X 1 + 822X 2 + A2F = °.J

Эпюры изгибающих моментов в основной системе от действия X 1 = 1, X 2= 1 и внешней нагрузки показаны на рис. 8.14,в,г,е.

Определяем коэффициенты при неизвестных и свободные члены в канонических уравнениях:

Для проверки коэффициентов и свободных членов построена

243

Записываем систему уравнений в численном виде:

™X1 - ^ X 2 + 3160 = 0;

Решив эту систему уравнений, найдем:

Для построения окончательной эпюры моментов используем формулу (8.15). Эпюры M 1X 1 и M 2X 2 показаны на рис. 8.14,ж,з,

а окончательная эпюра M - на рис. 8.14,и. Статическая проверка ее выполняется (советуем читателю провести ее самостоятельно). Выполним кинематическую проверку:

Относительная погрешность вычислений составляет:

s = - 0,02 •100 * 0,01%, 140,55

что меньше допустимого значения, принимаемого равным примерно 1 %.

244

Окончание рис. 8.14

Эпюра Q (рис. 8.14,к) строится по эпюре M . Еще раз отметим, что более простой способ ее построения основывается на зависимо­

сти Q = ----- . Воспользуемся формулой (8.17). dx

246

Рассматривая стержень 2-3 как простую балку, нагруженную рав­ номерно распределенной нагрузкой, построим эпюру поперечных сил (балочную эпюру поперечных сил). Она показана на рис. 8.14,л.

Учитывая распределение моментов на этом стержне (рис. 8.14,и) с по­ мощью формулы (8.17) найдем, что в сечении, примыкающем к узлу 2:

= 27,53 кН,

а в сечении, примыкающем к узлу 3:

32,47 кН.

Эпюра Q на консоли 3-4 строится как для статически опреде­

лимого фрагмента рамы. Впрочем, и в этом случае можно восполь­ зоваться формулой (8.17), если рассмотреть участок 3-4 как балку на двух опорах (рис. 8.14,м).

Тогда в сечении, примыкающем к узлу 3:

2

а в сечении, примыкающем к узлу 4:

2

Для стержня 1-2 получим:

4,48 кН,

4,48 кН.

247

dM

Напомним, что ----- = tg a . Эпюра изгибающих моментов стро- dx

ится на растянутых волокнах стержня. Для балочных схем положи­ тельные ординаты эпюры расположены ниже оси балки. Поэтому знак поперечной силы в заданном сечении к стержня можно опре­ делять следующим образом. Проведя касательную к линии, ограни­ чивающей эпюру M , в точке, соответствующей положению сече­ ния к (рис. 8.14,н), необходимо найти точку пересечения касатель­ ной и оси стержня (точка O ).

Если ось стержня необходимо поворачивать вокруг точки O до со­ вмещения с касательной кратчайшим путем по ходу часовой стрелки, то поперечная сила в сечении к будет положительной (Q > 0). При

движении оси стержня против хода часовой стрелки Q < 0 .

На линейных участках эпюры изгибающих моментов поло­ жение касательной совпадает с линией, ограничивающей эпюру M . Поперечная сила на всей длине этого участка будет посто-

13,43

янной. Для стержня 3-5 Q = —3— = -4,48 кН, а для стержня 1-2

Q = - 18,62 - 071 = -4,48 кН. 4

При известных значениях поперечных сил в стержнях из уравне­ ний равновесия узлов определяются продольные силы N . Вычис­ ления N начинают с узла, в котором стыкуются стержни не более чем с двумя неизвестными усилиями, и далее, последовательно вы­ резая узлы, определяют усилия во всех остальных стержнях. Урав­ нения равновесия записывают в виде суммы проекций всех усилий (и приложенных к узлу внешних сил, если они имеются) на верти­ кальную и горизонтальную оси, или, при наличии наклонных стержней, если вычисления упрощаются, на оси, перпендикулярные направлениям стержней.

248

щих моментов в основной системе будут либо симметричными, ли­ бо обратносимметричными. Симметричные и обратносимметрич­ ные эпюры являются взаимно ортогональными.

Например, приняв для рамы, показанной на рис. 8.15,а, основ­ ную систему, изображенную на рис. 8.15,б, получим симметричные

эпюры M 1, M 2 , M 4 (рис. 8.15,в,г,е) и обратносимметричную M 3

(рис. 8.15,д). Следовательно, коэффициенты 5 ц , 5 ц , S23, S32,

834, 543 равны нулю.

Вычеркнув в системе уравнений (читатель должен записать их) слагаемые, включающие перечисленные коэффициенты, увидим, что она распалась на подсистему, содержащую только симметрич­ ные неизвестные и уравнение с обратносимметричной неизвестной.

X2=1 X2=1

M)

t h ©

Рис. 8.15

Несложно, очевидно, распространить приведенные рассуждения на примеры рам с большим количеством неизвестных.

2. Группировки неизвестных. Во многих случаях основные неизвестные невозможно расположить на оси симметрии. Так, для рамы, изображенной на рис. 8.16,а, число лишних связей равно

250