2. Радиоактивные превращения ядер

Основной закон радиоактивного распада

,

(2.1)

где N(t) – ожидаемое количество радиоактивных ядер к моменту времени t; N₀ – число радиоактивных ядер в момент времени t = 0; λ – постоянная распада; τ – среднее время жизни радиоактивных ядер; Т_1/2 – их период полураспада.

Активность

,

(2.2)

где N_d(t) – число ядер, которые должны испытать распад к моменту времени t; А₀ – активность в начальный момент времени t = 0. Остальные обозначения те же, что и в формуле (2.1).

Закон накопления числа радиоактивных ядер при активации

,

(2.3)

где g – среднее число радиоактивных ядер, образующихся в единицу времени (скорость активации).

Вековое равновесие

,

(2.4)

если λ₂ >> λ₁ и t >> Т_1/2. Индекс «1» относится к материнским ядрам, индекс «2» – к дочерним.

Биномиальный закон распределения вероятностей (формула Бернулли) для радиоактивного распада

(2.5)

позволяет вычислить вероятность распада за время t точно N ядер, если в начальный момент времени их было N₀. Вероятности p(t) и q(t) (см. задачу 2.1) равны соответственно

р(t) =1 – e-λt,	(2.6)
q(t) = e-λt.	(2.7)

Распределение Пуассона

,

(2.8)

где W(N) – вероятность совершения точно N случайных событий в течение некоторого промежутка времени; μ – математическое ожидание случайной величины. Распределение Пуассона можно использовать, если μ << N₀, где N₀ – возможное число случайных событий (генеральная совокупность, например, число радиоактивных ядер).

Дисперсия распределения Пуассона

D ≡ σ2 = μ,

(2.9)

или средняя квадратичная погрешность (отклонение)

σ = .

(2.10)

Распределение Гаусса или нормальное распределение

,

(2.11)

где ε = |N – μ| – отклонение случайной величины N от ее математического ожидания μ; σ – среднее квадратичное отклонение случайной величины N от ее математического ожидания μ.

Средняя квадратичная погрешность суммы или разности независимых случайных величин

,

(2.12)

где σ_i – среднее квадратичное отклонение отдельной случайной величины N_i.

Погрешность f – функции случайных аргументов х₁, х₂, … :

,

(2.13)

где – погрешность соответствующего аргумента.

Кулоновская функция V_c(r) ядра, для частицы с зарядом z :

МэВ,

(2.14)

где Z_я – атомный номер ядра, а r выражено в см.

Из (2.14) получим формулу для расчета высоты кулоновского барьера В_с в точке r = R_я, где радиус ядра находится по формуле (1.1):

, МэВ.

(2.15)

2.1. Законы радиоактивного распада Задача 2.1

Найти вероятность распада радиоактивного ядра за промежуток времени t, если известна его постоянная распада λ.

Р ешение. Пусть в момент времени t = 0 ядро достоверно существует. Тогда к моменту времени t = t´ (рис. 2.1.1) имеются две возможности:

1) ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность этого события q(t´);

2) ядро распалось и вероятность этого события равна р(t´).

Очевидно, что

q(t´) + р(t´) = 1,

(2.1.1)

т.к. третьей возможности нет.

Выясним, чему равна вероятность распада ядра за бесконечно малый промежуток времени dt´, если за предшествующее время t´ ядро не распалось. Это событие сложное (см. рис. 2.1.1). Вероятность того, что произойдут оба события будет равна

dр = q(t´)·λ·dt,

(2.1.2)

где λdt - вероятность распада за интервал времени dt. Из (2.1.1) следует, что dp(t´) = –dq(t´). Произведя эту замену в (2.1.2), получаем дифференциальное уравнение для нахождения q(t´):

dq= –q(t´)·λ·dt.

(2.1.3)

Используя очевидное начальное условие q(t = 0) = 1 найдем, что вероятность того, что ядро не испытает распад к заданному моменту времени

q(t) = e-λt,

(2.1.4)

а, в соответствии с (2.1.1), вероятность распада ядра за это же время составит

p(t) = 1 – e-λt.

(2.1.5)

Если в момент времени t = 0 имелось N₀ радиоактивных ядер, то к моменту времени t наиболее вероятное (ожидаемое) число радиоактивных ядер, не испытавших радиоактивный распад, должно быть равным

N(t) = N0·q(t) = N0e-λt,

что совпадает с (2.1). Реальное же число оставшихся ядер будет отличаться от N(t) в большую или меньшую сторону из-за случайного характера радиоактивного распада.