Задача 2.2

Показать, что среднее время жизни радиоактивных ядер τ = 1/λ, где λ – их постоянная распада.

Решение. По правилу нахождения среднего значения случайной величины

,

(2.2.1)

поскольку dp(t) – вероятность (вероятность р(t) нормирована на единицу!) того, что ядро, прожив время t, распадется между t и t + dt, а вероятность p(t) получена в предыдущей задаче (см. (2.1.4)). Выполняя в (2.2.1) интегрирование по частям, получим

.

Задача 2.3

К акая доля первоначального количества ядер ⁹⁰Sr а) останется через 10 и 100 лет; б) распадется за одни сутки; за 15 лет?

Решение. Будем предполагать, что первоначальное количество ядер настолько велико, что доли распавшихся η_а и доли оставшихся η_б ядер совпадают с вероятностями q(t) (2.1.4) и p(t) (2.1.5) соответственно, полученными в задаче 2.1. Необходимую величину постоянной распада λ = ln2/Т_1/2 определим через период полураспада, величину которого найдем в табл. 1 приложения.

а) η_а(t) = e^-λt = .

η_а(t₁) = = 0,78.

η_а(t₂) = = 0,084.

б) η_б(t) = .

η_б(t₁) = = 6,8·10^-5

η_б(t₁) = = 0,31.

Задача 2.4

В ычислить постоянную распада, среднее время жизни и период полураспада радиоактивного нуклида, активность A(t) которого уменьшается в 1,07 раза за 100 дней.

Решение. Активность по определению – среднее число распадающихся ядер в единицу времени (см. формулу (2.2)).

Число ядер, которые должны испытать распад за время t,

Nd(t) = N0 – N(t) = N0(1 – e-λt).

(2.4.1)

Дифференцируя (2.4.1) по времени, получим формулу (2.2)

А(t) = λ N0 e-λt = А0 e-λt,

(2.4.2)

где А₀ = λN₀ – активность в начальный момент времени. Таким образом,

.

Решая последнее уравнение относительно λ, получим

сут^-1.

Найти τ и Т_1/2 рекомендуется самостоятельно, используя приведенные выше формулы.

Задача 2.5

Определить возраст древних деревянных предметов, у которых удельная активность ¹⁴С составляет 3/5 удельной активности этого же нуклида в только что срубленных деревьях.

Решение. Радиоактивный углерод ¹⁴С, период полураспада которого Т_1/2 = 5730 лет, непрерывно образуется в верхних слоях атмосферы Земли из азота ¹⁴N под действием космического излучения. Благодаря ветрам и океанским течениям равновесная концентрация ¹⁴С в различных местах земного шара одинакова и равна примерно 15 распадам в минуту на каждый грамм углерода в составе живых организмов. Пока организм жив, в результате процессов обмена концентрация ¹⁴С в нем остается постоянной из-за круговорота веществ в природе. После смерти организма усвоение ¹⁴С прекращается, и его количество начинает убывать по обычному закону (2.1) радиоактивного распада, что позволяет определить дату смерти или, как говорят археологи, возраст.

Согласно (2.2) и условию задачи

,

откуда

Задача 2.6

С вежеприготовленный препарат содержит 1,4 мкг радиоактивного нуклида ²⁴Nа. Какую активность он будет иметь через сутки?

Решение. Согласно (2.2)

Задача 2.7

О пределить число радиоактивных ядер в свежеприготовленном препарате ⁸²Br, если известно, через сутки его активность стала равной 7,4·10^-9 Бк (0,4 Ки).

Решение

Из формулы (2.2) следует, что

.

Задача 2.8

Вычислить удельную активность чистого ²³⁹Pu.

Решение. Удельная активность нуклида – активность единицы массы этого нуклида:

.

(2.8.1)

Для нуклида (без учета вторичных компонент, возникающих после распада)

,

(2.8.2)

т.е. удельная активность нуклида не зависит от времени. Учитывая, что T_1/2(²³⁹Pu) = 24100 лет, получим

Задача 2.9

С колько миллиграмм β-активного ⁹⁰Sr следует добавить к 1 мг нерадиоактивного стронция, чтобы удельная активность препарата стала равной 6,8 Ки/г?

Решение.

.

(2.9.1)

Из этого уравнения

.

Удельную активность нуклида ⁹⁰Sr, период полураспада которого Т_1/2 = 28,6 лет, вычислим по формуле (2.8.2):

.

Используем полученную удельную активность нуклида ⁹⁰Sr для получения ответа:

.