Задача 1.7

Вычислить энергию связи нейтрона в ядре ¹⁴N, если известно, что энергии связи ядер ¹³N и ¹⁴N равны 94,10 и 104,66 МэВ.

Решение. Энергия связи нейтрона в ядре ¹⁴N равна

Sn(14N) = mn + Mат(13N) – Mат(14N).

(1.7.1)

Воспользуемся формулой (1.2) для выражения масс нуклидов ¹³N и ¹⁴N через энергию связи их ядер:

Mат(13N) = 7mH + (13-7)mn – ΔW(13N),	(1.7.2)
Mат(14N) = 7mH + (14-7)mn – ΔW(14N).	(1.7.3)

Подставив (1.7.2) и (1.7.3) в (1.7.1), получим, что

Sn(14N) = ΔW(14N) – ΔW(13N) = 104,66 – 94,10 = 10,56 МэВ.

Задача 1.8

Найти энергию, необходимую для разделения ядра ¹⁶О на α-частицу и ядро ¹²С, если известно, что энергии связи ядер ¹⁶О, ¹²С и ⁴Не равны 127,62; 92,16 и 28,30 МэВ.

Решение. Выкладки, аналогичные тем, которые сделаны в задаче 1.7, приводят к следующему результату:

S_α(¹⁶О) = ΔW(¹⁶О) – ΔW(⁴Не) – ΔW(¹²С) =

=127,62 – 92,16 – 28,30 = 7,16 МэВ.

Задача 1.9

О пределить энергию, выделяющуюся при образовании двух α-частиц в результате синтеза ядер ²Н и ⁶Li, если известно, что энергии связи на один нуклон в ядрах ²Н, ⁴Не и ⁶Li равны 1,11; 7,08 и 5,33 МэВ соответственно.

Решение. Запишем реакцию процесса синтеза:

2Н + 6Li → 4Не + 4Не.

По определению энергия Q, которая освобождается в этом процессе, численно равна разности масс исходной и конечной систем:

Q = Mат(2H) + Mат(6Li) – 2Mат(4He).

(1.9.1)

Используя формулу (1.2) для выражения в (1.9.1) масс атомов через их энергию связи (проделать самостоятельно), получим

Q = 2ΔW(4He) – ΔW (2H) – ΔW(6Li) = = 2·4 (4Не) – 2 (2Н) – 6 (6Li) = = 2·4·7,08 – 2·1,11 – 6·5,33 = 22, 44 МэВ.

Задача 1.10

Показать, что для ядра сферической формы с однородной плотностью электрического заряда энергия кулоновского отталкивания протонов V_с = 0,6kZ²e²/R, где Z и R – заряд и радиус ядра, k – коэффициент пропорциональности, определяемый системой единиц. В СИ k = 9∙10⁹ м/Ф, в СГС k = 1.

Решение. Однородная плотность электрического заряда ядра

.

(1.10.1)

Работа, совершаемая против сил электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиуса r с зарядом

, r ≤ R,

(1.10.2)

при перемещении заряда dq из бесконечности в точку r будет равна

dA = [φ(r) – φ∞]∙dq = φ(r) ∙dq

(1.10.3)

при условии, что φ_∞= 0. В (1.10.3) φ(r) – потенциал электрического поля, создаваемый зарядом q(r) на поверхности сферы радиуса r,

,

(1.10.4)

если использовать выражение (1.10.2).

Дифференцируя (1.10.2) по r, получим связь между изменением заряда сферы при добавлении заряда и ее радиусом:

.

(1.10.5)

Подставив (1.10.4) и (1.10.5) в (1.10.3), получим

.

(1.10.6)

Поскольку совершаемая работа увеличивает потенциальную кулоновскую энергию ядра, то dA = dV_с. Поэтому

.

(1.10.7)