2.3. Статистика регистрации ядерного излучения Задача 2.34

В результате активации образовалось N₀ = 10 радиоактивных ядер. Какова вероятность распада точно n = 5 ядер за время t = Т_1/2?

Решение. Используя биномиальный закон (2.5) и формулы (2.6) и (2.7), получим

.

З адача 2.35

Предполагается провести 2000 измерений активности препарата в течение одинаковых промежутков времени. Среднее число импульсов за время одного измерения равно 10,0. Считая время измерения малым по сравнению с периодом полураспада исследуемого радионуклида, определить число измерений, в которых следует ожидать точно 10 или 5 импульсов.

Решение. Ожидаемое число измерений, в которых может быть зафиксировано точно n_i импульсов будет равно

N (n_i) = N·W(n_i),

где W(n_i) – вероятность появления точно n_i импульсов, число которых пропорционально количеству распадающихся ядер за этот же промежуток времени.

Эта вероятность определяется с помощью биномиального закона распределения вероятностей (2.5), если известно полное число возможных событий N₀ и время t каждого измерения. Но величины N₀ и t неизвестны, и использовать формулу (2.5) не представляется возможным. Однако в случае n << N₀ и t << T_1/2 биномиальный закон распределения вероятностей (2.5) может быть представлен в виде распределения Пуассона (2.8). Тогда

N (n_i) = N ,

и

N (n₁) = 2000 76;

N (n₂) = 2000 .

Задача 2.36

С реднее значение скорости счета импульсов от исследуемого радионуклида с большим периодом полураспада составляет 100,0 имп./мин. Определить вероятность получения 105 имп./мин, а также вероятность того, что абсолютное отклонение ε₁ от среднего числа имеет значение, большее 5,0 имп./мин.

Решение. Согласно условию задачи, предполагаем, что время проведения измерений существенно меньше периода полураспада исследуемого радионуклида и для вычисления искомых вероятностей можно воспользоваться распределением Пуассона (2.8). Однако использование формулы (2.8) технически затруднительно, т.к. связано с вычислением факториалов больших чисел и возведением чисел в степени с большими показателями. Получить более удобную для вычислений форму можно, если воспользоваться утверждением центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятности, согласно которой при μ >> 1 распределение Пуассона переходит в нормальное распределение с дисперсией, равной μ:

.

(2.36.1)

Тогда

.

Очевидно, что сумма вероятностей появления любого значения скорости счета импульсов от = 0 и до равняется единице. Тогда

(2.36.2)

Используя формулу (2.36.1), вычислим

.

Таким образом,

З адача 2.37

Вычислить вероятность получения абсолютной погрешности измерения, превосходящей а) σ и б) 2σ, где σ – среднеквадратичная погрешность.

Решение. Предполагаем, что случайная величина x имеет нормальный закон распределения. Тогда искомая вероятность будет равна

.

(2.37.1)

Если в интеграле произвести замены

то получим

,

где Ф(α) – интеграл ошибок, который не выражается в элементарных функциях и значения которого можно найти в подробных таблицах. Для поставленной задачи α = 1 и α = 2 и тогда Ф(α=1) = 0,683; Ф(α=2) = 0,955, а W( >α ) = 0,317 и W( >2α ) = 0,045.