Задача 2.26

Как определяются энергии, освобождаемые при β^--распаде, β⁺‑распаде и К-захвате, если известны массы материнского и дочернего нуклидов и масса электрона.

Решение а). Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при -распаде:

Q_β^- = M(A,Z) – M(A,Z+1) – m_e.

Прибавим к правой части и вычтем Z·m_e:

Q_β^- = M(A,Z) – M(A,Z + 1) – m_e + Z·m_e - Z·m_e.

Поскольку масса атома

M_aт(A,Z) = M(A,Z) + Z·m_e – ΔW_e(A,Z),

где ΔW_e(A,Z) – энергия связи всех атомных электронов, то

Q_β^- = M_aт(A,Z) – M_aт(A,Z+1) + ΔW_e(A,Z) – ΔW_e(A,Z + 1).

Но величина |ΔW_e(A,Z) – ΔW_e(A,Z + 1)| по порядку величины равна энергии связи валентного электрона в атоме. Поэтому с хорошей точностью

Qβ- = Maт(A,Z) – Maт(A,Z + 1).

(2.26.1)

б). Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при β⁺-распаде:

Q_β⁺ = M(A,Z) – M(A,Z – 1) – m_e.

Прибавив к правой части и вычитая Z·m_e, получим, выполняя преобразования аналогичные п. а),

Qβ+ = Mат(A,Z) – Mат(A,Z – 1) – 2me.

(2.26.2)

в). Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при К-захвате:

Q_К = M(A,Z) + m_e – M(A,Z–1).

Прибавим к правой части и вычтем (Z – 1)·m_e. Выполнив преобразования, аналогичные п. а), получим

QK = Mат(A,Z) – Mат(A,Z – 1).

(2.26.3)

Задача 2.27

Зная массу дочернего нуклида и энергию β-распада Q_β, найти массу нуклида

а) ⁶Не, испытывающего β^--распад, Q_β = 3,50 МэВ;

б) ²²Na, испытывающего β⁺-распад, Q_β = 1,83 МэВ.

Решение а). Схема распада ⁶Не: .

Используя формулу (2.26.1), получим

M_aт(A,Z) = M_aт(A,Z+1) + Q_β =

= 6 + 0,015126 + 3,50/931,5 = 6,0189 а.е.м.

б) Схема распада ²²Na: .

Используя формулу (2.26.2), получим

M_aт(A,Z) = M_aт(A,Z–1) + 2m_e + Q_β ^- =

= 22 – 0,005565 + (2·0,511 + 3,50)/931,5 = 21,99944 а.е.м.

Задача 2.28

Установить, возможны ли следующие процессы:

а) β^--распад ядер ⁵¹V (–0,05602);

б) β⁺-распад ядер ³⁹Са (–0,02929);

в) К-захват для ядер ⁶³Zn (–0,06679).

В скобках указаны избытки масс нуклидов в а.е.м.

Решение. Перечисленные процессы возможны, если энергия распада Q_β > 0. Для нахождения Q_β воспользуемся результатами решения задачи 2.26.

а). По формуле (2.26.1)

Qβ- = Maт(51V) – Ma(51Cr) = 51 + Δ(51V) – 51 – Δ(51Cr) = = –0,05602 + 0,055214 < 0; нет.

б). По формуле (2.26.2)

Qβ+ = Mат(39Са) – Mат(39К) – 2me = 39 + Δ(39Са) – 39 – Δ(39К) – – 2me = -0,02929 + 0,036286 –2·5,486·10-4 = 5,89·10-3 > 0; да.

в). По формуле (2.26.3)

QK = Mат(63Zn) – Mат(63Cu) = 61 + Δ(63Zn) – 61 – Δ(63Cu) = (-0,06679 + 0,070406) > 0; да.

Задача 2.29

Ядро ³²Р испытало β-распад, в результате которого дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Определить максимальную кинетическую энергию β-частиц и соответствующую кинетическую энергию дочернего ядра.

Решение. Процесс β-распада ³²Р выглядит следующим образом:

³²Р → + ³²Si + , Q_β = 1,71 МэВ (см. табл. 1 приложения).

Высвобождаемая энергия в этом процессе представляется в следующим виде:

.

Вылету β-частиц с максимальной кинетической энергией соответствует нулевая энергии антинейтрино и для этого случая

;	(2.29.1)
,	(2.29.2)

если материнское ядро покоится. Здесь – величины импульсов дочернего ядра и β-частицы. Поскольку кинетическая энергия β-частиц сравнима с энергией массы покоя электрона (m_e = 0,511 МэВ), то кинетическая энергия β-частиц

.

(2.29.3)

Возведя в квадрат (2.29.2), имеем

.

(2.29.4)

Подставим (2.29.4) в (2.29.3). Затем полученное выражение в (2.29.1), найдем уравнение для нахождения Т_я:

.

(2.29.5)

Уравнение (2.29.5) приводится к квадратному уравнению, решение которого может быть найдено обычным способом. Однако решение имеет громоздкий вид. Воспользуемся тем обстоятельством, что Т_я << Q + m_ec², и величиной Т_я в левой части уравнения (2.29.5) можно пренебречь. Тогда

эВ.

Подставляя последовательно полученные значение Т_я в правую часть уравнения (2.29.5), из левой части этого уравнения находим более точные значение Т_я. Предлагаем читателю убедиться, что оно будет мало отличаться от полученного выше. Точное значение Т_я = 76,5 эВ.