Задача 4.7

Выразить с помощью формулы Брейта-Вигнера зависимость сечения радиационного захвата нейтрона σ_nγ от его кинетической энергии T_n, если известно сечение σ₀ данного процесса при T_n = Т₀ и значения Т₀ и Г.

Решение. Из формул (4.1) и (4.6.5) получаем формулу Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата

.

(4.7.1)

Тогда

.

(4.7.2)

Разделив (4.7.1) на (4.7.2), получим

.

(4.7.3)

Поскольку формула (4.1) Брейта-Вигнера записана для l = 0 (T_n < 10 кэВ), то можно положить Г_γ ≈ const, т. к. энергия возбуждения составного ядра

ΔW(C) = ,

а энергия связи нейтрона . Кроме того, испускание γ-кванта в этой области энергий налетающих нейтронов является преобладающим процессом распада составного ядра, поскольку выброс нейтрона сильно затруднен из-за очень малого превышения энергии возбуждения составного ядра над энергией связи нейтрона. Поэтому Г_γ >>Г_n и полная ширина уровня Г = Г_γ + Г_n ≈ Г_γ ≈ const. С учетом этого и (4.2) из (4.7.3) получим

,

поскольку

.

Задача 4.8

Выяснить с помощью формулы Брейта-Вигнера условия, при которых сечение радиационного захвата нейтронов подчиняется закону 1/v_n (см. рис. 4.1)

Решение. Исследуем формулу (4.7.1) Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата, сделав следующие три предположения:

1. Т_n << Т₀₁;

2. Г_γ ≈ const;

3. Г_γ >>Г_n и полная ширина уровня Г = Г_γ + Г_n ≈ Г_γ ≈ const.

Возможность применения последних двух предположений обсуждалась в предыдущей задаче.

Тогда

,

т.е.

.

Задача 4.9

Найти с помощью формулы (4.7.1) Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата нейтрона отношение σ_min/σ₀, где σ_min – минимальное сечение реакции (n,γ) в области T_n < T₀ (см. рис. 4.1); σ₀ – сечение этого процесса при T_n = T₀, если Г << Т₀.

Решение. Считая Г_γ ≈ const и Г ≈ const, из формулы (4.7.1) для сечения процесса радиационного захвата нейтрона получим

.

(4.9.1)

Для нахождения T_min продифференцируем формулу (4.7.1) по T_n, приняв (см. 4.2), и результат приравняем нулю. После несложных преобразований получим квадратное уравнение

.

Из этого уравнения

,

т. к. Г << Т₀. Подставив полученное значение T_min в (4.9.1), получим

.

Задача 4.10

Какова должна быть толщина d кадмиевой пластинки, чтобы параллельный пучок тепловых нейтронов при похождении через нее уменьшился в 100 раз?

Р ешение. Пусть Ф₀ – плотность потока параллельного пучка нейтронов, падающих на пластинку. По мере прохождения пластинки плотность потока нейтронов будет уменьшаться вследствие захвата их ядрами кадмия. Выделим в пластинке на глубине х слой толщиной dx. Изменение плотности потока при прохождении слоя dx равно

,

где n – концентрация ядер поглотителя нейтронов; σ_а – сечение поглощения тепловых нейтронов.

Решение этого уравнения с граничным условием Ф(х = 0) = Ф₀ имеет вид

,

(4.10.1)

где d – толщина пластинки. Из (4.10.1) получим

.

(4.10.2)

Тепловые нейтроны эффективно захватываются только ядрами ¹¹³Cd, атомное содержание которого в природном кадмии составляет 12,26%. Сечение захвата тепловых нейтронов σ_а(¹¹³Cd) = 2·10⁴ барн. Для вычисления d найдем концентрацию ядер ¹¹³Cd:

.

Окончательно

.