Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2078.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Задача 6. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как
случайную величину X, которая распределена равномерно в интерва-
С

ле между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f (х)=1/(b–а), где (b–а)–длина интервала, в котором заключены возможные значения X; вне этого интервала f (х) = 0 (см. формулу (1.57)). В рассматриваемой задаче длина интервала, в

и
котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому
	0 при - x 0;
	F(x) х/0,1 10х при	0 x 0,1;

	1 при 1 x .
сообраз
Легко	ть, что оши ка отсчета превысит 0,02, если она

будет заключена в нтервале (0,02, 0,08). По формуле (1.62) получим

Р (0,02 < x <0,08) = F(0,08)–F(0,02) = 10·0,08 – 10·0,02 = 0,6.

5А. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых появляется событие с вероятностью, равной р (0 < р < 1), и, следовательно, не появляется с вероятность q= 1– р. Как только событие А появилось, испытания прекращаются. Следовательно, если событие А появилось в к-м испытании, то в предшествующих к–1 испы-

Обозначим через Х дискретнуюДслучайную величину – число испытаний, которые произошли до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа:

таниях оно не появлялось.

х1= 1; х2=2;...

Пусть в первых к–1 испытаниях событие А не наступило, а в к-м
испытании появилось. Вероятность этого сложного события, по тео-
реме умножения вероятностей независимых событийИ,
P(X=к)=q к-1p.	(1.63)

Полагая к=l, 2, ... в формуле (1.63), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1):

p, qp, q2p,…, qк-1р,…

Поэтому распределение (1.63) называют геометрическим.

Запишем закон распределения в виде табл. 1.14.

						Таблица 1.14

хi	1	2	3	…	к		…
pi	p	qp	q2p	…	qк-1р		…

Легко проверить, что

рк

р р 1.

к 0

1 q

произойдет

Математ ческое ожидание и дисперсия случайной величины,

Симеющей геометр ческое распределение, равны

(1.64)

М(Х)=1/p, а D(X)=q/p2.

Задача 7. Из орудия производится стрельба по цели до первого

бА

попадан я. Вероятность попадания в цель

р = 0,6. Найти вероятность

того, что попадан

при третьем выстреле.

Решен е. По условию, р = 0,6; q = 0,4; к = 3. Искомая вероят-

ность по формуле (1.63)

Р(к=3) = 0,42·0,6 = 0,096.

Задача 8. Снайпер стреляет по замаскированному противнику

до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле

равна р. Найти математическое ожидание числа промахов.

Решение. Возможные значения случайной величины X – числа

промахов: 0, 1, 2,

..., к, ...

P(x к) pк (1 p).

Ряд распределения случайной величины Xприведен в табл. 1.15.

Таблица 1.15

…

1 р

р(1 р)

р2(1 р)

…

рк(1 р)

…

Полученное распределение является геометрическим [см. (1.64)]

М(Х) 1 .

6. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид

0	при x 0;
f (x)	(1.64)
e x	при x 0,

где 0 – параметр показательного закона.

Для случайной величины X , распределенной по показательному

закону, математическое ожидание равно
М Х			1	.


Нетрудно показать, что дисперсия случайной величины, распре-
деленной по показательному закону, равна
и
С D Х		1
		2

бА
Рис. 1.19. Плотность показательного	Д
	Рис. 1.20. Функция распределения
распределения	показательного закона
Для нахождения функции распределения (интегрального закона рас-
					И
					x
пределения), воспользуемся формулой F Х f (x)dx, получим

0			при x 0,
F(x)			при x 0.
1 e x

Пусть T – длительность времени безотказной работы прибора. Если прибор проработал безотказно время, меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Таким образом, функция распределения F t P T t определяет вероятность отказа за время длительностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т. е. вероятность проти-

воположного события T t равна

	R t P T 1 1 F t .
	Функцией надежности R t прибора называют функцию, опре-
деляющую вероятность безотказной работы прибора за время дли-
тельностью t:
	R t P T 1 .
	Обычно длительность времени безотказной работы прибора
имеет показательное распределение, и функция надежности принима-
ет вид
Найти		(1.65)
	R t P T 1 1 F t e t ,
Сгде – нтенс вность отказов.
	Задача 9. 80% атареек теряют заряд, проработав менее 900 ча-
сов.	вероятность того, что у батарейки закончится заряд в про-
	бА
межутке от 150 до 300 часов ра оты.
	Решен е. Пусть T – время безотказной работы батарейки, оно
подчинено показательному закону распределения. Найдем параметр
, используя формулу (1.65):		ln0,2
p T 900 R t e 900 0,2 ;lne 900 ln0,2;			0,0018.
	Тогда искомая вероятность удет равна	900
p 150 t 300 F 300 F 150 1 e 300 1 e 150
	Д
e 0,0018 150 e 0,0018 300 0,181.

Задачи для решения в аудитории

1. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределённойИпо нормальному закону. Если стандартная длина равна 90 см и среднее квадратическое отклонение равно 1,5 см, то с какой вероятностью можно гарантировать что длина изделия будет больше 93 см?

2. Поезд данного маршрута городского трамвая ждут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через 2 минуты после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за 2 мин до прихода следующего поезда?

3. Цена деления шкалы амперметра равна 0,2 А. Показания амперметра определяют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка,

превышающая 0,03А.

4. Плотность автомобильного бензина марки АИ-95 является СВ X и подчинена нормальному закону с параметрами а =750кг/м3;

σ = 25 кг/м3 при 15 оС. Найти вероятность того, что плотность бензина попадает в интервал от 745 до 765 кг/м3.

С5. Известно, что вам могут позвонить в любой момент времени

между 11 и 13 часами. Какова вероятность того, что звонка придется ждать не более 15 м нут? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вел ч ны Х– времени ожидания звонка.

Найти6. реднее время ремонта сложной техники в сервисном центре равно 16 дням. вероятность того, что: а) на ремонт планшета

потребуется не менее 10 дней; ) на ремонт телефона потребуется от

17 до 20 дней.

задается формулой P(t) 1 e t ( 0). Определить математическое ожидан е случайной величины Т– времени поиска затонувшего

судна.

7. ВероятностьбАо наружения затонувшего судна за время поиска

8. Случайная величина X имеет биномиальный закон распреде-

ления с числовыми характеристиками а 6, 2 2,4. Определить ве-

роятность попадания случайной величины X на отрезок 3,5; 5,5 .

9. Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных.

Найти закон распределения случайнойДвеличины Y – числа годных

деталей из пяти, выбранных наудачу. Определить числовые характе-

ристики этого закона а и 2.

10.Число атак истребителей, которым может подвергнуться бомбардировщик над территорией противника, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием а 3. Каждая атака с вероятностью 0,4 заканчивается поражением бомбардировщика. Определить: а) вероятность поражения бомбардировщика; б) ту же вероятность, если число атак истребителей – неслучайная величина и в точности равна трем.

11.Монету бросают до первого появления герба. Найти среднее число бросаний.

12.Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания амперметра определяют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Указание. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х , которая равномерно распределена в ин-И

тервале между двумя соседними целыми делениями.
	13.	Нагрузка на стержень подчиняется нормальному закону рас-
пределения			с числовыми	характеристиками		a 5		Н, 0,05 H .
Усилие,		разрушающее стержень, составляет 5,08 H.						Найти вероят-
ность разрушения стержня.
С
	14.	танок-автомат изготовляет валики, контролируя их диаметр
Х .	читая, что Х распределен нормально, a 10						мм, 0,1 мм,
найти нтервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены
диаметры			зготовленных валиков.
дисперс
	15.	Вероятность взять деталь в пределах допуска из большой
партии деталей равна P 0,85. Найти математическое ожидание и
наудачу.		ю ч сла деталей в пределах допуска из 8					деталей, взятых

	16.	Случайная величина Х распределена по нормальному зако-
ну	с	математ ческ м		ожиданием	M X 40		и		дисперсией
D X 200. Выч сл ть вероятность попадания случайной величины
в интервал 30; 80 .
	17.	Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от
стандарта является случайной величиной, распределенной по нор-
мальному закону. Если стандартная длина равна							40 см		и среднее
квадратичное отклонение равно 0,4 см,					то какую точность длины из-
делие можно гарантировать с вероятностью 0,8?
	18.	ЧислобАчастиц, излученных радиоактивным элементом в те-
чение произвольного промежутка времени, имеет распределение Пу-
ассона с параметром а 1,5 1/с. Найти вероятность того, что число
					И
частиц, излученных за две секунды, будет заключено в отрезке 2; 4 .
	19.	Дистанция Х между двумяДсоседними самолетами в строю
имеет показательное распределение, причем mx						100		м.	Опасность

столкновения самолетов возникает при уменьшении дистанции до 20 м. Найти вероятность того, что возникает опасность столкновения самолетов в воздухе.

20.Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону со средним временем до первого отказа 50 часов. Найти вероятность того, что элемент проработал 100 часов.

21.Непрерывная случайная величина Х распределена по показа-

тельному закону f (x) 5e 5t (x 0). Найти вероятность того, что в результате испытания Х будет заключено в отрезке 0,4;1 .

Ответы

1. 0,023. 2. 0,2. 3. 0,7. 4. 0,305. 5. 0,125; 12; 1/3. 6. а) 0,535;

б) 0,059. 7. М Т		1	. 8. P 0,312.			9. М Y 4,5; D Y 0,45.
б) 0,059. 7. М Т			. 8. P 0,312.			9. М Y 4,5; D Y 0,45.
С						2. 12.	P 0,6. 13. P 0,055.
10. а) P 0,699; б) P 0,784. 11. m0						2. 12.	P 0,6. 13. P 0,055.
14. 9,7; 10,3 . 15.	M X 6,8; D X 1,02 . 16.							P 0,758. 17. 39,5; 40,5 .
18. P 0,616. 19.	P 0,181. 20. Р=0,14. 21. Р=0,13.
велич
	§8. С стемы случайных величин
Функц ей с стемы двух случайных величин (x,y) называется
функц я F(x,y) P(X x,Y y).
бА
Плотностью распределения системы непрерывных случайных
н называется функция, определенная следующим образом:
			f (x,y)			2F(x,y)
						x y
Плотность распределения случайных величин (x, y) неотрица-
тельна и обладает свойством

				f (x,y)dxdy 1.

Функция распределения F(x, y) выражается через плотность рас-
пределения формулой						y
					x	y
			F(x, y)			f (x,y)dxdy.
								И
								И
Вероятность попадания случайной величины (x, y) в область D
вычисляется по формуле					Д
			P((x,y) D) f (x,y)dxdy.
						D
Плотности распределения вероятностей случайных величин,
входящих в систему, равны
						f2(y)
f1(x) f (x,y)dy,						f2(y)	f (x, y)dx.

Случайные величины x, y называются независимыми, если f (x, y) f1(x) f2(y).

Система двух дискретных случайных величин может быть задана таблицей, в которой приведены пары значений случайных величин и соответствующие им вероятности (табл. 1.16).

Таблица 1.16

…

P11

P21

P31

P41

…

Pn1

P12

P22

P32

P42

…

Pn2

P43

…

Pn3

P13

P23

P33

…

P1m

P2m

P3m

P4m

…

Pnm

бАj j ij

Здесь Pij – вероятность со ытия, заключающегося в одновре-

менном выполнен

равенств X xi,Y yi .

При этом Pij

i 1j 1

Законы распределения случайных величин, входящих в систему,

определяются следующим о разом:

Pi P(X xi) Pij;

j 1

q P(Y y ) P .

i 1

если

Дискретные случайные величины называются независимыми,

Pij P(X xi) P(Y yi).

Многие

важные

характеристикиДпары случайных величин

(x, y)достаточно просто выражаются через начальные ks и цен-

тральные ks моменты системы случайных величин, которые находятся по формулам

ks M Х	k	Y	k	k	s
				, ks M X М(ХИ) Y М(Y) .

Для дискретных случайных величин

ks (xi mx )k (yj mj )s рij ,

i1 j 1

ks xik ysj рij . i 1 j 1

10 M Х1Y0 M X mx;01 M X0Y1 M Y my;

Для непрерывных случайных величин


ks			xk ys f (x, y)dxdy;

ks (x mx )k (y my )s f (x, y)dxdy.

С20 M (X mx)2(Y my)0 D X ;02 M (X mx)0(Y my)2 D Y .

чинТак, напр мер, степень линейной зависимости случайных велихарактер зует корреляционный момент:

Точка (mx ,my ) называется центром рассеивания системы слу-

чайных вел ч н (x, y).

M11 Kxy M (x mx )(y my ) . Для непрерывных случайных величин он равен:

Кxy
Кxy		(x mx )(y my ) f (x,y)dxdy.

Так как kxy имеет размерность xy, то при изменении единицы

масштаба его значение будет подвергаться изменению.
		ЧтобыбАизбежать этого, введем коэффициент корреляции
		xy	Kxy		( 1 xy 1).
				x	y
				x	y
		Если случайные величины, входящие в систему, независимы, то
	xy	0. В общем случае из равенстваД0 не следует независи-
	xy				xy

И1, a 0; мость случайных величин X, Y. Если Y a X b, то xy

1, a 0 . Задача 1. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике 1 с №1, 2 шара с №2, 3 шара с №3; во втором ящике 2 шара с №1, 3 шара с №2 и 1 шар с №3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y,

коэффициент корреляции.

Решение.

									Таблица 1.17

					X
С		1		2		3					qj
	Y	1		2		3					qj
	1	1		1		1	6				1
		18		9			6				3
	2	1		1		1	4				1
		12		6			4				2
	3	1		1		1	6	3			1
Вероятности				18			6	3		18
		30		18		12				6
	рi	1		1		1	2				–
	рi	6		3			2
		Рij вычисляются следующим образом:
	бА
		11	P(X 1,		Y 1)		1	1		1		,

т. к. шаров в первом ящ ке всего 6, а с номером 1 ровно один шар. Во втором ящ ке 2 шара с номером один, а всего 6 шаров. Эти события происходят одновременно, следовательно, их вероятности перемно-

жают.
Аналогично		1	1	1
р22	Р(Х 2,Y 2)	1	1	1	.
р22	Р(Х 2,Y 2)				.
	Д
		3	2	6

По табл. 1.17 распределения вероятностей системы случайных величин (X,Y) можно составить законы распределения случайных величин, входящих в систему. Распределение случайной величины для Х получаем, складывая числа в вертикальных столбцах, а для Y – в горизонтальных строках

M Х 1 1 2 1 3 1 21;


	6					3						2								3
M Y 1			1		2			1		3				1		1			5		;
M Y 1					2					3						1					;
	3					2						6						6
D X M (X mx)											2									2			2
D X M (X mx)												MИX mx ;
D X 1		1		4			1		9				1		(2							1	)2		5	;
D X 1				4					9						(2								)2			;
	6					3						2								3			9
1	1										1	5						2					17
D(Y) 1	4					9						(1					)							;
D(Y) 1	4					9					6	(1					)							;
3	2										6	6											36

M XY xi yj pij 1 1 1												2 1 1 3 1 1
			n m
			i 1 j 1						18					9						6
1 2	1	2 2					1	3 2	1	1 3				1	2 3						1		3 3			1		77	;
1 2		2 2						3 2		1 3				36	2 3								3 3					18	;
12						6			4					36						18				12				18
С												5				1			5			77			77
Kxy				M(XY) mxmy 4							18		2					1	6								0;
xy				Kxy		0.
			x y
вию
Такой результат меет место, так как Х и Y независимы по усло-
.
Задача 2. С стема случайных величин (X,Y)																								подчинена закону
распределен я с плотностью
области
f (x, y)			a(x		y) в о						D;
f (x, y)				0				вне этой									.
																			прямыми x 0,											x 3,
Область			D –		квадрат,				ограниченный										прямыми x 0,											x 3,
y 0, y 3.						А
y 0, y 3.

Требуется:
1) определить коэффициент а;
2)	вычислить вероятность попадания случайной точки (X,Y) в
квадрат Q, ограниченный прямыми x 1,																	x 2, y 1,				y 2;
3)	найти математические ожидания mx и my ;
4)	найти средние квадратические отклонения x, y .
Решение.
1)	Коэффициент а находим из уравнения
						33												И
						a (x y)dxdyД1, откуда
						00
	33							3				y2			3		3		9
	33							3				y2			3		3		9
	a (x,y)dxdy a xy															0dx a (3x					)dx
	a (x,y)dxdy a xy															0dx a (3x					)dx
	00						3	0					2				0		2
	00							0					2				0		2
	3		2		9				27				27										1
	3		2		9				27				27										1
	a	x				x		a(						)		27a,27a			1,a					.
	a	x				x		a(						)		27a,27a			1,a					.
	2				2		0		2				2				1 2			y2		2	27
	2				2		0		2				2										27
2)						1 2 2
2)				Q				(x		y)dxdy								xy					dx
	P (x, y)			Q		27		(x		y)dxdy								xy	2				dx
						27		0 0									27 0		2			1
											82						27 0					1
											82

1					2																				1										1					2						3										1 x2											3				2
																																																																							2

							(2x 2 x																				)dx														(x							dx)																					x
		27 1					(2x 2 x																				)dx							27 1							(x							dx)																					x
																									2																					2									27										2 2						1
																																																																	2 2						1
	1			(2 3							1								3				)						1		.
				(2 3																			)								.
27										2								2										9
3) Найдём математические ожидания mx																																															и my :
							1 33																																1 3							2						xy2										3
							1 33																																1 3							2						xy2										3
mx									x(x							y)dxdy																											x					y																	dx
mx									x(x							y)dxdy																						27					x					y					2												dx
							2700																															27					0										2									0
и																																											0								3											0
и
1						3		2				9																				1								2					9			2										1										81 7
С(3x																x)dx																				x										x																	(27							)			.
С(3x																x)dx																				x										x																	(27							)			.
27						0						2																27																	4						0						27											4				4
							бА
ледовательно,																									my										7		.
																																			4
4) Наход м средн																												е квадратические отклонения x и y :
2																		2																											1 33												7					2
x								(x mx )																f (x, y)dxdy																					27			(x									4			)						(x y)dxdy
							D																																						27			00									4
1 33										7					2													7												7												1 33													7			3
								(x					)				(x														y												)dxdy												(x												)		dydx
								(x					)				(x											4			y									4			)dxdy												(x												)		dydx
27						00				4																		4												4									27						00										4
																																									Д
1 33										7				2														7															1			3							7			2										3
								(x				)					(y													)dydx																		(x						)					y							dx
27						00				4																		4															27 0										4													0
1								3		7																		7								3									1			(x					7		)		4
																	2																2			3												(x					4		)						3
																	2																2																				4								3
								(x							)						(y											)						dx																							0
								(x							)						(y											)						dx																							0
			27 20									4																4								0								3	9				4												И
																																																													И

1								1		(x					7							3						361										49										11
																				)					(																	)								.
																				)					(																	)								.
			27 2					3							4													16							16									0				16
			27 2					3							4													16							16									0				16
Итак, x										y																11				.
Итак, x										y															4					.
																									4
Задача 3. Дана плотность распределения вероятностей системы
случайных величин (X,Y):
f (x,y) 0,5sin(x y),(0 x																																															,0 y																	).
f (x,y) 0,5sin(x y),(0 x																																															,0 y																	).
																																													2													2

Определить функцию совместного распределения системы (X,Y).

Решение. Определим функцию F(x, y), рассматривая области

D1,D2,D3,D4,D5,D6,D7.

D1,D2,D3 :F(x,y) 0.

D4 :F(x,y)		x	y			x y
D4 :F(x,y)			f (x,y)dxdy			0,5sin(x y)dxdy
С						00
						00
0,5 (sinx sin y sin(x y)).
			y					y
		x
D5 : F(x, y)		x				2
D5 : F(x, y)				f (x, y)dxdy dx 0,5sin(x y)dy
и						0		0
						0		0
0,5 (1 sin y cos y).
		y
	x	y			2		x
бы
D6 :F(x,y)			f (x,y)dxdy dy					0,5sin(x y)dx
					0	0

0,5 (1 sinx cosx). D7 : F(x, y) 1,

т. к. какую	точку (х, у) этой о ласти ни взяли, возможные значения
случайных величин (Х, Y)			удут меньше F(x, y) P(X x,Y y) 1.
Таким образом				(x, y) D1,D2,D3;
		0,		(x, y) D1,D2,D3;
			Д
		0,5 (sinx	Д
		0,5 (sinx	sin y sin(x y)),	(x, y) D4;
F(x,y)		0,5 (1Аsin y cos y), (x, y) D ;
				5
		0,5 (1 sinx cosx),		(x, y) D ;
				6
				(x, y) D7.
		1,		(x, y) D7.
				И
		Задачи для решения в аудитории

1. Совместное распределение случайных величин Х, Y задано табл. 1.18. Найти ряды распределения для Х и Y. Будут ли независимы Х и Y ?

			Таблица 1.18

		X
Y	-1	0		1
-1	0,1	0,3		0,2
1	0,06	0,18		0,16

2. Система случайных величин (Х, Y) подчинена закону распределения с плотностью:

a(y xy) в области D;
f (x,y)	вне этойобласти.
0

С			, 0 y 1.
Область D определяется неравенствами: 0 x 1
Найти:
1)	коэффициент а;
2)	математ ческ е ожидания mx и my ;
задачи		x,	y ;
3)	средн е квадратические отклонения
4)	вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямо-
угольн к Q, огран ченный прямыми x 0,7;x 3; y 0; y 0,3;

5)корреляц онный моментКxy и коэффициент корреляции xy . 3. Определ ть функцию совместного распределения системы

(X,Y)	з услов	я	2.
4. Дана		.1.19, определяющая закон распределения двух слу-
чайных вел ч н (Х, Y):
							Таблица 19
	табл
						у
		x		20		40	60
		10		16		12	8
				А
Найти:		20		28 11 25
Найти:
1)	коэффициент ;
2)	математические ожидания mx						и my ;
3)	дисперсии D(X),D(Y).				Д
5. Дана плотность распределения вероятностей системы случай-
ных величин, задаваемая функцией
		f		a xy		в области D;
		f	(x,y)			вне этойобласти.
				0		вне этойобласти.
								И
Область D определяется неравенствами: x 0, y 0, x y 1.
Найти:
1)	коэффициент а;
2)	математические ожидания mx						и my ;
3)	дисперсии D(X),D(Y);

4) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область Q, ограниченную неравенствами x 0,5; y 1;

5) коэффициент корреляции xy .

6. Независимые случайные величины Х, Y подчинены следую-

С
щим законам распределения:				3x
		f1(x)	3e				,	прих 0,
		f1(x)					,	прих 0,
			0				,	прих 0,
					4y			при y 0,
			4е					при y 0,
		f2(y)						при y 1.
Нап сать:			0					при y 1.
Нап сать:
1) выражен е для функции плотности распределения системы
	бА2
двух случайных вел ч н (Х, Y);
2) выражен е для функции распределения системы двух слу-
чайныхивел ч н (Х, Y).
7. Совместное распределение случайных величин Х, Y задано
табл. 1.20.							Таблица 1.20
							Таблица 1.20
								Y
		X	1				1,5		2
		1	1			Д
		1	1				1	24	1
			12					24	24
			1				1	24	1
			12					24	24
		2,5	1				1	6	1
			3					6	6

Найти ряды распределения для Х и Y. Установить, зависимы ли компоненты Х и Y.

8. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна р1, при втором –

р2 . Построить таблицу распределения системы двух случайных вели-
чин (Х,Y), где Х – число попаданий при первом выстреле; Y – число
попаданий при втором выстреле.	И

9.Найти функцию распределения системы (Х, Y) из условия за-

дачи 8.

10.Независимые случайные величины Х и Y подчинены законам распределения:

f (x)

e x2 ;

при y 0;

при 0 y 1;

2(y) 1

при y 1.

Написать выражение для функции распределения системы двух

случайных вел ч н.

11. Дана функц я распределения системы двух случайных вели-

зависимы

чин (Х, Y):

при x 0,

y 0;

F(x, y)

1 e x e y e x yпри x 0, y 0.

бА

Найти плотность распределения вероятностей системы (Х, Y).

Вычисл ть ч словые характеристики M(Х),M(Y).

12. Определ ть,

ли случайные величины, из условия

задачи 8.11. Найти для них числовые характеристики D(X),D(Y).

13. С стема случайных величин (Х, Y) имеет плотность

f (x,y) 2(16 x2)(25 y2) .

Определить величину .

Найти

функцию

распределения

F(X,Y), M(X), M(Y). Определить вероятность попадания случайной

точки (Х, Y) в область, заданную неравенствами 0 x 4,

0 y 5.

14. Система двух случайных величин (Х, Y) подчинена закону

равномерной плотности внутри прямоугольника:

a x a, в y в, (в a).

Найти плотность распределения вероятности и вероятность по-

падания случайной точки (Х, Y) в квадрат со стороной a

, если центр

этого квадрата совпадает с началом координат.

15. Плотность распределения вероятностей системы двух неза-

висимых случайных величин (Х, Y) задана выражением

(y 6)2

f (x, y) Ce

Найти неизвестный параметр С и определить корреляционный момент.

16. Случайные величины Х и Y независимы, и их плотности распределения вероятностей соответственно равны

при

при y 0;

(x)

при

x 2;

(y)

при y 0.

e y

Определить функцию распределения системы случайных вели-

чин Х, Y. Найти числовые характеристики системы случайных вели-

чин (Х, Y).

17. Закон распределения системы двух случайных величин (Х,Y)

задан табл. 1.21.

Таблица 1.21

-1

0,10

0,15

0,25

бА

0,20

0,15

Найти

следующ е характеристики системы (Х, Y):

M(Х),M(Y),D(X),D(Y),Rxy.

18. Функция совместного распределения случайных величин Х и

Y задана выражением

при x 0, или y 0;

F(x, y)

при x 0,

y 0.

(1 e x )(1 e 2y )

Определить, зависимы ли случайные величины Х и

Y. Найти

плотность распределения вероятностей системы (Х, Y).

19. Случайная точка (Х, Y) имеет равномерное распределение

внутри

прямоугольника,

ограниченного

прямыми:

x 0,x 4, y 0, y 6.

Иxy

Найти функцию распределения

F(x, y) системы случайных ве-

личин (Х,Y).

20. Система двух случайных величин (Х,Y) имеет плотность рас-

пределения вероятностей f (x,y) 1 e x2 y2 . Найти следующие числовые характеристики системы: M(Х),M(Y),D(X),D(Y), К .

Ответы

Х	-1	0	1		Y	-1	1
Р	0,16	0,48	0,36		P	0,6	0,4
				88

2. 1) а 4; 2) m

; 3)

;

4) Р = 0,0081; 5) Кxy = xy =0.

х 0, y 0

илиx 0, y 0

илиx 0, y 0;

2 x ,

(x, y) D;

x y

0 y 1,x 1;

F(x, y) y2,

x (2 x),

0 x 1, y 1;

x 1, y 1.

0,01;

2)mx 16,4иmy

37,8;

3)D(X) 23,04

D(Y) 303,16.

5. 1) а 24; 2) m 2

; 3)

D(X) 1

, D(Y) 1

;

бА

12е 3x 4y ,

x 0, y 0,

f (x,y)

6.и1)

x 0, y 0;

1 е 3x 1 е 4y ,

x 0, y 0,

2) F(x,y)

хi

2,5

x 0, y 0.

1,5

Независимы.

0,5

0,25

Величины

, где q 1 p

, q

1 p

q1q2

p1q2

q1p2

p1p2

при

x 0

или y 0;

при

0 x 1,

0 y 1;

q1q2

при

x 1,

0 y 1;

9.F(x, y) q2

0 x 1,

y 1;

при

x 1, y 1.

при y 0,

2 x

10. F(x, y)

Ф(х)

где Ф(x)

при 0 y 1,

Ф(х)

при y 1,

x y

при х 0

и y 0,

11. а) нет; б)

f (x, y)

при

x 0

или

y 0;

при

Св) M Х

, M Y

12.

D X

, D Y

13.

а) A 20;

f (x, y)

; M X M Y 0;P 1/16.

arctg

16. F(x,y) бА1 e при 2 x 2 и y 0,

или

в,

14. f (x,y)

при a x a

и в y в;

16в

4aв

15. С

;

5 2

при x 2

или y 0,

x 2

1 e y

при x 2

y 0;

M X 0; M Y 1; D X 1,33; D Y 1;rxy 0.

17.

M X 0,10; M Y 0,55; D XД0,59; D Y 0,2475; r 0,144.

x 2y

при x 0

и y 0,

18.

Нет;

f (x,y)

при x 0

P 0,208 10 3.

или y 0;

	0			при x 0 или y 0,
	xy
				при 0 x 4,	0 y 6,
				при 0 x 4,	0 y 6,
	24
		х
		х
19. F(x,y)				при 0 x 4,	y 6,
19. F(x,y)		4		при 0 x 4,	y 6,
		4
	y			приx 4, 0 y 6,

		6
		6		при x 4, y 6.
	1			при x 4, y 6.

20. M X M Y 0; D X D Y 0,5 ; Kxy						0.
С
			Вопросы упражнения для самопроверки
1.	Сформул ровать основные понятия теории вероятностей.
2.	Дать определен			я вероятности (классическое, статистическое,
и
геометр	ческое).
3.	Сформул ровать основные понятия элементов комбинатори-
ки.
4.	Какие действия над со ытиями вы знаете?
5.	Сформулировать теорему сложения вероятностей для несо-
вместных событий.
6.Как определяется условная вероятность? Сформулировать ос-
новные теоремы умножения вероятностей.
7.	бА
7.	Сформулировать теорему о вероятности появления хотя бы
одного события.
8.	Какие теоремы сложения вероятностей вы знаете?
9.	Сформулировать основные следствия теорем сложения и ум-
ножения вероятностей (формулуДполной вероятности и формулу Бай-
еса).
10. Вывести формулу Бернулли.
11. Вывести формулу для нахождения наивероятнейшего числа
наступления события.						И
						И

12. Вывести формулу Пуассона.

13. Сформулировать локальную и интегральную теоремы Муав- ра–Лапласа.

14. Какие вы знаете дискретные случайные величины и способы их задания?

15. Сформулировать законы распределения дискретной случай-

ной величины.

16. Дайте определение числовых характеристик дискретной случайной величины.

17. Дайте определение непрерывной случайной величины и спо-

собов ее задания.
С
18.	Дайте определение числовых характеристик непрерывной
случайной величины.
19.	формул ровать равномерный закон распределения случай-
ной вел ч ны.
и
20.	формул ровать показательный закон распределения слу-
чайной вел ч ны.
21.	формул ровать нормальный закон распределения случай-
ной вел ч ны.
22.	бА
	Как е свойства случайной величины, распределенной по

нормальному закону, вы знаете?

Контрольная ра ота по разделу «Элементы теории вероятности» Вариант 1

1.Из двух полуфинальных групп, каждая из которых содержит по 6 команд, в финал выходит по одной команде. Сколько может быть различных вариантов участников финального матча?

2.Монета подбрасывается 3 раза. События: О – {выпал “орел”};

Р– {выпала “решка”}. Записать пространство элементарных исходов и события: А – {“орел” выпал ровно 1 раз}; B – {“решка” не выпала ни разу}; С – {“орлов” выпало больше, чем “решек”}; D – {“орел” выпал не менее двух раз подряд}.

3.Имеется 8 билетов в театр, из которых 3 на места в первом ряду. Найти вероятность того, что: а) произвольно взятые 3 билета на первый ряд; б) из четырех взятых билетов нет ни одного на первый ряд; в) из четырех взятых билетов хотя бы один на первый ряд.

4.В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую не глядя перекладывают 2 шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

5.Вероятность выиграть заезд для мотоциклиста – 0,7. Мото-

циклист участвует в десяти заездах и выходит в следующий тур, если побеждает хотя бы в восьми заездах. Найти вероятность того, что мо-И

тоциклист пройдет в следующий тур.

6. Случайная величина Х принимает значение, равное числу дам, которые появляются, если из колоды в 36 карт произвольно вытаскиваются 4 карты. Построить: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию распределения; г) найти M(X), D(X).

7. Непрерывная случайная величина задана своей функцией рас-

0,x 0;

пределен я F(x)= x3,0 x 1; .

1,x 1.

Найти:
С			D(X);
а) плотность вероятности f(x); б) M(X) и
в) вероятность Р (–2 < x <1/2). Построить графики F(x) и f(x).
8. Рост взрослой женщины		является	случайной величиной,
распределенной по нормальному		закону с параметрами a=164 см;
функцию=5,5 см. Зап сать	плотности вероятности; найти вероят-
ность того, что 3 наугад вы ранные женщины имеют рост ниже чем
160 см.
Вариант 2

1.	Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
1,2,3,4,5,6,7, если никакая из цифр при составлении числа не должна
	Д
использоваться более одного раза?
2.	ИгральнаябАкость подбрасывается 2 раза. События: A1– {на

первой кости 1 или 2 очка}; B1– {на второй кости 1 или 2 очка}; A2– {на первой кости 3 или 4 очка}; B2– {на второй кости 3 или 4 очка};

A3– {на первой кости 5 или 6 очков}; B3– {Ина второй кости 5 или 6 очков}. Описать события: C– {на обеих костях не менее трех очков}; D– {сумма очков на обеих костях не менее шести}; E – {хотя бы на

одной кости более пяти очков}.Что означают события: A1 B1, CE,

C D?

3. На книжной полке 10 книг, из которых 4 книги одного автора. Найти вероятность того, что: а) все 4 книги этого автора стоят рядом; б) из выбранных наугад четырех книг нет книг этого автора.

4. В цехе работают 30 станков. Из них 10 станков марки А, 15 станков марки В и 5 марки С. Вероятность того, что выпускаемая деталь отличного качества для этих станков: А – 0,8; В – 0,9; С – 0,7. Сколько процентов отличных деталей выпускает цех в целом?

5. Из пятидесяти вопросов студент знает ответы на 30 вопросов. Экзамен сдан, если студент ответит хотя бы на 2 вопроса из трех. Найти вероятность того, что студент сдал экзамен.

6. лучайная величина Х принимает значения, равные числу окрашенных деталей среди трех отобранных, если в ящике 10 деталей и 6 среди них окрашены. Найти закон распределения, функцию распре-

деления, М(X), D(X).

7. Некоторая случайная величина задана своей функцией плот-

	0,x 0;

акции
ности вероятности f x ax2 6,0 x 24;.
С	0, x 2.

Найти:

нормальногобАзакона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. средн м квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции не выше 15, 3 ден.ед; не ниже

а) не звестный параметр а;

б) функц ю F(x); в) M(X), D(X). Построить графики f(x), F(x).

8. Текущая цена может быть смоделирована с помощью

15,4 ден. ед.

Вариант 3

1. В книге из 20 страниц наДкаких-либо трех страницах надо поместить по одной иллюстрации. Сколькими способами это можно сделать?

2. Обозначим события: – {из колоды карт вынута карта “чер-

ви”}; В – {из колоды карт вынута карта “буби”}; С – {из колоды карт

3.Подбрасывается 6 игральных костейИ. Найти вероятности событий: А – {на всех костях разное число очков}; В – {сумма выпавших очков на всех костях равна 6}; С – {хотя бы на одной кости вы-

пала “6”}.

4.В урне лежит шар с равной вероятностью белого или черного цвета. В урну опускают один белый шар и после перемешивания наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что в урне остался белый шар.

5. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью Р=5. 10-4. Найти вероятность того, что за время Т откажет: а) хотя бы один элемент; б) ровно один элемент.

6. трелок попадает в “яблочко” при одном выстреле с вероятностью 1/4 независимо от предыдущих выстрелов. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найти: а) закон распределения случайной величины Х – ч сла попадан й в “яблочко”; б) функцию распределения; в) М(X), D(X); г) вероятность Р того, что стрелок попал в “яблочко” бо-

лее	трех раз.
	7. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величи-
С
		0, x 0;
ны X	f x
ны X	f x	a (2x x2), 0 x 4;
		0, x 4.

Найти бА: ) не звестный параметр а; б) функцию распределения

F(x); в) M(X), D(X); г) P(2 x 3). Построить графики f(x), F(x).

8. Пусть д аметр изготавливаемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a=4,5 см и =0,05 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятой наугад детали отличается от математического ожидания

не более чем на 1 мм; б) первые две наугад взятые детали имеют диа-
метры от 4,45 до 4,55 см.	Д

Вариант 4

1.Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка шести ученикам таким образом, что каждый ученик получил не более одного подарка?

2.Студент сдает экзамены по математике и сопромату (каждый

не более двух раз). События: A1 – {получилИ“неуд.” по математике};

B1 –{получил “неуд.” по сопромату}; A2 – {получил “уд.” по матема-

тике}; B2 – {получил “уд.” по сопромату}; A3 – {получил “хор.” по математике}; B3 – {получил “хор.” по сопромату}; A4 – {получил

“отл.” по математике}; B4 – {получил “отл.” по сопромату}. Записать пространство элементарных исходов и события: C – {оба экзамена сданы со второго раза}; D – {сдан хотя бы один экзамен}; E– {сданы оба экзамена, причем один из них на “хор.”}; F – {математика сдана

на “отл.”, а сопромат – со второго раза на положительную оценку}. 3. В урне находятся 5 белых и 7 черных шаров. Из урны извле-

кают 2 шара. Что более вероятно: что шары одного цвета или разных цветов?

4. реди населения 34% имеют I группу крови, 36% – II группу, 22% – III и 8% – IV. Человеку, имеющему IV группу крови, можно перелить кровь любой другой группы, человеку со II или III группой можно перел ть кровь той же или I группы, а человеку с I группой – кровь только I группы. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перел ть кровь случайного донора.

5.	Два равнос льных шахматиста играют матч из n партий. Вы-
С
игравш	м сч тается тот, кто по едит в большем числе партий. В ка-

ком матче больше шансов выиграть любому из участников: в матче из 8 или з 12 результат вных партий?

ности вероятности этой случайной величины и найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами от 15,75 до 16,3 км.

6.			ется 3 игральные кости. Х – случайная величина,
которая пр		мает		: –1, если на всех костях одинаковое чис-
значения
ло очков; 0, – если на костях разное число очков; 1 – в остальных слу-
чаях. Найти:		а)	закон	распределения; б) M(X); D(X). Построить:
а) многоугольник распределения;						) F(x).
7. Непрерывная случайная величина X задана функцией плотно-
	Подбрасыва
сти вероятности				0, x 1;
				0, x 1;
					a
			f (x)		a		, 1 x 1;
			f (x)				, 1 x 1;

			А2
				1 x
				0, x 1.

Найти: а) неизвестный параметр а; б) функцию распределения
F(x); в) M(X), D(X); г) построить графики функций f(x) и F(x).
8. Результаты измерения расстоянияДмежду двумя населенными
пунктами подчинены нормальному закону распределения с парамет-
рами а=16 км		и	=100 м. Записать функции распределения и плот-
							И

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.9 Mб212072.pdf
#
07.01.20212.9 Mб362073.pdf
#
07.01.20212.9 Mб232074.pdf
#
07.01.20212.91 Mб542075.pdf
#
07.01.20212.92 Mб132076.pdf
#
07.01.20212.92 Mб602078.pdf
#
07.01.20212.93 Mб232079.pdf
#
07.01.2021348.55 Кб17208.pdf
#
07.01.20212.95 Mб422080.pdf
#
07.01.20212.95 Mб22081.pdf
#
07.01.20212.96 Mб142082.pdf