цифрами. Замок открывается только в том случае, если диски уста-

новлены так, что ц фры дисков образуют определенное четырехзнач-

ное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке

С

дисков замок можно удет открыть.

21. Л фт в пят этажном доме отправляется с тремя пассажира-

ми. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более

одного пассаж ра,

предполагая, что все возможные способы распре-

пассаж ров по этажам равновероятны.

деления

Ответы

1. 0,36. 2. 0,0008. 3. 0,1998. 4. а) P 0,05(5); б) P 0,5.

5. P 0,5. 6. P 0,4. 7. P 0,0028 . 8. P 0,692. 9. P(B) P(A).

10.

P 0,0014 . 11. а) P 0,05(5);

б)

P 0,5. 12. P 0,00036 .

13.

P(A) 0,0046;

P(B) 0,027(7);

P(C) 0,5(5). 14. P 0,138(8).

15.

бА

P 0,00139 .

16. P 0,096

. 17. P 0,5. 18. P 0,026.

19.

P 0,255. 20. P 0,0016 . 21.

P 0,375.

Д

С

В

А

В

А·В

А

мишеньстрелок попал в цель”?

Рис. 1.3. Произведение событий

Р с. 1.2. Сумма событий

Пр мер 1. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу в

.

б

вета вытекает из того, что со ытие

– означает поражение мишени, а

событие

А

– не поражение мишени.

Д

б) С – “хотя бы один из стрелков промахнулся”.

На основании этогоАпримера приведём формулы, справедливые

в алгебре событий: А1 А2 ...

n =

1

2

...

Аn

;

...

, если Ai обозначает “i - й стре-

А1 А2 ... Аn

А1

А2

n

И

лок попал в цель”, а Ai

– “i - й стрелок промахнулся”.

которых

два

чёрных.

Поэтому

искомая

условная вероятность

Р(А/ В) 2/6

1

.

3

Вероятность произведения двух событий равна вероятности

одного

з н х, умноженной на условную вероятность другого относи-

тельно первого:

(1.15)

Р(А В) Р(А) Р(В / А)

Р(В) Р(А / В).

СДля нескольк х со ытий

(1.16)

Р(А1 А2 ... Аn ) Р(А1) Р(А2 / А1) ... Р(Аn / А1 ... Аn 1).

обратное

обыт я

А

В

называются независимыми, если

Р(А В) Р(А) Р(В).

лиВ этом случае

(1.17)

Р(А) Р( / В), Р(В)

Р(В / А).

Верно и

А

утверждение.

События А1, А2 ,...,

n

называются независимыми в совокупности,

если

n

n

).

(1.18)

Р(П A ) П Р(

n

i

Дn

l 1

l 1

i

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна

сумме вероятностей этих событий:

Р(А В) Р( ) Р(В).

(1.19)

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна

сумме их вероятностей:

И

Р( Ai ) P(Ai ).

(1.20)

l 1

l 1

Если события А и В совместны, вероятность их суммы вычисля-

ется по формуле

Р(А В) Р(А) Р(В) Р(А В).

(1.21)

Для нескольких совместных событий вероятность их суммы оп-

ределяется по формуле

n

P(Ai Aj Ak ) ...

Р( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )

l 1

i

i j

i j k

( 1)n 1P(A

A ... A ),

(1.22)

1

2

n

Р(А В) Р(А) Р(В / А)

0,6 0,8 0,48 .

С

Задача 2.

В ящ ке находится 7 деталей первого сорта, 5 – вто-

рого сорта 3 – третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают

детали. Найти вероятность того, что первая, наугад вынутая де-

три

1

А ), вторая деталь – второго

таль окажется первого сорта (со ытие

сорта (событ

е А2 ) третья деталь – третьего сорта (событие А3 ).

Решение.

Очевидно,

что:

Р(

)

7

;

Р(А / А )

5

;

3

1

15

2

1

14

тР(А / А А )

, т. к. со ытие

/

означает, что второй раз вы-

3

1

2

13

2

1

нули деталь второго сорта при условии, что первый раз была вынута

Д

деталь первого сорта. Значит, при повторном вытягивании в ящике

осталось 14бАдеталей, из них второго сорта – 5. Аналогично находим

Р(А3 / А1 А2 )

по формуле (1.16).

7

5

3

1

Р(А А А ) Р(А ) Р(А / А ) Р(А / А А )

.

1

2

3

1

2

1

3

1

2

15 14 13

26

90

И

Задача 3. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестан-

дартных. Из ящика наугад берут одну за другой две детали. “Появле-

ние стандартной детали при первом испытании” – событие А, “появ-

ление стандартной детали при втором испытании” – событие В. Про-

верить, зависимы или независимы события А и В.

Решение.

Р(А)

0,9.

Вероятность события В зависит от

100

результата первого испытания: если в первом испытании событие А

произошло, то

90 1

89

Р(В/ А)

;

100 1

99

если же событие А не произошло, то

Р(В/

)

90

10

.

А

100 1

11

обытия А и В зависимы, т. к.

С

Р(А) 0,9

89

Р(В/ А).

99

Задача 4. Найти вероятность того, что при бросании двух иг-

ральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решен е. Обозначим события: А – “выпадает 6 очков при бро-

независ

сании первой

гральной кости”, В – “выпадает 6 очков при бросании

второй

гральной

кости”. Так

как события А и В совместны, то

Р(А В) Р(А) Р(В) Р(А В). Р(А В) Р(А) Р(В),

т. к. события

мента b

–событиеB k 1, 2, 3 . Записать выражение для событий

мы.

Так

как

Р(А)

1

;

Р(В)

1

,

поэтому

1

1

1

1

11

6

6

Р(А В)

6

.

6

6

6

36

Задача 5.

Электр ческая цепь между точками М и N составле-

А

на по схеме (рис. 1.4). Выход из строя элемента a – событие A, эле-

C и

k

k

C

, если С означает разрыв цепи.

М

a

b1

Д

b2

N

b

3

Рис. 1.4. Схема электрической цепи

И

А АААА

ВА

А

А·В

A B. Соответственно

A B – шарик попал в область, лежащую вне

противоположное

общей части кругов A

B. Со ытие

В совпадает с

A B

.

бА

бытия Ai – попадание при i-м выстреле

i 1,

2, 3 . Представить в

Д

Ai

виде сумм, произведений или сумм произведений событий

Ai и

следующие события:

А – все три попадания;

И

В – все три промаха;

С – хотя бы одно попадание;

Д – хотя бы один промах;

Е – не менее двух попаданий;

F – не больше одного попадания;

G – попадание в мишень не раньше чем при третьем выстреле.

b1

а

с

d

b2

Рис. 1.6. Блок – схема определения неисправности системы

25

А –

звлечен е

з урны белого шара;

В –

звлечен е

з урны штрихованного шара.

С

Определ ть, зав с мы или независимы события А и В.

втором станке эт

вероятность равна 0,8. На первом станке изготов-

лены две

, на втором – три. Найти вероятность того, что все де-

детали

тали первосортные.

6. Для с гнал зац и

аварии установлены два независимо ра-

ботающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнали-

затор срабатывает,

равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для

об

А

второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только

один сигнализатор. Найти вероятность того, что сработает хотя бы

7. Дана система S (рис. 1.7). Блоки, обозначенные одинаковыми

буквами, одинаковы; все блоки независимы. Вычислить надежность

системы (вероятность безотказной работы в течение определенного

Д

времени), если известны надежность блоков: P(ai ) 0,8; P(bi ) 0,9.

И

а

а

b

b

А – появлен е гер а на первой монете;

В – появлен е ц фры на первой монете;

и

С – появлен е гер а на второй монете;

Д – появлен е ц фры на второй монете;

Е – появление хотя

ы одного

;

F – появление хотя

ы одной цифры;

герба

G – появление одного гер а и одной цифры;

Н – непоявление ни одного герба;

А

К – появление двух гербов.

Определить, каким событиям этого списка равносильны сле-

дующие события: 1) A C; 2) A C ;

3) E F ; 4)

G E ;

5) G E;