Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 1. Задачи математической статистики
СМатемат ческая статистика – раздел математики, который посвящен способам получения выводов из опытных данных (результатов наблюден й). Поскольку математическая статистика изучает об-
Математическая статистика возникла и создавалась параллельно с теорией вероятностей в XVII в. Дальнейшее развитие математиче-
ской стат ст ки (вторая половина XIX и начало XX в.) обязано в пер-
вую очередь П. Л. Чебышеву, А. А. Маркову, А. М. Ляпунову и др.
щиеличной к пр роде рассматриваемых объектов, ее выводы могут быть применены к самым разноо разным явлениям при условии, что в них реально осуществляются основные положения общей теоретической схемы.
закономерности массовых явлений в абстрактной форме, безраз-
Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и отки статистических данных для получения науч-
ных и практических выводов. |
|
|
обра |
|
Отсюда вытекают основные разделы математической статисти- |
ки. |
А |
|
|
1. Теория оценок.
Эта теория позволяет приближенно вычислить и оценить пара-
метры случайных величин (математическое ожидание, дисперсию и
т.д.) по данным опыта. |
|
И |
2. Статистическая проверка гипотез. |
||
Эта теория позволяет проверить справедливость интересующих |
||
нас гипотез по данным опыта. |
Д |
|
3. Дисперсионный анализ.
Эта теория позволяет найти слабые (статистические) зависимости между величинами, т. е. направлена на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий в средних значениях. В данном пособии будут рассмотрены только первые два раздела.
142
§ 2. Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот
Определим основные понятия математической статистики. Предположим, что исследуется случайная величина X. Раз за разом воспроизводится опыт, в результате которого случайная величина X принимает какое-то значение. Но закон распределения X нам неизвестен. Как его определ ть? Очевидно, нет другой возможности, чем раз за разом провод ть опыты, фиксировать значения, которые принима-
Сет случайная вел ч на, пытаться по ряду этих значений определить ее закон распределен я, хотя бы приближенный. Совокупность всех значен й, которые может принять случайная величина в результате
случайными, от о ъекта к объекту. Наша цель научиться оп-
провод мых опытов, называется генеральной совокупностьюG.
можно и нецелесоообразомразно, т.к. генеральная совокупность может быть
Генеральная совокупность – достаточно большая совокупность однородных объектов, некоторая характеристика которых меняется
ределять, как распределена эта характеристика по всей генеральной совокупности.
Исследовать все элементы генеральной совокупности невоз-
очень велика. В связи с этим из генеральной совокупности отбирают определенное число элементов:
выборкой. Д
x1, x2,..., xn |
(2.1) |
и их изучают. РезультатыАисследований показали, что выводы, сде- |
|
ланные по этим элементам, точно характеризуют данное явление. Такой метод называется выборочным. Часть объектов, которая попала на проверку, называется выборочной совокупностью X или просто
Число элементов в генеральной совокупности и в выборке будем
называть их объемами. Объем генеральной совокупности равен N, а выборки – n. Набор чисел (2.1) называют элементами выборки или
вариантами. |
Расположенные в порядке возрастания значе- |
||
нияx , |
x ,..., |
x |
образуют ряд, называемый вариационным рядом: |
1 |
2 |
n |
И |
xmin, ... , xmax– вариационный ряд.
Число R xmax xmin называется размахом выборки. Для построения вариационного ряда выполним действия:
1. Разделим отрезок xmin, xmax на некоторое число l интерва-
143
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
лов одинаковой длины |
. Величину к приближенно вычисляют |
|||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
по формуле l 1 3,2lgn , где n – объём выборки. |
|
|
|
|
||||
|
|
хi хi 1 i . |
|
|
|
|
|
|
2. Подсчитаем число элементов выборки, попадающих в каждый |
||||||||
интервал: |
|
n1, n2, ... ,nm. |
|
|
(2.2) |
|||
|
|
|
|
|||||
Очев дно, n1 n2 |
... nm n. |
попадания |
в интервал. |
|||||
Ч сла (2.2) называются частотами |
||||||||
Cостав м табл. 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
х0 х1 |
х1 х2 |
|
|
|
|
хn 1 |
||
n |
|
n |
|
|
|
|
n |
m |
иi 1 |
|
|
|
|
|
|||
i |
ni |
n1 |
|
|
|
|
nm |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
||
|
n |
|
|
|
|
|||
Элементы третьей строки называются относительными часто- |
||||||||
тами попадания в интервал. Очевидно, n1 n2 ... nm |
1. |
|
||||||
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
Полученная таблица называется выборочным распределением |
||||||||
|
бА |
|
|
|
||||
случайной величины X . |
|
|
|
|
|
|
||
3. Изобразим выборочное распределение на графике (рис. 2.1). |
||||||||
Для этого на оси ОХ отложим интервалы xi |
xi 1 |
и на каждом из них |
||||||
как на основании построим прямоугольник, площадь которого i , т.е. |
||||||||
|
|
|
Д |
|
||||
высота i-го прямоугольника i . |
И |
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
Рис. 2.1. Гистограмма относительных частот |
|
|
|
||||
144
Построенный график называется гистограммой относительных частот и представляет собой выборочный аналог плотности вероятности случайной величины. Площадь гистограммы равна единице.
|
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Стат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число |
||||||||||||||||||||||||||
|
выпадений |
|
|
|
|
|
шести |
|
очков |
оказалось |
|
|
|
равным |
||||||||||||||
|
1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1. Составим вариационный ряд: |
|||||||||||||||||||||||||||
0,1,2,3,4,5. |
|
|
|
ст ческий ряд для абсолютных и относительных час- |
||||||||||||||||||||||||
|
имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
тот |
|
|
|
в |
д (табл. 2.2). |
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
||||||||||||||||
|
|
хi |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
ni |
|
|
|
|
бА2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i |
ni |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
5 |
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
20 |
|
|
20 |
20 |
20 |
|
20 |
|
|
|
20 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Эмпирическая функция распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Построим вы орочный аналог функции распределения F (x). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Для этого вначале на каждом интервале (рис. 2.2) выберем сере- |
||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
хi |
хi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
дину хi |
|
|
|
|
|
|
(i 1,...,m) и составим табл. 2.3. |
|
Таблица 2.3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
хi |
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хn |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ni |
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
И |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дnm |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
ni |
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X< x.
Таким образом, F* x nx , где nх – число вариант, меньших х, n
145