18. тудент разыскивает нужную формулу в трех справочниках.

С

Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем

справочнике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности

того, что формула содержится:

а) только в одном справочнике;

попадания Ответы

б) только в двух справочниках;

в) во всех трех справочниках.

19. Вероятность

в мишень при одном выстреле равна

0,8. колько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероят-

бА11

ностью, меньшей 0,4, можно

ыло ожидать, что не будет ни одного

промаха.

1. A A1A2A3; B

A1A2A3; C A1

A2 A3 , или

C A1

A1A2 A1A2A3 , или C A1

2

3

A

A

A1A2 A3 A1A2A3 +

A1A2

A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3; Д

A1 A2 A3;

E

A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2;

F

A1A2A3 A1A2A3 A1A2; G

A1A2.

2. S A(B1 B2)CД;

. 3. P

. 4. А и В – за-

S

A1

B1B2 C

висимые события. 5. P 0,251.

6. а) P 0,14;

26

б) P 0,995.

7. P 0,92 . 8. P 0,0028 . 9. P

0,692. 10.

И

P(B) P(A).

11. P 0,0014 . 13. P 0,9865 . 14.ДP 0,8926 . 15. P 0,73.

16. P 0,35. 17. P 0,7. 18. а)

P 0,188; б) P 0,452 ; в) P 0,336.

19. n 5.

n

Р(А) P(Hi ) P(A

).

(1.23)

l 1

Hi

Действительно, так как событие

Н1

Н2

Н3

А может произойти только с одним

из событий Н1, Н2, ..., Нn,

обра-

С

систему,

то

А

зующих

полную

А АН1

АН2 ... АНn.Из рис.1.8

видно, что АН1, АН2, ..., АНn

по-

Примен

парно несовместны. Поэтому

Р(А) Р(АН1) Р(АН2) ... Р(АНn).

в прав ло умножения веро-

Рис. 1.8. Вероятность события А

ятностей к каждому слагаемому ра-

бi

венстваР(АНi) Р(Нi) P(A

),

Hi

получ м формулу (1.10).

В тесной связи с формулой полной вероятности находится так

называемая формула Байеса:

) P(A

Н

P(H

)

Р(

)

i

Hi

,

(1.24)

P(H)P(A

) ... P(Hn)P(A

)

H1

Hn

где P(Нi

Д

А) – вероятность гипотезы

Нi

после того, как имело место

событие А.

А

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность гипотез,

принятых до испытания, по результатам уже произведённого испыта-

ния.

И

Решение. Пусть А – событие, за-

ключающееся в том, что старец дойдёт

А

до пункта В. В качестве гипотез примем

1

2

3

события:

Н1 – “старец пошёл по дороге 1”;

С

D

Е

Н2 – “старец пошёл по дороге 2”;

Н3 – “старец пошёл по дороге 3”.

С

1

, так как из пункта С в пункт В ведут

он пошёл по дороге 1, равна

3

Р(А

три

дороги.

Аналогично

рассуждая,

получим

) 1,

Р(А

) 1

Н

2

.

Н

3

2

По формуле (1.23) имеем

Р(А) Р(Н1) Р(А

) Р(Н2 ) Р(

А

) Р(Н3 ) Р(А

)

Н1

Н

2

Н3

бА

1

1

1

1

1

1 0,611.

3

3

2

3

2

целиЗадача 2. По произведено три последовательных выстрела.

Вероятность попадан я при первом выстреле p1 0,5, при втором –

p2 0,6,

при третьем – p3

0,8. При одном попадании вероятность

поражения цели равна 0,4, при двух – 0,7, при трёх – 1,0. Найти веро-

ятность поражения цели при трёх выстрелах.

Решение. О означим со ытия:

А – “поражение цели при трёх выстрелах”;

Н1 – “одно попадание”;

Н2 – “два попадания”;

И

Н3 – “три попадания”;

Н4 – “ни одного попадания”.

Из условия задачи имеем

Д

Р(А

) 0,4, Р(А

) 0,7,

Р(А

) 1, Р(А

) 0.

Н1

Н2

Н3

Н4

Если

р1, р2, р3

соответственно вероятности попадания при пер-

вом, втором, третьем выстрелах, то 1– p1, 1– p2 , 1– p3

соответственно

вероятности при тех же выстрелах.

Следовательно,

Р(А) 0,26 0,4 0,46 0,7 0,24 1 0,04 0 0,666.

С

Задача 3

(поуч тельная). Студент идёт на экзамен, зная 10 би-

летов з 25. В каком случае вероятность вытащить “счастливый” би-

лет больше,

он

ерёт

илет первым или вторым?

Решен е. Если студент идёт первым, то вероятность вытащить

если

0,4.

“счастл вый”

лет,

очевидно, равна 10

25

Предполож м теперь, что он берёт билет вторым. Введём гипо-

тезы:

Н1 –бвошедший первым вытащил “счастливый” (для второго)

билет;

Н2 – вошедший первым вытащил “несчастливый” (для второго)

билет. Тогда

А

Р(Н

) 10

0,4;

) 0,4 0,6 1.

1

25

Р(Н

2

) 15

25

0,6; Р(Н

1

) Р(Н

2

Обозначим через А событие “студент, зашедший вторым, выта-

щил “счастливый” для него билет”. Тогда

Р(А

)

10 1

Д9 0,375.

Н1 25 1

24

Так как после того, как первый взял “счастливый” билет, из 24

оставшихся билетов “счастливых” осталось только 9.

Аналогично

И

Р(А

) 10

0,417.

Н

2

24

По формуле (1.23)

Р(А) Р(Н1) Р(А

) Р(Н2 ) Р(А

) 0,4 0,375 0,6 0,417 0,4.

Н1

Н2

Решение. Здесь на результаты влияют два фактора: с одной сто-

С

роны, вероятность попадания, с другой – количество стрелков в груп-

пе. Например, наибольшие шансы не попасть у стрелков третьей

группы, но зато

х только четверо.

Пусть событ е А – “промах наудачу выбранного стрелка”:

и

Н1 “наудачу выбранный стрелок из первой группы”;

Н2 “наудачу выбранный стрелок из второй группы”;

Н3 “наудачу вы ранный стрелок из третьей группы”.

Тогда:

бН

Р(Н1) 5

0,3125,

Р(Н

2 ) 7

0,4375, Р(Н) 7

4

0,25;

16

16

Р(А) 0,2 0,3125 0,3 0,4375 0,5 0,25 0,31875;

Р(Н1

)

0,2 0,3125

0,1961;

А

0,31875

Р(

3 )

0,5 0,25

0,3922.

0,31875

другой партии 1

деталей недоброкачественных.

еталь, взятая из

4

наудачу выбранной партии, оказалась

доброкачественной. Опреде-

И

лить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется

недоброкачественной, если перваяДдеталь после проверки возвращена

в партию.

Решение. Пусть событие А – “первая деталь доброкачествен-

ная”.

Гипотезы:

Н1 – “взята партия, содержащая недоброкачественные детали”;

Н2 – “взята партия доброкачественных деталей”.

По условию задачи:

Р(Н1) Р(Н2 ) 1

, Р(А

) 3

, Р(А

) 1;

2

Н1

4

Н2

Р(А)

1

3

1

1

7

0,875.

2

4

2

8

После первого испытания вероятность того, что партия содер-

жит недоброкачественные детали, равна

С

Р(Н1)Р(А

)

1

3

Н1

2 4

Р(

Н

1

А

)

0,4286;

Р(А)

0,875

Р(Н

2 )Р(А

)

1

1

Н

2

2

Н

роятности

0,5714.

Р(

2

А

)

Р(А)

0,875

Пусть событ е В состоит в том,

что при втором испытании де-

таль оказалась недо рокачественной. Вероятность данного события

бА1

также наход тся по формуле полной вероятности. Если P1 и P2 – ве-

г потез Н1

Н2

после испытания, то согласно предыду-

щим выч слен ям

P1 0,4286, P2

0,5714.

Кроме того,

Р(В

) 1

,

Р(В

) 0.

Н1

4

Н2

Поэтому искомая вероятность

Р(В) 0,4286

1

0,5714 0 0,107.

Д

4

Р(

Н

2

Р(Н2 )Р(

Н2

)

2

1

0,5714.

А

Р(

)

0,875

И

Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании де-

таль оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события

также находится по формуле полной вероятности. Если P1 и P2 – ве-

роятности гипотез Н1

и Н2

после испытания, то согласно предыду-

щим вычислениям

P1 0,4286 ; P2

0,5714.

Кроме того,

Р(В

)

1

; Р(В

) 0.

Н1

4

Н2

5. Станок одну треть своего времени обрабатывает деталь А и

А

две трети – деталь В. При о ра отке детали он простаивает 10%

времени, абдетали В – 15%. Какова вероятность застать станок про-

стаивающим?

6. В ящике содержится 12 деталей завода 1; 20 деталей завода 2;

кой проверке

здел е, выпущенное с маркой «повышенное качество»,

действ тельно

меет повышенное качество.

18. Определ ть вероятность того, что среди 1000 лампочек нет

С

ни одной не справной, если из взятых наудачу 100 лампочек все ока-

справными. Предполагается, что число неисправных лампо-

чек из 1000 равновозможно от 0 до 5.

ступившая на

деталь ракованная.

20. Из урны, содержащей 2 елых и один черный шар, перекла-

дывают шар в урну, содержащую два черных и один белый шар. Оп-

сборку

ределить вероятность извлечь черный шар из второй урны после ука-

занного перекладывания.

21. Пусть при массовом производстве некоторого изделия веро-

ятность того, что оно окажется стандартным, равна 0,95.

контро-

А

ля производится некоторая упрощенная проверка стандартности из-

делия, которая дает положительный результат в 99% случаев для

стандартных изделий и в 3% случаев для нестандартных изделий. Ка-

И

кова вероятность того, что изделие стандартно, если оно выдержало

упрощенную проверку?

Для

1. P 0,7(2). 2.

P 0,6. 3.

P 0,12. 4. P 0,6625. 5.

P 0,13(3).

6. P 0,78. 7. P 0,16(6). 8. P 0,4717

. 9. P 0,225. 10.

P 0,86.

11.

P 0,18(18). 12.

P 0,25. 13. P 0,85. 14. P 0,6622 .

15.

P 0,476.16. а) P 0,58;б)

P 0,002. 17.

P 0,998. 16.P 0,214.

19.

P 0,0018. 20. P 0,58. 21.

P 0,998. 22.

P 0,46.

23.P 0,16(6).

§5. Последовательность независимых испытаний

С(схема Бернулли). Теорема Пуассона.

Локальная

нтегральная теоремы Муавра – Лапласа

1. Последовательность независимых испытаний

(схема Бернулли)

и

Испытан я называются независимыми относительно события А,

если вероятность появления со ытия

в каждом из этих испытаний

(назовем его “успехом”, тогда

соответственно “неуспех”). Вероят-

ность неуспеха равна q 1 p.

Рассмотрим общий случай в рамках

бА

схемы Бернулли – нахождение вероятности того, что в n испытаниях

произойдёт ровно k успехов

(k n). Обозначим эту вероятность

P (к) P(B) pк qn к рк qn к ... рк qn к Ск pкqn к , (1.25)

n

n