§9. Критерий равенства двух дисперсий

критерия F (обозначенного так по первой букве фамилии английского математика Фишера). Критерий F – это отношение двух дисперсий, вычисленных или полученных различными способами.

Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить

точек распределен я Ф шера – Снедекора по уровню значимости α/2 тическую(вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы k1=n1-1и k2=n2-1 (k1 – ч сло степеней сво оды большей дисперсии) найти кри-

точку Fкр( 2;k1;k2).

В рассматр ваемом выше примере отношение дисперсии для

=896,54/326,16 =2,75. Для майской выборки число степеней свободы

ставлено при допущенииА, что k1 относится к выборке данных, имеющей большую дисперсию. Из прил. 6 для k1 = 7 и k2 =16 находим, что

k1=8 – 1 = 7, а для июньской k2 = 17 – 1 = 16. Заметим, что прил. 6 со-

Fкр(0,1/2;7;16) = 2,6. Так как Fнабл = 2,75 > 2,6 = Fкр, отвергаем гипоте-

зу о том, что эти две дисперсии Дсоответствуют одной и той же совокупности. Отсюда делаем вывод, что прочность бетона не только колеблется в течение суток, но и средние суточные значения также изменяются.

Пример. В результате испытаний 30 образцов из утяженного конца прессованного профиля и 20 образцовИиз выходного конца найдены средние значения и дисперсии предела прочности алюминиевого сплава, которые составили: х1 40,1кг/мм2; s1= 0,82 и х2 40,9 = кг/мм2, s2=0,71 соответственно для утяженного и выходного конца. Требуется оценить на уровне значимости α = 0,1 расхождения в выборочных дисперсиях.

Решение. В условиях рассматриваемого примера

Fнабл = 0,82/0,71 = 1,15. По прил. 6 для k1 = n1–1=29 и k2 = n2 – 1=19 находим Fкр(0,1/2;29;19) = 2,07. Так как Fнабл = 1,15 < 2,07 = Fкр, то от-

сутствует значимое различие в дисперсиях предела прочности указанных групп образцов, т. е. можно принять, что зоны профиля равноценны в смысле однородности материала 12 22 .

200

Индивидуальные задания

т. е. распределение размера изделия одинаково для обоих станков.

2. Скорость вращения вала, полученная абсолютным методом (электронный осциллограф и генератор сигналов прокалиброваны на линейную частоту), составляет 1010 об/мин. Стробоскопический и ручной тахометры дают результаты, представленные в табл. 2.48.

Таблица 2.48

201

Проверьте справедливость следующих гипотез: «Обе группы отсчетов принадлежат одной и той же совокупности»; «Отклонения отсчетов обеих групп от истинного значения принадлежат одной и той же совокупности». Для проверки второй гипотезы необходимо вы-

5. Два прибора А и В используются для измерения теплопроводности данного образца. Результаты измерений представлены в табл. 2.51.

Таблица 2.51

Проверьте справедливость следующей гипотезы: «Обе группы измерений принадлежат одной и той же совокупности».

202

6. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

а) в первом случае х1 = 9,6; х2=10,0; х3 = 9,8; х4=10,2; х5=10,6;

Можно ли сч тать, что станки обладают одинаковой точностьюН0 : D(X) D(Y) , если принять уровень значимости α =0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы Н1 :D(X) D(Y) ?

9. В результате длительного хронометража времени сборки узла различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени

02 2мин2. Результаты 20 наблюдений за работой новичка представлены в табл. 2.54.

203

ботает р тм чно (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных

При уровне значимости α = 0,20 проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности,

т. е. содержание некоторого вещества одинаково для обоих методов. 12. Две лаборатории одним и тем же методомИ, в одном и том же порядке определяли содержание углерода в 13 пробах нелегирован-

ной стали. Полученные результаты анализов приведены в табл. 2.56 (в первой строке указано содержание углерода в процентах в каждой пробе, полученное первой лабораторией; во второй строке–второй лабораторией).

204

Проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. содержание углерода одинаково для обеих лабораторий, при уровне значимости α = 0,20.

13. В табл. 2.57 приведены данные об объемах работ, выполняе-

ние различных партий сырья на величинуДразрывной нагрузки.

Выяснить на уровне значимости α = 0,05, существенно ли влия-

15. Учет времени сборки узла машины бригадой из 10 слесарей показал, что среднее время (в минутах) сборки узла равно х= 76, a исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема п = 10, оказалась равной s2 =15.

Предполагая распределение времени сборки нормальным, про-

И

верить на уровне значимости α = 0,01 гипотезу о том, что 75 минут являются нормативом (математическим ожиданием) трудоемкости.

16. Номинальная точность прибора равна σ0 = 2 мкм. з 10 замеров детали была получена выборочная дисперсия показаний прибора, равная s2=0,9.

На уровне доверия γ = 0,9 проверить гипотезу «Отклонения по-

205

казаний прибора и его точность принадлежат одной и той же совокупности».

17. По техническим условиям средняя прочность троса составляет 2000 кг. В результате испытаний 20 кусков троса было установлено, что средняя прочность на разрыв равна 1955 кг при средней ошибке 25 кг.

Удовлетворяет ли образец троса техническим условиям?

18. Для проверки новой технологии были выбраны две группы рабочих, ч сленностью n1 = 40 человек и n2 =50 человек. В первой группе, при пр менен и старой технологии, средняя выработка со-

Выборочная лась равной 1000, вАрегионе В –4000. Считая дисперсии среднегодо-

вых оборотов одинаковыми, проверить на уровне значимости α = 0,05 гипотезу о равенстве средних значений в регионах А и В.

20. При проверке размеров подшипников из двух партий по 10 штук в каждой, поставленных разными заводами, были обнаружены

отклонения от номинала, характеризуемые выборочными дисперсия-

ми s12 =9, s22= 8,5.

Можно ли считать при уровне доверия γ = 0,95 одинаковой точность изготовления подшипников разными заводами?

206

Построить вариационный ряд выборки и с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что значения первого и последнего отклонений диаметра вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все осталь-

Постро ть вар ационный ряд выборки и с помощью критерия Ирвина провер ть нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что значения первого и последнего межремонтных интервалов вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все остальные.

23. Для определения надежности металлорежущих станков на заводе фиксировались значения наработки на отказ (время τ непрерывной работы до первого отказа). Полученные данные для τ (в месяцах) приведены в табл. 2.61.

Таблица 2.61

Построить вариационный ряд выборки и с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что первое и последнее значения наработки на отказ вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все остальные

207