§ 10. Случайные ошибки. Законы распределения случайных ошибок в измерительных приборах

В заключении рассмотрим применение методов статистических проверок при проведении инженерных экспериментов. В предыдущих параграфах рассмотрены применения методов статистических проверок при проведении инженерных экспериментов как средство анализа всего экспер мента в целом. В этом параграфе используем понятия

определенную сторону и имеющие закономерный характер, то есть среднее значен е последовательных отсчетов откланяется от известного значения и продолжает отклоняться независимо от числа последовательных отсчетов. Сюда относятся инструментальные ошибки, происходящие от несовершенства инструмента, ошибки, вызванные методикой постановки эксперимента, и некоторые другие.

Поскольку влияние таких Дошибок на результаты наблюдений может быть более или менее точно заранее установлено, а значит, и устранено, мы будем считать имеющиеся в нашем распоряжении результаты опыта свободными от систематических ошибок.

В дальнейшем остановимся на рассмотрении случайных ошибок,

1)Равные по абсолютной величине ошибкиИравновероятны.

2)Малые по абсолютной величине ошибки более вероятны, нежели большие.

3)Вероятность появления ошибок, превосходящих по абсолютной величине некоторое определенное число, практически равна нулю. Это число обычно называют пределом возможных ошибок и обозначают через ε.

Пусть F( )– интегральный закон (функция) распределения

208

ошибок, т. е. вероятность того, что ошибка α не превосходит величины ε

Е

Пусть истинное значение измеряемой величины (нам неизвестное) равно А. Измеренное значение х этой же величины есть величина случайная, закон распределения которой тесно связан с законом распределения ошибок. Действительно, так как А–х=ε, то вероятность получения в результате измерения ошибки ε и значения х одна и та же. Если обозначить плотность вероятности величины х через f1(х),

209

то в силу четности функции f ( ) получим

f1(х) f (х А).

Заметим, что значение случайной величины, при котором ее дифференциальный закон распределения достигает максимума, назы-

вается модой случайной величины. Для f (x) это х = 0, для f1(х)

Стельностью про зведено несколько измерений одной и той же физической вел ч ны (напр мер, длины стержня при определенной температуре). Результатом этих измерений является некоторый ряд чисел, располагая которым мы хотим определить наиболее вероятное значен е змеряемой величины, т. е. то ее значение, при котором дифференц альный закон распределения достигает своего максиму-

– х=А.

Допустим, что одним и тем же инструментом с одинаковой тща-

210

для единообразия обозначений дифференциальный закон распределения ошибок будем обозначать функцией (x).

Таким образом, если принять постулат Гаусса, то случайные ошибки будут распределены по нормальному закону. Функция (2.18) и ее кривая непрерывны, т. е. они описывают совокупность, содержащую бесконечное множество измерений. Эта неограниченно большая воображаемая совокупность результатов измерений называется генеральной совокупностью. Ограниченная совокупность числа измере-

211

рассмотренная нами ранее в §7 гл.1 функция Лапласа. Окончательно имеем

держащаяПри20 отсчетов. Какое число отсчетов будет находиться в интервале от 990одо 1010 об/мин? б

Решен е. В данном случае α= ±10 об/мин, тогда hα2 = 10·0,04 2 = 0,566.

Из пр л.1 наход м, что вероятность нахождения отсчета в этом интервале составляетА0,4314. Таким образом, можно ожидать, что из 20 последовательных отсчетов 20·0,4314, или 8,628 отсчета, будут находиться в интервале от 990 до 1010 /мин, т. е. практически 8 – 9 отсчетов. Так как вы орка, содержащая 20 отсчетов, невелика, то в действительности при каком - либо испытании в данном интервале могут оказаться 6 – 7 или 10 – 11Дотсчетов.

Точность данной измерительной системы удобно выражать некоторым одним числом или показателем точности. Рассмотрим два таких показателя, каждый из которых указывает, с какой точностью прибор может измерять требуемую величину. Этими показателями

σ2 М 2 М 2И,

аМ 0, то σ2 М 2 . Поэтому среднюю квадратическую ошибку

обозначим через среднее квадратическое отклонение σ, которое связано с мерой точности равенством

или hσ 0,707. Вероятность того, что отклонения будут находиться в

212

пределах hσ, определяется из прил.1 и составляет 68,2%.

2. Вероятная ошибка Q. Эта величина определяется как такое отклонение, при котором в интервале ± Q находится ровно половина

Пр мер 2. В пр мере 1 ыл рассмотрен тахометр, имеющий h =

=0,04 (об/мобразомн)–1. Найд те два показателя точности данного прибора и оборотов в м нуту, заключенных в интервалах ±σ и ± Q.

Решен е. Из формул (2.25) и (2.28) видно, что

0,707=17,7 об/мин, Q 0,4769=11,9 об/мин.

и1011,9 об/мин. А

Взаключение отметим рольДвеличины h как характеристики точности произведенных измерений. Уже из связи величины h с дисперсией видно, что при больших h вероятность малых ошибок весьма велика, а вероятность больших ошибок весьма мала. Чем меньше h,

тем больше дисперсия, т. е. тем больше рассеяние ошибок. Особенно ясно выступает роль величины h как меры точностиИпри рассмотрении выражений для вероятной и средней квадратической ошибок. Формулы (2.25), (2.26) показывают, что эти ошибки обратно пропорциональны мере точности h, которая дает возможность оценить надежность произведенных измерений.

Поэтому, естественно, возникает задача – определить меру точности по результатам измерений. При этом мы будем предполагать, что все измерения произведены с одинаковой тщательностью, т. е. являются равноточными, и что случайные ошибки распределены по закону Гаусса. Тогда, как было сказано ранее, наиболее вероятным значением х измеряемой величины является среднее арифметическое наблюденных значений.

213

Пусть результатами измерений некоторой величины А являются числа x1, x2, , xn .Тогда наивероятнейшее значение величины х равно

одном случае, а именно

когда

А х1 х2 хn , n

т. е. мы доказали справедливость формулы (2.29). Однако не следует думать, что среднее х, полученное для п измерений, будет в точности

214

равно математическому ожиданиюМ(х), получаемому при бесконечном множестве измерений.

большого числа измерений или испытаний.

что разница между указаннымиДхарактеристиками не будет превышать сколь угодно малую величину, при увеличении объема выборки неограниченно приближается к единице.

Отмеченная разница в выборочных и генеральных характеристиках результатов испытаний зависит от объема выборки. С увеличением числа испытаний в связи с проявлением закона больших чисел выборочные характеристики сходятся по вероятности к генеральным характеристикам, т.е. вероятность события, заключающегося в том,

На практике обычно имеют дело только с выборочными характеристиками, на основании которых судят об уровне генеральных ха-

И

рактеристик. Ранее было получено выборочное среднее х(см. (2.29)). А из формул (2.25) и (2.31) выборочное среднее квадратическое отклонение

Пример 3. Оптический пирометр установлен на светящуюся

215

нить накала, и различными операторами было произведено несколько измерений температуры. Получены следующие результаты

(табл. 2.62).

Сумма членов третьего столбца равна +325 (табл. 2.63), откуда после деления на 46 (число измерений) получаем +7,1; следовательно, х = 992,9°С. Отсчеты округлены с точностью до 25 °С, поэтому для дальнейших вычислений целесообразно принять х= 1000 °С. Теперь найдем s. Имеем

Подставив в формулу (2.33) значение s, получим Q 21 С. Правильно будет указать, что температура составляет 993 ± 21°С. Это означает, что в данном интервале значений находится половина всех измерений.

216

В примере 3 мы использовали (n – 1), так как истинное или наилучшее значение не было в точности известно до получения данных и его нужно было найти путем усреднения результатов. Если бы источник, на который направлен пирометр, был откалиброван на 1000 °С, то в формуле (2.32) для среднего квадратического отклонения вместо (п – 1) нужно было бы взять п. Для выборки, содержащей 46 элементов, такая замена несущественна.

Если меется набор случайных данных, для которых требуется найти выборочное среднее квадратическое отклонение без предвари-