б) P(

x M(Х)

) 2Ф(

) 0,97;

Ф(

) 0,485,

2,17

(см. прил. 2),т.к. 2,17 2,17

0,2

0,434(см).

ледовательно, с вероятностью 0,97 можно гарантировать раз-

меры 15 0,434(см).

3. Распределение Пуассона

Как

закон Гаусса,

распределение Пуассона может быть полу-

Счено как ас мптот ческое для биноминального.

Рассмотр м случай, когда вероятность р положительного исхода

каждого

спытан

я в

из п испытаний равна λ/n, где λ – некото-

рая постоянная вел ч на,

укажем в этом случае новую приближен-

ную формулу для

Pn (к). Пусть в серии из n испытаний вероятность

серии

появлен я

я А в каждом испытании равна λ/n. Тогда вероят-

ность появлен я

я А в этой серии к раз при большом n выража-

ется приближенной формулой (см. §5)

к

событ

.

(1.53)

Рn (к)

к!

е

Пусть теперь Х – дискретная случайная величина, которая мо-

жет принимать целые неотрицательные значения. Если вероятность

равенства Х=к определяетсяАформулой (1.53), то мы говорим, что ве-

личина Х распределена по закону Пуассона.

Запишем закон распределения в виде табл. 1.13.

Таблица 1.13

Д

хi

0

1

2

…

к

…

pi

е

-λ

е

2 е

…

к е

…

1

2!

к!

Легко проверить, что

к

И

рк

е е

1.

к 0

к 0 к!

Для математического ожидания имеем

М(Х)=0· е-λ +1·

е +2·

2

е +…+к·

к

е +…=

к!

1

2!

=λ е-λ(1+

+

2

+…+

к 1

+…).

1

(к 1)!

2!

e-λ·λ·eλ или

М(Х)= λ.

(1.54)

темат ческому ож данию случайной величины.

водит

Нетрудно показать, что дисперсия случайной величины, распре-

Сделенной по закону Пуассона, равна математическому ожиданию.

D(X)=λ,

(1.55)

т. е. в этом случае д сперсия равна математическому ожиданию.

работу

К случайным вел чинам, подчиненным закону Пуассона, при-

большое ч сло задач, относящихся к вопросам массового об-

служиван я.

В качестве пр мера укажем

телефонной станции. Можно

А

доказать, что при выполнении некоторых условий вероятность к вы-

зовов за промежуток времени длины t определяется формулой

Рк t at к

е at .

(1.56)

к!

Если положить at=λ, то из формулы (1.56) следует, что случай-

ная величина Х распределена по закону Пуассона.

Задача 4. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну

минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит

2 вызова.

И

Решение. По условию, а = 24 t = 5; к = 2. Воспользуемся форму-

лой (1.56)

Д

Р2

5

2 5 2

е 25

0,000225.

2!

С

0

при - x a;

1

f (x)

при

a x b;

(1.57)

b a

b x

0

при

рис

( . 1.17). В точках х=а и

х=b функция f(x) разрывна. Для нахожде-

ния функц распределения (интегрального закона распределения),

воспользовавш сь формулой F(x)

x

f (x)dx, получим [6]

f(бАх)

0

при

- x a,

F(x)

x а

при

a x b,

(1.58)

b a

при

b x

1

(рис. 1.18). Эта функция непрерывна всюду.

Д

F(х)

1

1

И

b a

а

b

a

b

Рис. 1.17. График функции плотно-

Рис. 1.18. График функции распределе-

сти распределения

ния

Пользуясь

формулой

M Х

математического

xf (x)dx,для

b

x

a b

M(x)

dx

,

(1.59)

a b a

2

так что математическое ожидание случайной величины, равномерно

распределенной на интервале (а, b), находится в центре этого интер-

С

пользуясь форму-

вала. Для вычисления дисперсии найдем M (X 2 ),

лой (1.32)

M Х 2

x2 f (x)dx:

личины3

2

12

b x2

b3 a3

а2 ab b2

M(Х 2) a

dx

.

(1.60)

b a

3 b a

3

Поэтому д сперс я равномерно распределенной случайной ве-

по формуле D X M

X

2

M X 2

равна

образом

b a 2

а2 ab b

2

(a b)2

D(X)

.

(1.61)

Так м

, для случайной величины, равномерно распреде-

А

ленной на нтервале (а, b), среднее квадратическое отклонение равно

0,288675… длины интервала.

Пользуясь формулой, для определения вероятности попадания

непрерывной случайной величины X на участок от до получим

P( X ) F( ) F( ).

(1.62)

Д

Задача 5. Точка бросается наугад (без прицеливания) на отрезок

[0,I]. Случайная величина Х–абсцисса точки попадания (считается,

что бросаемая точка обязательно попадает на отрезок [0, 1]). Найти

функцию плотности распределения и функцию распределения. Вы-

числить математическое ожидание и дисперсию указанной случайной

величины. Найти вероятность того, что точка попадет в интервал

[0; 0,5].

Решение. В этом случае мы имеем дело с непрерывной случай-

ной величиной, все значения которой принадлежат отрезку [0, 1]. По-

этому в выражении для плотности распределения и функции распре-

деления, а = 0, а b = 1, т. е.

0;

И

0

при - x

0 при - x

0;

при

0 x 1;

х при

0 x 1;

f (x) 1

F(x)

при

1 x ;

1 x .

0

1 при