|
18. В цехе n лампочек. Достаточная освещенность цеха обеспе- |
|||||||||||||||||
чивается, если горят хотя бы |
k лампочек. Сколько существует раз- |
|||||||||||||||||
личных способов обеспечения освещенности цеха? |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
19. Каким количеством способов при подведении итогов сорев- |
|||||||||||||||||
нования могут распределиться первые четыре места среди 20 участ- |
||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ков данного цеха? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С10 |
. 6. 108. |
||||||||||
|
1.600. 2. |
а) 120; б) 10; в) 225; г) 100. 3. 210. 4. 5! 5. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
7. 7!2! 10 080. 8. |
6!2!8 11520. |
9. а) |
p |
|
s v |
s |
i |
s i |
v 1 i |
s i |
||||||||
Сk |
Cn k ; б) |
CkCn k ; |
в) CkCn k . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i v |
|
|
i 0 |
|
|
10. |
252 . |
11. а) |
A2 870; |
) |
30 C 4 712530. 12. |
а) 3020; |
б) |
A20 . |
||||||||||
|
20 |
|
б |
|
|
|
|
|
|
30 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
10! |
|
|
|
ˆ |
8 |
|
8 |
|
|
|
ˆ8 |
8 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
13. |
а) A3 |
3 |
|
6561; |
) C3 |
C10 |
45. 14. |
P 5,1,4 |
|
1260. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5!1!4! |
|
|
15. |
3 |
4536. |
16. а) |
4 |
126; |
) |
|
4 |
|
|
2 |
|
n |
i |
||||
9A9 |
C9 |
C10 210. |
17. Cn |
. 18. Cn . |
||||||||||||||
19. A4 116 280. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
§2. Классическое определение вероятности |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||||||||
|
Событием (илиАслучайным событием) называется всякий факт, |
|||||||||||||||||
который в результате опыта (эксперимента) может произойти или не |
||||||||||||||||||
произойти. Обозначаются события |
, В, С, …. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Достоверным событием называется событие, которое в резуль- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||
тате опыта непременно должно произойти, а невозможным |
– собы- |
|||||||||||||||||
тие, которое в результате опыта не может произойти [7].
Пример 1. Если в урне находятся только цветные шары и из урны извлечён шар, то событие “извлечён цветной шар” является достоверным.
Пример 2. Если в ящике имеются только стандартные детали и из ящика наудачу извлечена деталь, то невозможным будет событие «извлечена нестандартная деталь».
Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.
Пример 3. В ящике имеются стандартные и нестандартные де-
14
тали. Наудачу берут одну деталь. Событие А – “появилась стандартная деталь” и событие В – “появилась нестандартная деталь” являются несовместными событиями.
|
Пример 4. Брошена игральная кость. Событие А – “появление |
|||
двух очков” и событие В – “появление чётного числа очков” совмест- |
||||
С |
|
|
||
ны, так как появление одного из них не исключает появление другого. |
||||
|
обытия А1, А2 ,..., Аn называются попарно несовместными, если |
|||
любые два з эт х событий несовместны. |
||||
|
Пр мер 5. Про зведено два выстрела по мишени, события А1 – |
|||
“два попадан я”, А2 – “только одно попадание”, А3 – “ни одного по- |
||||
падан я” попарно несовместные. |
|
|
||
|
Полной группой со ытий называется множество событий таких, |
|||
что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно |
||||
из |
. |
будем |
|
|
нихЭлементарными со ытиями |
|
называть события i , кото- |
||
рые: |
1) составляют полную группу событий; |
|||
|
||||
|
|
А |
||
|
2) несовместны; |
|
|
|
|
3) по известному элементарному событию можно судить, про- |
|||
изошло или не произошло со ытие |
, возможное в данном экспери- |
|||
менте.
Множество элементарных событий, поставленных в соответст-
вие эксперименту, называется пространствомДэлементарных собы-
тий, обозначается 1, 2 ,... .
Пример 6. При однократном бросании игральной кости элемен-
тарными событиями являются события: |
1 1 – “появление одного |
|||
очка”; 2 2 ; |
3 3 ; |
4 4 ; |
И |
|
5 5 ; |
6 6 . Событие |
|||
А 1 , 3 , 5 – |
появление “нечётного числа очков” является под- |
|||
множеством пространства элементарных событий и представляет собой некоторое событие.
Элементарные события, принадлежащие событию А, называются благоприятствующими наступлению события А. В примере 6 это элементарные события 1, 3, 5.
События А1, А2 ,... называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.
Пример 7. Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть события равновозможные, т. к. игральная кость
15
изготовлена из однородного материала и имеет строго симметричную форму.
Таким образом, каждое событие А определяется как подмножество пространства элементарных событий . Очевидно, невозможному событию А не благоприятствует ни одно элементарное событие из , т. е. оно совпадает с пустым множеством ; достоверному событию благоприятствуют все события пространства .
Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных равновозможных событий, благоприятствующих наступлен ю событ я А, к числу элементарных равновозможных со-
бытий: |
|
|
|
|
С |
Р(А) |
m |
. |
(1.14) |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
Рассмотр м некоторую о ласть. Если вероятность попадания |
||||
случайной точки в лю ую часть |
пропорциональна мере этой |
|||
(дл не, площади, о ъёму) не зависит от её расположения и |
||||
области |
|
|
|
|
формы, то может ыть спользовано геометрическое определение ве- |
||||
роятности: пусть геометрическая мера всей области SD, а геометриче- |
|||
ская мера части этой о ласти, попадание в которую благоприятствует |
|||
|
области |
||
данному событию, есть Sd |
, то вероятность события равна: P Sd / SD . |
||
Задача 1. Монета |
рошена два раза. Найти вероятность того, |
||
что хотя бы один раз появится герб. |
|||
Решение. Пространство элементарных событий представляет |
|||
собой множество: |
А |
||
|
|
||
1– герб на первой монете, герб на второй монете; |
|||
2 |
– герб на первой монете, цифра на второй монете; |
||
3 |
– цифра на первой монете, герб на второй монете; |
||
4 |
– цифра на первой монетеД, цифра на второй монете. |
||
|
|
|
И |
Событие А (выпадение хотя бы одного герба) = 1, 2 , 3 ,
1, 2 , 3, 4 . Следовательно, Р(А) 3/ 4 0,75 .
Задача 2. В урне 3 белых и 9 чёрных шаров, из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался чёрным (событие А)?
Решение. Число случаев, благоприятствующих событию А, равно 9. Число всех равновозможных случаев равно 12 (9+3). Следова-
тельно, Р(А) 9 /12 0,75 .
Задача 3. В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара
16
белые (событие А)?
|
Решение. |
Найдём |
число |
|
элементарных |
событий: |
||||||||
n |
2 |
11 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11 |
|
|
|
55. Число случаев, |
благоприятствующих событию |
|||||||||
1 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А, можно определить по формуле |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
4! |
|
|
2 3 4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
m С4 |
|
|
|
|
|
6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2!2! |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
||||
|
т. к. белых шаров 4, а выбираем из них 2. Тогда |
|||||||||||||
поставленными |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р |
m |
6/55 0,109. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
СЗадача 4. Десять различных книг расставляются наудачу на од- |
||||||||||||||
ной полке. Найт вероятность того, что три определённые книги ока- |
||||||||||||||
жутся |
|
|
|
рядом. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
бА |
|
|||||||||
|
Решен . |
Представим се е, что три определённые книги связа- |
||||||||||||
ны вместе. Тогда ч сло возможных способов расположения связки на полке равно ч слу перестановок из 8 элементов (связка плюс оставшиеся 7 кн г), т. е. Р8 8!. Внутри связки три книги можно распределить Р3 3! раз. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждой из Р8 ком инаций. Поэтому число m благоприятствующих случаев равно Р8 Р3. Число равновозможных исходов, поставленных в соответствие опыту, n Р10 10! Таким образом, исходная вероятность
Р |
Р8 Р3 |
|
8!3! |
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 |
|
1 |
0,067. |
||||||
Р10 |
|
|
|||||||||||
|
|
10! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
15 |
||||||||||
Задача 5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, нахо- |
|||||||||||||
дящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена |
|||||||||||||
монета радиусом r a. Найти вероятностьДтого, что монета не пересечет |
|||||||||||||
ни одной из прямых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Точка М (центр монеты) может с равной вероятностью |
|||||||||||||
попасть в любую точку отрезка АВ, перпендикулярного параллельным |
|||||||||||||
прямым; длина отрезка АВ равна 2а (рис. 1.1). Данному событию бла- |
|||||||||||||
гоприятствует попадание центра монеты в любуюИточку отрезка СД, |
|||||||||||||
длина которого равна 2а 2r Следовательно, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
P(A) |
дл.CД |
|
2а 2r |
1 |
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
дл.АВ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2а |
a |
|
|
|
|||
17
АВ
С0 С Д
средиР с. 1.1. Графическое изображение условия задачи
Задачи для решения в аудитории
2.БуквыбАа, а, в, к, к, о, х написаны на отдельных карточках. Какова вероятность того, что, извлекая эти карточки по одной наудачу (без возвращения о ратно), получим в порядке их выхода слово "Каховка"?
3.На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготов-
лены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 кинескопов окажется 3 кинескопаДЛьвовского завода.
4.Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующих событий:
а) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем; б) сумма выпавших очков равна восьмиИ, если известно, что раз-
ность их равна четырем.
5.На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них одна за другой извлекаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.
6.Тот же вопрос, что в задаче 2, но первая карточка после извлечения кладется обратно и смешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается.
7.На шести карточках написаны буквы к, а, р, е, т, а. После тщательного перемешивания берут наудачу по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ракета»?
8. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты,
18
студент подготовил 50. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?
9. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно: А – шары одного
Сцвета; В – шары разных цветов?
10. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня л шь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
договорились11. Брошены две гральные кости. Найти вероятность следующих событ й:
а) сумма выпавш х очков равна восьми, а разность – четырем; б) сумма выпавш х очков равна восьми, если известно, что раз-
13.В бАлифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом
из этажей, от второго и выше. Найти вероятности следующих событий: А – все пассажиры выйдут наДчетвертом этаже; В – все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже); С – все пассажиры выйдут на разных этажах.
14.Одновременно бросают 2 игральные кости, на гранях кото-
рых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьмиИ?
15.В коробке содержится 6 одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
16.Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.
17.В ящике два отделения (верхнее и нижнее), в которые положены наудачу две тетради. Какова вероятность того, что в каждом отделении будет находиться одна тетрадь?
19