Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2078.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

§7. Важнейшие примеры распределений

В настоящем параграфе приводятся наиболее часто встречаю-

щиеся типы распределений непрерывных и дискретных случайных величин и примеры их применения.

С1. Биномиальное распределение

Рассмотр м сер ю из п независимых испытаний, в каждом из

1, 2, ... , п.

которых вероятность наступления события А равна р. Случайная ве- возможнымиличина Х означает ч сло наступления событий. Она дискретна и ее значен ями являются неотрицательные целые числа 0,

Чебышева.бЕсли случайнаяАвеличина Х = m имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием М(Х) = пр и дисперсией D(X) = npq, то для любого ε > 0 выполняется неравенство

Закон распределения случайной величины Х задается уже из-

вестной нам формулой (см. § 5 )

P (к) Ск pкqn к ,

n n

определяющей вероятность равенства Х= к.

Математ ческое ожидание Xравно

М(Х)= пр.

Дисперсия X равна

D(X)=npq.

Для биноминального распределения имеет место неравенство

m np

) 1

npq

или P(

) 1

Задача 1. Стрелок делает по мишени три выстрела. Вероятность

попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд

распределения числа попаданий и вычислить математическое ожида-

ние и дисперсию указанной случайной величины.

Решение. Случайная величина Х –

число попаданий в мишень

при трех выстрелах – распределена по биноминальномуИзакону, её

возможные значения 0, 1, 2, 3.

P(x 0) C30 p0q3

0,73

0,343;

P(x 1) C3 p

0,3 0,7

0,441;

1!2!

2		2		1	3!		2
P(x 2) C3	p		q			0,3		0,7 0,189;
P(x 2) C3	p		q		2!1!	0,3		0,7 0,189;
					2!1!

P(x 3) C33 p3q0 0,33 0,027.

Ряд распределения случайной величины Х приведем в табл. 1.12.

Таблица 1.12

0,343

0,441

0,189

0,027

реди

2. Нормальный закон распределения

законов распределения, которым подчиняются встре-

чающиеся на практ ке случайные величины, чаще всего приходится

бА

иметь дело с нормальным законом распределения. В частности, нор-

мальный закон распределения имеет фундаментальное значение при

обработке результатов

спытаний или эксперимента.

Функц я нормального распределения

х a 2

F(х)

е 2

dx,

где а и σ2 – параметры распределения, представляющие собой соот-

ветственно математическое ожидание и дисперсию случайной вели-

чины х.

Нормальная плотность вероятности

x a 2

2 2

(1.41)

На рис. 1.15 приведены графикиДнормальной плотности вероят-

ностей для различных значений дисперсии и математического ожида-

ния.

График нормальной плотности вероятности имеет максималь-

ную ординату при х=а. Через эту же ординату проходит ось симмет-

рии кривой.

Поэтому у случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения, значения математического ожидания, медианы и моды совпадают между собой.

F(x)
1,0	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6
С
0,75
0,5
и
0,25
бА
0

Р с. 1.14. Графики функции нормального распределения:

1, 2, 3–а1=а2=а3=а; σ1< σ2< σ3; 2, 4, 5, 6 – а2< а4< а5< а6; σ2= σ4= σ5= σ6

1	f(х)
1	Д
2	Д
2		4	5
3			И
3
	а	а4	а5

Рис. 1.15. Графики нормальной плотности вероятности:

1, 2, 3–а1=а2=а3=а; σ1< σ2< σ3; 2, 4, 5, 6 – а2< а4< а5< а6; σ2= σ4= σ5= σ6

Если в выражении функции распределения и плотности вероятности перейти к новой переменной, называемой нормированной случайной величиной

		z	x a				,								(1.42)
		z					,								(1.42)
то получим
то получим									x a
									x a				2
				1								z
												z

	F(z) F(х)								е 2					dz	(1.43)

					2
и					2
и
С						1		2
		z							e	z	.				(1.44)
										2

						2
						2
бА

Выражен е (1.43) представляет собой функцию нормального закона распределен я нормированной случайной величины (1.42) и на-

зывается норм рованной функцией нормального распределения.

Функц я (1.44) является плотностью вероятности нормированного нормального распределения. Значения этой функции для различных z приведены в прил.1. С нормальной плотностью вероятности

(1.41) функция (1.44) имеет следующую связь:
x 1 z .	(1.45)

Д
Выражения (1.43) и (1.44) показывают, что если случайная ве-

личина х распределена нормально со средним, равным а, и дисперсией, равной σ2, то нормированная случайная величина z (1.42) также имеет нормальное распределение со средним, равным нулю, и дис-

персией, равной единице.

Вероятность нахождения в интервале (–∞, х1) случайной вели-

чины X, следующей нормальному закону распределения, на основа-

нии (1.29) и (1.43), определится как

Р Х х

(1.46)

е 2

или, что легко доказать,

Р Х х 0,5

dz .

(1.47)

е 2

2 0

Интеграл с переменным верхним пределом вида

	Ф z			1				z								(1.48)
								z
								е 2			dz

					2
					2		0
носит название функции Лапласа. Геометрически функция Лапласа
представляет собой площадь под кривой φ(z) в промежутке от 0 до z
С
(рис. 1.16). Значения этой функции приведены в прил. 2.
ледует иметь в виду, что
Ф(–z) = – Ф(z); Ф(–∞) = –1/2; Ф(0)=0; Ф(∞) = 1/2.																(1.49)
учетом (1.48) вероятность нахождения в интервале (–∞; x1)
случайной вел ч ны Х определится из выражения
и																(1.50)
		Р(Х<х1)=0,5+Ф(z1).														(1.50)
								f(z)
бА
				0,4			-
				0,3 -
				0,2 -
									Ф(z)
				0,1		Д
				0,1			–
-3	-2	-1					0				1		2		3
Рис. 1.16. Геометрическое представление функции Лапласа
Для интервала (x1; х2) соответствующую вероятность можно
подсчитать на основании (1.42) и (1.50) как													И
где	Р(х1<Х х2)=Ф(z2) – Ф(z1),															(1.51)
где			x1	a								x2	a
	z		x1	a				и z		2		x2	a	.		(1.52)
	1									2

Пользуясь указанными соотношениями и прил. 2, легко можно

определить, что вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал а ± σ, составляет – P ≈ 0,68; в интер-

вал а±2σ – ≈ 0,95 и в интервал а+3σ – P ≈ 0,997.

Нетрудно показать, что математическое ожидание и дисперсия

случайной величины, распределенной по нормальному закону, равны Са и σ2 соответственно, т. е.

М(Х) = а; D(X) = σ2.

Задача 2. Образцы из прессованного дюралюминиевого профи-

ля испытывают на разрыв с целью определения предела прочности σв.

Определвть вероятностьычислепопаданиянных значения предела прочности ис-

пытываемого образца в интервал (43		кгс/мм2; 47 гс/мм2), если для
случайной вел	Х=σв; a=45,3кгc/мм		2	и σ	2
					=1,13 кгс/мм .
Решен е. Пользуясь формулами (1.52), находим
z	43 45,3 2,03 и	z		2	47 45,3	1,50.

1	1,13				1,13

По пр л. 2 для значений z1и z2 определяем

Ф(z1) =Ф(–2,03) = –Ф (2,03) = –0,4788

Ф(z2) = Ф(1,50) = 0,4332.

На основании формулы (1.51) находим

Р(43 кгc/мм2<σв 47 кгс/мм2) =Ф(1,50) – Ф(2,03)=0,4332+0,4788=

=0,912.	Д
Приведенные расчеты показывают, что если испытаниям на раз-
рыв подвергнутьбАбольшое число образцов, то около 90% из них будут

иметь значения предела прочности, лежащие в указанных интервалах.

Задача 3. Длина изготавливаемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами M (Х ) 1,5 см; σ = 0,2 смИ. Найти вероятность бра-

ка, если допускаемые размеры детали должны быть 15 0,3 см. Какую точность длины можно гарантировать с вероятностью 0,97?

Решение.

а) Р(х М(Х) 0,3) 2Ф(0,3),

т.к. параметр a M (Х ); 0,3 для нормального закона распределения.

P(x 15 0,3) 2Ф(0,3) 2 0,4332 0,8664 (см. прил. 2). 0,2

Вероятность брака

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.9 Mб212072.pdf
#
07.01.20212.9 Mб362073.pdf
#
07.01.20212.9 Mб232074.pdf
#
07.01.20212.91 Mб542075.pdf
#
07.01.20212.92 Mб132076.pdf
#
07.01.20212.92 Mб602078.pdf
#
07.01.20212.93 Mб232079.pdf
#
07.01.2021348.55 Кб17208.pdf
#
07.01.20212.95 Mб422080.pdf
#
07.01.20212.95 Mб32081.pdf
#
07.01.20212.96 Mб142082.pdf