1671

УДК 514.18(075) ББК 22.151 _3я73 К 93

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации, Г.С. Пианов (Московский государственный упниерситет леса); Доктор технических наук, профессор, М.Д. Вертинская (Иркутский государственный технический университет)

Работа создана на основе аналитической программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009 2010 годы)"; мероприятие 2 "Проведение фун­ даментальных исследований и области естественных, технических и гуманитар­ ных паук. Научно методическое обеспечение развития инфраструктуры вузов­ ской науки"; проект "Синтетическое моделирование технических изделий и мно­ гокомпонентных, многофак торных процессов".

К 93 Курс пачерчUICIMIOH геометрии на основе геометрического моделирова­ ния: хчебннк ' В.Я. Волкон, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцсва. - Омск: Изд-но С'ибЛДИ. 20)0. 253 с,

ISKN 47S-5 1>05174-01-8

Киша возникла ш лекционных курсов, прочитанных авторами в универси­ тетах юрода Омска и содержавших основы современной начертательной гео­ метрии. Она охватываем почти все традиционные разделы начертательной гео­ метрии, но imaiaci их е более общей точки зрения.

Киша расечныма на студентов университетов, магистрантов, аспирантов, а также на мрепо тншелей начертательной геометрии и научных работников в смежных облас n i x .

1абл. 3. Мл. l i i i O j i H o i p . ' . 38 назв.

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемая книга предназначена служить пособием по курсу начертательной геометрии. Задача, которую она должна решать, со­ стоит в том, чтобы в наибольшей степени приблизить курс начерта­ тельной геометрии к курсу высшей математики и её разделам. Авторы исходили из следующего методического положения: доступно, мак­ симально наглядно, конструктивно, на достаточно хорошем научном уровне изложить основные разделы начертательной геометрии, необ­ ходимые студентам, магистрантам, аспирантам университетов, пре­ подавателям вузов и инженерно-техническим работникам, желающим повысить свои знания в области начертательной геометрии. Авторы считают начертательную геометрию разделом математики, изу­

чающим теорию конструктивных методов отображения про­ странств различной конечной размерности и различной структу­ ры друг на друга.

Написанием этой книги авторы выражают свою озабоченность проявившейся в последнее время тенденцией принижать значение ма­ тематических основ и конструктивных методов начертательной гео­ метрии и усиливающимся стремлением подменить изучение геомет­ рии как математической науки изучением компьютерных реализаций частных методов начертательной геометрии. Поэтому эта книга явля­ ется, прежде всего, учебником, с помощью которого студенты, маги­ странты, аспиранты и преподаватели должны иметь возможность оз­ накомиться с основными принципиальными вопросами и спецификой теории и методов начертательной геометрии.

Авторы не видят принципиальных трудностей и препятствий для изложения методов построения конструктивных моделей конечно­ мерных линейных пространств, и поэтому не стали ограничивать ма­ териал учебника только моделью Монжа трехмерного пространства. Естественно связывать наглядные представления с моделями одно­ мерных, двумерных и трехмерных пространств. Но такой подход к теории начертательной геометрии, излагаемый в многочисленных, издающихся в настоящее время, пособиях, на взгляд авторов, являет­ ся устаревшим. Теория построения конструктивных моделей, обоб­ щающих модель Монжа, сохраняет свой геометрический характер при переходе к многомерным (конечномерным) пространствам. Авто­ ры стремились подчеркнуть тесную связь теории множеств, линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрий, некоторых

з

разделов алгебраической геометрии и конструктивной (начертатель­ ной) геометрии.

С этой целью некоторые главы книги содержат более глубокий и широкий материал, по сравнению с традиционными учебниками. Особое внимание в книге уделено конструктивной теории плоских и пространственных кривых. В имеющихся учебниках но начертатель­ ной геометрии этому вопросу уделяется очень мало внимания. Тради­ ционно считается, что теория кривых второго порядка - это предмет изучения аналитической геометрии, теория плоских и пространствен­ ных кривых высшего порядка предмет изучения алгебраической геометрии, изучение дифференциальных окрестностей кривых - предмет изучения дифференциальной геометрии. Поэтому, в лучшем случае, в курсах начертательной геометрии излагаются некоторые общие проекционные свойства кривых линий, что явно не удовлетво­ ряет современным требованиям к высшему образованию. Кроме того, теория кривых играет огромную роль в приложениях геометрии, на­ пример, н вычислительной геометрии при проектировании различных технических объектов, в кинематической геометрии при разработке плоских и пространственных схем различных кинематических меха­ низмов и других приложениях.

Такой раздел, как теория поверхностей изложена в книге, наобоpoi, очень кратко. Это объясняется отсутствием достаточно полной теоретической основы построения конструктивных моделей поверх­ ностей. Поэтому авторы принципиально отказались от описания консфуктивных свойств таких элементарных поверхностей, как поверх­ ности второго порядка, полагая, что они достаточно полно описыва­ ются в традиционных курсах аналитической и начертательной гео­ метрии. В предлагаемой книге поверхности рассматриваются как од­ номерные множества линий, определенные необходимым множест­ вом условий.

В книге достаточно подробно рассмотрена тема "Позиционные ыдачи". В отличие от традиционного изложения этой темы авторами предлагается единый подход к ее конструктивному рассмотрению, основанный на теоретико-множественном представлении множества пересечения в евклидовом пространстве. Известные в учебной, мето­ дической и научно-методической литературе методы решения пози­ ционных задач укладываются в логическую схему того или иного конструктивного алгоритма, вытекающего из предложенного в учеб­ нике общего подхода.

Изложение некоторых вопросов носит информативный характер и имеет целью привлечь внимание читателей к этим вопросам, ука­ зать на возможность их применения, дать стимул к дальнейшему изу­ чению. К таким вопросам относятся, например, анализ и синтез гео­ метрических условий при построении моделей конечномерного гео­ метрического множества, теория построения конструктивных моде­ лей конечномерных аффинных и проективных пространств, связь дифференциальных и конструктивных инвариантов кривых и поверх­ ностей, теория построения аналитических моделей линейчатых и циклических поверхностей и гиперповерхностей.

Развитие теории и методов начертательной геометрии, как разде­ ла математики, авторы видят в создании двух различных курсов -

курса элементарной начертательной геометрии, включающего в себя те разделы, которые в настоящее время принято относить к на­ чертательной геометрии, и курса высшей начертательной геомет­ рии, некоторые элементы которого нашли своё отражение в этой кни­ ге.

'Авторы несут коллективную ответственность за книгу и хотят указать, что каждый из них в большей или меньшей степени прини­ мал участие при написании каждой ее главы.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

1.1.Множества (основные понятии)

Под множеством понимается объединение по какому-либо при­ знаку в единое целое совокупности объектов произвольной природы. Объединенные объекты называются элементами множеств. Если эле­ ментами множеств являются точки, прямые или кривые линии, плос­ кости или поверхности, гиперплоскости или гиперповерхности, то есть объекты, изучаемые в геометрии, то такие множества называют­ ся геометрическими. Поскольку мы будем рассматривать только гео­ метрические множества, то для удобства будем впредь называть их просто множествами. Множество может быть конечным, если числоего элементов конечно, то есть может быть задано натуральным чис­ лом, или бесконечным, если число его элементов бесконечно, то есть не может быть посчитано. Множество, не содержащее ни одного эле­ мента, называется пустым и обозначается знаком 0 Если А - неко­ торое множество и Р - некоторое утверждение, то запись {.т t А : Р} означает: множество элементов из А , для которых справедливо ут­ верждение Р. Например, множество А = \(х,у) е R2 :х~ + у' < 4} представляет собой совокупность всех точек (х,у), принадлежащих закрытому кругу радиуса 2 с центром в начале системы декартовых координат числовой плоскости R2. Различают множества дискретные, например, множество точек числовой прямой, соответствующие це­ лым числам, и множества непрерывные, например, множество точек той же прямой, соответствующие действительным числам. В послед­ нем случае действительное число является параметром непрерывного множества точек прямой. Непрерывности множества значений пара­ метра соответствует непрерывность множества точек прямой и на­ оборот. Параметром непрерывного множества называется действи­ тельное число а или наборы действительных чисел (а,,о,, ... ,а я ), служащие для выделения элемента множества. Если каждый элемент множества Л принадлежит множеству 5, то А является подмноже­ ством множества В .

Геометрическое пространство представляет собой множество с элементами, между которыми действует определенная структура от­ ношений (система аксиом). Та или иная структура отношений опре-

6

деляст ту или иную геометрию данного пространства. Например, евк­ лидову, аффинную, проективную геометрии [1, 10, 37]. В последую­ щем изложении понятия "геометрическое пространство" и просто "пространство" будем считать тождественными. Если элементом про­ странства является точка, то пространство называется точечным, если прямая, то - линейчатым. Важной числовой характеристикой геомет­ рических множеств является размерность, то есть число независимых параметров, выделяющих элемент из множества элементов.

Над множеством могут быть выполнены различные операции [30J: объединение, разность, пересечение, декартово произведение, разбиение на подмножества, расширение [31] и др.

Декартовым произведением двух множеств называется множест­ во элементов, составленных из всех пар элементов, по одному при­

ва Х1,Х2,...,Хп есть непересекающиеся классы разбиения, например,

расширения можно подойти к понятию линейных множеств [31]. Множество считается линейным, если с любыми своими двумя точ­ ками оно содержит прямую, через них проходящую. Точка считается нульмерным линейным множеством, прямая - одномерным линей­ ным, плоскость - двумерным линейным, пространство Еъ - трехмер­ ным линейным множеством, пространство Е„ - «-мерным линейным множеством. Таким образом, множество считается линейным, если оно совпадает со своим линейным расширением, то есть X =< X >. Если оно не совпадает со своим линейным расширением, то оно счи­ тается нелинейным. Кривая линия — одномерное, поверхность — дву­ мерное нелинейные множества.

7

отображается на все множество образов).

Если отображение одновременно инъективно и сюръективно, то оно называется взамнооднозначным отображением множества А' на множество Y или биекцией. Множества X и Y в этом случае назы­ ваются эквивалентными.

Рассмотрим пример. Пусть зада­ ны окружность к и прямая Ь, прохо­ дящая через ее центр О (рис. 1.2). Установим соответствие между ок­ ружностью к и прямой b проециро­ ванием по направлению прямой а. Очевидно, \ckxb и А есть график соответствия -- (A,k,h), устанавли­ ваемого проецированием в направлс-

вия, устанавливаемого те же направлением проецирования. Очевидно, соответствие РМЕ—>Ь является отображением. Это отображение инъективно, так как при произвольных разных точках Р и М получа-

ем F(P) - К; F(M) = Т, К ФТ . Однако оно не является сюръекцией, поскольку F(PME~) = \КЕ\ Ф Ь.

Для биективного отображения F существует отображение F~l, обратное к F: F' \у) = х. Если в отображении имеет место F(x) = х, то х называется инвариантным элементом отображения. Если для

Е. Известны свойства отображений [30], из которых отметим ниже­

равен пересечению образов.

2.Для любых двух подмножеств Yx и Уг множества Y прообраз

Рис. 1.3. Виды соответствий

Применение различных видов преобразований плоскости и про­ странства приводит к различным решениям задач начертательной геометрии и к упрощению этих решений [15, 16, 22, 36].

Последовательное образование различных видов соответствий между двумя множествами можно представить схематично следую­ щим образом (рис. 1.3).

1.3.Операция проецирования

Пусть <2" - множество, элементу а которого соответствует набор п параметров (ai,a2,—,an). Пусть, например, а„ =-t, где / -фиксиро­ вание число. Тогда во множестве Q1 выделяется подмножество Ф"~], элемент которого определяется набором из п-\ параметров. Напри­ мер, в пространстве i?3 каждая точка определена тройкой чисел

(х,у,г), я если z - t, то Ф2 есть плоскость, каждая точка которой оп­ ределяется набором из двух параметров. Существует непрерывное однопараметрическое множество изменяющихся значений параметра а„, а, следовательно, и непрерывное однопараметрическое множество ( и - I ) - м е р н ы х подмножеств, каждому из которых соответствует оп­ ределенное значение этого параметра. При этом никакие два подмно­ жества не пересекаются, и объединение всех подмножеств есть мно­ жество Q". Эти подмножества представляют собой классы эквива­ лентности. Два элемента a cz Q" и Ь с Q" с соответствующими набо­ рами (а-1,а2,—,а„) и (b],b2,...Jin) будут принадлежать некоторому

подмножеству Ф"~' множества Q*2, если an=bn=t, где / - фиксиро­ ванное действительное число. Можно показать, что введенное таким образом условие инцидентности элементов одному (и - 1)-мерному подмножеству есть отношение эквивалентности, а само подмножест­ во - (н U - мсрпый класс эквивалентности.

F.CJIH фиксируются два параметра из набора (а1ьа2,...,ап), то из

{У1 выделяется подмножество Ф" 2. При непрерывном изменении значений этих двух параметров получаем непрерывное двухпараметрическое множество (л-2)—мерных подмножеств - классов эквива­ лент нос ги, попарно не пересекающихся и заполняющих все множест­ во Q". Обобщая рассуждения, приходим к выводу, что при фиксиро­ вании т параметров из набора (а1я а2,ап) множество Q1 разбива­ ется на т -параметрическое множество классов, в каждом из которых содержится (п — т)--параметрическое множество элементов. Имеет место тождество т + {п -т)-п. Обозначив (п~т) = 1, приходим к

следующей условной записи, разбиения множества Q1 на классы эк-

вивалентности: Q1 =фт(1\(jn + /) = «, где Ф " ^ - фактормножество

размерности т, состоящее из классов эквивалентности ф', каждый из которых представляет собой /-параметрическое множество элемен­

тов. Таким образом, можно записать: Q" - фт^ = [}<р'.

т

Основываясь на вышеизложенном, рассмотрим сущность опера­ ции проецирования. Между множествами X и Y пространства Е„ можно установить различные соответствия, сопоставляя с элементом

1.Через каждый элемент должен проходить один класс (fi.

2.Элементы пространства, через которые проходит множество

классов ф, либо не существуют, либо составляют некоторое множе­

ство ,к=0,\,2,...;к <п, которое исключается из операции нахож­

дения соответственных элементов. Класс ц/к, если он есть, называется центром или ядром проецирования.

Приведем примеры разбиения пространства Е3 на проецирующие классы. Фактормножествами пространства Е3 по отношению эквива­ лентности, представляющем собой разбиение этого пространства на

ские множества поверхностей. Рассмотрим вначале примеры проеци-

13

рующих фактормножеств [j(p . Очевидно, что эти фактормножества

2

представляют собой множества прямых или кривых линий (плоских или пространственных). К ним относятся известные в начертательной геометрии нижеследующие множества.

1. Связка прямых с собственным 5 (рис. 1.5) или несобствен­ ным (рис. 1.6) центром - ядром проецирования. В обоих случаях связка проецирующих прямых позволяет выполнить линейное ото­

Связка прямых представляет собой конгруэнцию первого порядка (число прямых конгруэнции, проходящих через точку пространства) и нулевого класса (число прямых конгруэнции, принадлежащих плос­

положение каждой прямой этого множества определяется положени­ ем ее точки пересечения с линией Ъ, определяемым расстоянием от некоторой точки Oheb, измеренным по линии Ь. Таким образом, множество прямых рассматриваемой конгруэнции двухпараметрично. В начертательной геометрии для проецирования чаще всего исполь­ зуются конгруэнции прямых, фокальными линиями которых являют-

14

1. Циклическая конгруэнция с плоскостью параллелизма (рис.

1.9). Она представляет собой двухпараметрическое множество ок­ ружностей в пучке параллельных плоскостей и с центрами окружно­ стей на линии а, которая в частности может быть прямой. Каждой плоскости Е этого пучка принадлежит пучок (0) концентрических

центров окружностей, исключена из проецирования. Использование циклической контруэнции в качестве проецирующего фактормноже­ ства приводит к нелинейному проецированию. Вели а - прямая ли­ ния, то прямая Ъ пространства отображается проецированием на плоскость проекций в кривую второго порядка, поскольку является сечением однополостного гиперболоида вращения (а,Ь) с осью вра­ щения а.

2. Винтовая конгруэнция (рис. 1.10). Может представлять собой двухпараметрическое множество соосных цилиндрических винтовых линий постоянного винтового шага h и одного направления. Винто­ вой проекцией прямой линии Ъ пространства на плоскость проекций

3.Нормальная конгруэнция (рис. 1.11). Представляет собой

нено как на саму поверхность 27 (поверхность проекций), так и на плоскость пространства (плоскость проекций). Очевидно, отображе­ ние пространства нормальной конгруэнцией является нелинейным.

В качестве проецирующего фактормножества = \}<р1 могут быть использованы: пучок плоскостей с собственной или несобствен­ ной осью, пучок сфер - концентрических или эксцентрических (если координаты центра и радиус сферы связаны какой-либо зависимо­ стью), пучок соосных цилиндрических поверхностей вращения, пучок соосных круговых конических поверхностей с общей или разными вершинами и другие множества поверхностей.

1.4.Аксиоматическое построение евклидова пространства

Основным элементом евклидова пространства является точка - неопределяемый геометрический объект, если не считать определе­ ния, данного Евклидом (330 - 275 г.г. до н.э.), что "точка есть то, что не имеет частей". Формально, точку можно считать нульмерным про­ странством Ед. Чтобы определить одномерное пространство Ех, необ­ ходимо иметь прямую, существование которой задается первой ак­ сиомой принадлежности, выбрать на ней любую точку, которую при­ нимаем за начало отсчета, тогда любая точка прямой определится за­ данием одного числа (координаты), которое является выражением расстояния данной точки от начала координат. Таким образом, одно­ мерное пространство Ь\ линейно по определению и эквивалентно ли­ нейному однопараметрическому множеству точек.

Двумерное пространство Е2 есть плоскость, существование кото­ рой определяется четвертой аксиомой принадлежности. Поскольку аксиомы определяют существование трех точек, принадлежащих Е2, то одну из них всегда можно принять за начало отсчета координат, а две другие точки зададут две оси координат, не обязательно между собой перпендикулярные. Любая точка А е Е2 определяется двумя числами - координатами (х,у) = (х1,х2), геометрический смысл кото­ рых заключается в длинах отрезков, отсекаемых на соответствующих координатных осях от начала координат прямыми, проходящими че­ рез точку А, параллельно другой оси координат. Пространство Е2 линейно по определению, и представляет собой линейное двухпара- v метрическое множество точек. Очевидно, что обобщение этих рассу­

Поэтому группа аксиом принадлежности единственным образом расширяется от:

1)для любых грех точек, не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость и притом только одна, прохо;гящая через эти точки;

2)если две точки прямой лежат в плоскости, то всякая точка этой прямой лежит в этой плоскости;

3)если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку;

до:

1)для любых (к + 2) точек, не лежащих в одном и том же про­ странстве Ек, существует пространство Ек+Х и притом только одно, проходящее через эти точки;

эти пространства — линейные, то они называются соответственно 0-

В Еп можно ввести координаты. Поскольку аксиомы утверждают существование (и + 1) точек, то одну из них можно принять за начало координат, а на остальных п точках построить координатные оси, не обязательно перпендикулярные друг другу. Тогда между упорядочен­ ными наборами чисел (х1,...,хп) и точками пространства Еп будет ус­ тановлено взаимно однозначное соответствие. Геометрический смысл каждого числа xh / = 1, п будет таким же: xf выражает длину от­ резка, отсекаемого от начала координат О на числовой оси Ох( ги­ перплоскостью, проходящей через данную точку параллельно осталь­ ным осям координат.

На основе аксиом принадлежности пространства Еп докажем теоремы о пересечении и линейном расширении двух подпространств

сиоме принадлежности эти точки определяют (к + р + Х)—мерное под­ пространство. Следовательно, имеем теорему: для любых двух под­

аЕ будет определяться р+\—г—\=р-г независимыми точками.

1.5.Операция проецирования в пространстве Еп

значно. По теореме о пересечении подпространств точка А' должна быть пересечением Ек и Еп_к, и, очевидно, что АеЕп.к. Следова­ тельно, по аксиоме принадлежности Еп_ к кроме точки А должно оп­

но называют линией связи проекций. Итак, проецирование точки на

19