1671
.pdfФедеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
(СибЛДИ)
В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, K.JI. Панчук, Н.В. Кайгородцева
КУРС НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Учебник
Допущено Научно-методическим советом по начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графике Минобрнауки РФ в качестве учебного пособия для аспирантов, магистрантов и студентов вузов инженерно—технических специальностей
Омск Издательство СибАДИ
2010
УДК 514.18(075) ББК 22.151 _3я73 К 93
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации, Г.С. Пианов (Московский государственный упниерситет леса); Доктор технических наук, профессор, М.Д. Вертинская (Иркутский государственный технический университет)
Работа создана на основе аналитической программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009 2010 годы)"; мероприятие 2 "Проведение фун даментальных исследований и области естественных, технических и гуманитар ных паук. Научно методическое обеспечение развития инфраструктуры вузов ской науки"; проект "Синтетическое моделирование технических изделий и мно гокомпонентных, многофак торных процессов".
К 93 Курс пачерчUICIMIOH геометрии на основе геометрического моделирова ния: хчебннк ' В.Я. Волкон, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцсва. - Омск: Изд-но С'ибЛДИ. 20)0. 253 с,
ISKN 47S-5 1>05174-01-8
Киша возникла ш лекционных курсов, прочитанных авторами в универси тетах юрода Омска и содержавших основы современной начертательной гео метрии. Она охватываем почти все традиционные разделы начертательной гео метрии, но imaiaci их е более общей точки зрения.
Киша расечныма на студентов университетов, магистрантов, аспирантов, а также на мрепо тншелей начертательной геометрии и научных работников в смежных облас n i x .
1абл. 3. Мл. l i i i O j i H o i p . ' . 38 назв.
ISBN 978-5-905I7-1-OI-8 |
.10. Юрков, К.Л. Панчук, |
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая книга предназначена служить пособием по курсу начертательной геометрии. Задача, которую она должна решать, со стоит в том, чтобы в наибольшей степени приблизить курс начерта тельной геометрии к курсу высшей математики и её разделам. Авторы исходили из следующего методического положения: доступно, мак симально наглядно, конструктивно, на достаточно хорошем научном уровне изложить основные разделы начертательной геометрии, необ ходимые студентам, магистрантам, аспирантам университетов, пре подавателям вузов и инженерно-техническим работникам, желающим повысить свои знания в области начертательной геометрии. Авторы считают начертательную геометрию разделом математики, изу
чающим теорию конструктивных методов отображения про странств различной конечной размерности и различной структу ры друг на друга.
Написанием этой книги авторы выражают свою озабоченность проявившейся в последнее время тенденцией принижать значение ма тематических основ и конструктивных методов начертательной гео метрии и усиливающимся стремлением подменить изучение геомет рии как математической науки изучением компьютерных реализаций частных методов начертательной геометрии. Поэтому эта книга явля ется, прежде всего, учебником, с помощью которого студенты, маги странты, аспиранты и преподаватели должны иметь возможность оз накомиться с основными принципиальными вопросами и спецификой теории и методов начертательной геометрии.
Авторы не видят принципиальных трудностей и препятствий для изложения методов построения конструктивных моделей конечно мерных линейных пространств, и поэтому не стали ограничивать ма териал учебника только моделью Монжа трехмерного пространства. Естественно связывать наглядные представления с моделями одно мерных, двумерных и трехмерных пространств. Но такой подход к теории начертательной геометрии, излагаемый в многочисленных, издающихся в настоящее время, пособиях, на взгляд авторов, являет ся устаревшим. Теория построения конструктивных моделей, обоб щающих модель Монжа, сохраняет свой геометрический характер при переходе к многомерным (конечномерным) пространствам. Авто ры стремились подчеркнуть тесную связь теории множеств, линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрий, некоторых
з
разделов алгебраической геометрии и конструктивной (начертатель ной) геометрии.
С этой целью некоторые главы книги содержат более глубокий и широкий материал, по сравнению с традиционными учебниками. Особое внимание в книге уделено конструктивной теории плоских и пространственных кривых. В имеющихся учебниках но начертатель ной геометрии этому вопросу уделяется очень мало внимания. Тради ционно считается, что теория кривых второго порядка - это предмет изучения аналитической геометрии, теория плоских и пространствен ных кривых высшего порядка предмет изучения алгебраической геометрии, изучение дифференциальных окрестностей кривых - предмет изучения дифференциальной геометрии. Поэтому, в лучшем случае, в курсах начертательной геометрии излагаются некоторые общие проекционные свойства кривых линий, что явно не удовлетво ряет современным требованиям к высшему образованию. Кроме того, теория кривых играет огромную роль в приложениях геометрии, на пример, н вычислительной геометрии при проектировании различных технических объектов, в кинематической геометрии при разработке плоских и пространственных схем различных кинематических меха низмов и других приложениях.
Такой раздел, как теория поверхностей изложена в книге, наобоpoi, очень кратко. Это объясняется отсутствием достаточно полной теоретической основы построения конструктивных моделей поверх ностей. Поэтому авторы принципиально отказались от описания консфуктивных свойств таких элементарных поверхностей, как поверх ности второго порядка, полагая, что они достаточно полно описыва ются в традиционных курсах аналитической и начертательной гео метрии. В предлагаемой книге поверхности рассматриваются как од номерные множества линий, определенные необходимым множест вом условий.
В книге достаточно подробно рассмотрена тема "Позиционные ыдачи". В отличие от традиционного изложения этой темы авторами предлагается единый подход к ее конструктивному рассмотрению, основанный на теоретико-множественном представлении множества пересечения в евклидовом пространстве. Известные в учебной, мето дической и научно-методической литературе методы решения пози ционных задач укладываются в логическую схему того или иного конструктивного алгоритма, вытекающего из предложенного в учеб нике общего подхода.
Изложение некоторых вопросов носит информативный характер и имеет целью привлечь внимание читателей к этим вопросам, ука зать на возможность их применения, дать стимул к дальнейшему изу чению. К таким вопросам относятся, например, анализ и синтез гео метрических условий при построении моделей конечномерного гео метрического множества, теория построения конструктивных моде лей конечномерных аффинных и проективных пространств, связь дифференциальных и конструктивных инвариантов кривых и поверх ностей, теория построения аналитических моделей линейчатых и циклических поверхностей и гиперповерхностей.
Развитие теории и методов начертательной геометрии, как разде ла математики, авторы видят в создании двух различных курсов -
курса элементарной начертательной геометрии, включающего в себя те разделы, которые в настоящее время принято относить к на чертательной геометрии, и курса высшей начертательной геомет рии, некоторые элементы которого нашли своё отражение в этой кни ге.
'Авторы несут коллективную ответственность за книгу и хотят указать, что каждый из них в большей или меньшей степени прини мал участие при написании каждой ее главы.
4 |
5 |
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
1.1.Множества (основные понятии)
Под множеством понимается объединение по какому-либо при знаку в единое целое совокупности объектов произвольной природы. Объединенные объекты называются элементами множеств. Если эле ментами множеств являются точки, прямые или кривые линии, плос кости или поверхности, гиперплоскости или гиперповерхности, то есть объекты, изучаемые в геометрии, то такие множества называют ся геометрическими. Поскольку мы будем рассматривать только гео метрические множества, то для удобства будем впредь называть их просто множествами. Множество может быть конечным, если числоего элементов конечно, то есть может быть задано натуральным чис лом, или бесконечным, если число его элементов бесконечно, то есть не может быть посчитано. Множество, не содержащее ни одного эле мента, называется пустым и обозначается знаком 0 Если А - неко торое множество и Р - некоторое утверждение, то запись {.т t А : Р} означает: множество элементов из А , для которых справедливо ут верждение Р. Например, множество А = \(х,у) е R2 :х~ + у' < 4} представляет собой совокупность всех точек (х,у), принадлежащих закрытому кругу радиуса 2 с центром в начале системы декартовых координат числовой плоскости R2. Различают множества дискретные, например, множество точек числовой прямой, соответствующие це лым числам, и множества непрерывные, например, множество точек той же прямой, соответствующие действительным числам. В послед нем случае действительное число является параметром непрерывного множества точек прямой. Непрерывности множества значений пара метра соответствует непрерывность множества точек прямой и на оборот. Параметром непрерывного множества называется действи тельное число а или наборы действительных чисел (а,,о,, ... ,а я ), служащие для выделения элемента множества. Если каждый элемент множества Л принадлежит множеству 5, то А является подмноже ством множества В .
Геометрическое пространство представляет собой множество с элементами, между которыми действует определенная структура от ношений (система аксиом). Та или иная структура отношений опре-
6
деляст ту или иную геометрию данного пространства. Например, евк лидову, аффинную, проективную геометрии [1, 10, 37]. В последую щем изложении понятия "геометрическое пространство" и просто "пространство" будем считать тождественными. Если элементом про странства является точка, то пространство называется точечным, если прямая, то - линейчатым. Важной числовой характеристикой геомет рических множеств является размерность, то есть число независимых параметров, выделяющих элемент из множества элементов.
Над множеством могут быть выполнены различные операции [30J: объединение, разность, пересечение, декартово произведение, разбиение на подмножества, расширение [31] и др.
Декартовым произведением двух множеств называется множест во элементов, составленных из всех пар элементов, по одному при
надлежащих |
разным |
исходным |
множествам, |
то |
есть |
АхВ- |
||||||
- {{а,Ь):а е |
A,b |
е В}. |
|
В |
общем |
|
случае |
АхВ^ВхА. |
Декарто |
|||
во произведение |
множеств точек |
координатных |
осей |
X и |
У |
|||||||
составляет |
|
множество |
точек |
евклидовой |
плоскости: |
|||||||
X х Y = {{х, у): х, у е] |
- |
=о,+оо[}. |
|
|
|
|
|
|
||||
Для |
множества |
X |
можно |
выполнить |
операцию |
разбиения: |
||||||
XIX; = {X, |
: X, |
*0, |
Х;Г\Х, |
= 0, |
\JX, |
= X). При этом подмножест |
ва Х1,Х2,...,Хп есть непересекающиеся классы разбиения, например,
пучок концентрических окружностей в евклидовой плоскости. |
|
||||
Линейным расширением двух различных точек х |
и у будет пря |
||||
мая, содержащая эти точки [31], что обозначается символом |
<х,у>. |
||||
Линейным расширением двух множеств |
X и |
У является объединение |
|||
линейных |
расширений всевозможных |
пар |
точек |
(х,у), то |
есть |
< X, У >= |
< Xj, yt>, xt• е X, у,: е У. С помощью операции линейного |
расширения можно подойти к понятию линейных множеств [31]. Множество считается линейным, если с любыми своими двумя точ ками оно содержит прямую, через них проходящую. Точка считается нульмерным линейным множеством, прямая - одномерным линей ным, плоскость - двумерным линейным, пространство Еъ - трехмер ным линейным множеством, пространство Е„ - «-мерным линейным множеством. Таким образом, множество считается линейным, если оно совпадает со своим линейным расширением, то есть X =< X >. Если оно не совпадает со своим линейным расширением, то оно счи тается нелинейным. Кривая линия — одномерное, поверхность — дву мерное нелинейные множества.
7
множество |
Y. |
Элемент |
у |
= F(x) называется образом элемента |
х. а |
х |
|||||
- прообразом элемента |
у |
в отображении |
F. |
|
|
|
|
||||
Рассмотрим |
частные |
случаи |
отображения. Если |
хг Ф х2 |
и |
||||||
F(x,) Ф F(x2) |
для Ухих2 |
g X , то F |
называется взаимно однозначным |
||||||||
отображением |
А" в Y или инъекцией (разным прообразом соответст |
||||||||||
вуют разные образы). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
F(X) |
- образ |
множества X |
в |
отображении |
F. |
Если |
||||
F(X)-Y, то |
|
|
называется сюръекцией |
(все |
множество |
прообразов |
отображается на все множество образов).
Если отображение одновременно инъективно и сюръективно, то оно называется взамнооднозначным отображением множества А' на множество Y или биекцией. Множества X и Y в этом случае назы ваются эквивалентными.
Рассмотрим пример. Пусть зада ны окружность к и прямая Ь, прохо дящая через ее центр О (рис. 1.2). Установим соответствие между ок ружностью к и прямой b проециро ванием по направлению прямой а. Очевидно, \ckxb и А есть график соответствия -- (A,k,h), устанавли ваемого проецированием в направлс-
|
|
|
|
|
Р |
Рис. 1.2. Интерпретация |
|
||||
нии прямой |
а. |
Соответствие |
|
|
|
отображения |
|
|
|
||
является |
отображением, |
поскольку |
|
|
|
|
|
||||
F(k) - | .ifl] с h . |
Это отображение |
не является |
инъекцией, |
так |
как |
||||||
/'( М ) F(N ) ^ Т, то есть разным точкам М и |
N |
окружности |
к соот |
||||||||
ветствует одна точка Т прямой |
Ь. Это отображение пе является |
||||||||||
сюръекцией, |
поскольку F{k) - [АВ] Ф Ъ , то есть все множество точек |
||||||||||
окружное [и |
А |
пе отображается |
проецированием по направлению |
||||||||
прямо)') с/ |
на всю прямую Ъ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
соответствие |
F = {А,РМЕ,Ь) |
между дугой |
РМЕ |
ок |
||||||
ружности |
к |
и |
прямой |
А, где |
АсРМЕхЬ и А |
есть график |
соответст |
вия, устанавливаемого те же направлением проецирования. Очевидно, соответствие РМЕ—>Ь является отображением. Это отображение инъективно, так как при произвольных разных точках Р и М получа-
ем F(P) - К; F(M) = Т, К ФТ . Однако оно не является сюръекцией, поскольку F(PME~) = \КЕ\ Ф Ь.
Для биективного отображения F существует отображение F~l, обратное к F: F' \у) = х. Если в отображении имеет место F(x) = х, то х называется инвариантным элементом отображения. Если для
подмножества |
Х\ |
с |
X |
выполняется F{X{) = Хх, |
то подмножество Хх |
инвариантно в |
отображении F. Для первого |
вышерассмотренного |
|||
примера точки |
L |
и |
Е |
являются инвариантными, для второго - точка |
Е. Известны свойства отображений [30], из которых отметим ниже
следующие. |
|
|
|
|
|
1. Для любых двух подмножеств Хх и Х2 |
множества |
X образ |
|||
пересечения |
содержится |
в пересечении их |
образов, |
то |
есть |
F(XX л ! , ) с |
Е(ХХ)(Л F{X2)• |
Образ пересечения |
в общем |
случае |
не |
равен пересечению образов.
2.Для любых двух подмножеств Yx и Уг множества Y прообраз
пересечения |
равен |
|
пересечению |
их прообразов, |
то |
есть |
|||||||||||
F |
'(Г, nY2) = F |
' ( ^ ) n F - 4 K 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Преобразованием |
множества |
X Ф 0 |
называется всякая |
биекция |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
этого |
множества |
на себя: |
|
Х-*Х. |
При |
этом |
всякое |
подмножество |
||||||||
Хх |
а X |
переходит |
в |
некоторое |
подмножество |
Х2 |
с X, |
то |
есть |
||||||||
F(XX) - Х2. Элемент |
х |
е X |
или подмножество |
Хх |
cr X называются |
||||||||||||
инвариантным |
элементом |
F(x) = х |
или |
инвариантным |
подмножест |
||||||||||||
вом |
F(X]) |
= Xl |
в |
преобразовании |
F. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Декартово |
Соответ |
|
|
|
|
Отобра |
Инъсюшя |
|
|
Преобра |
|||||||
|
Функция |
> |
|
|
Биекция |
||||||||||||
произведение |
|
ствие |
|
|
жение |
|
|
|
зование |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Сюр-ьекция |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.3. Виды соответствий
Применение различных видов преобразований плоскости и про странства приводит к различным решениям задач начертательной геометрии и к упрощению этих решений [15, 16, 22, 36].
Последовательное образование различных видов соответствий между двумя множествами можно представить схематично следую щим образом (рис. 1.3).
1 0
1.3.Операция проецирования
Пусть <2" - множество, элементу а которого соответствует набор п параметров (ai,a2,—,an). Пусть, например, а„ =-t, где / -фиксиро вание число. Тогда во множестве Q1 выделяется подмножество Ф"~], элемент которого определяется набором из п-\ параметров. Напри мер, в пространстве i?3 каждая точка определена тройкой чисел
(х,у,г), я если z - t, то Ф2 есть плоскость, каждая точка которой оп ределяется набором из двух параметров. Существует непрерывное однопараметрическое множество изменяющихся значений параметра а„, а, следовательно, и непрерывное однопараметрическое множество ( и - I ) - м е р н ы х подмножеств, каждому из которых соответствует оп ределенное значение этого параметра. При этом никакие два подмно жества не пересекаются, и объединение всех подмножеств есть мно жество Q". Эти подмножества представляют собой классы эквива лентности. Два элемента a cz Q" и Ь с Q" с соответствующими набо рами (а-1,а2,—,а„) и (b],b2,...Jin) будут принадлежать некоторому
подмножеству Ф"~' множества Q*2, если an=bn=t, где / - фиксиро ванное действительное число. Можно показать, что введенное таким образом условие инцидентности элементов одному (и - 1)-мерному подмножеству есть отношение эквивалентности, а само подмножест во - (н U - мсрпый класс эквивалентности.
F.CJIH фиксируются два параметра из набора (а1ьа2,...,ап), то из
{У1 выделяется подмножество Ф" 2. При непрерывном изменении значений этих двух параметров получаем непрерывное двухпараметрическое множество (л-2)—мерных подмножеств - классов эквива лент нос ги, попарно не пересекающихся и заполняющих все множест во Q". Обобщая рассуждения, приходим к выводу, что при фиксиро вании т параметров из набора (а1я а2,ап) множество Q1 разбива ется на т -параметрическое множество классов, в каждом из которых содержится (п — т)--параметрическое множество элементов. Имеет место тождество т + {п -т)-п. Обозначив (п~т) = 1, приходим к
следующей условной записи, разбиения множества Q1 на классы эк-
вивалентности: Q1 =фт(1\(jn + /) = «, где Ф " ^ - фактормножество
размерности т, состоящее из классов эквивалентности ф', каждый из которых представляет собой /-параметрическое множество элемен
тов. Таким образом, можно записать: Q" - фт^ = [}<р'.
т
Основываясь на вышеизложенном, рассмотрим сущность опера ции проецирования. Между множествами X и Y пространства Е„ можно установить различные соответствия, сопоставляя с элементом
х € X |
один |
или несколько |
элементов |
|
у е Y (рис. 1.4). Сопоставление элементов |
||||
может быть выполнено конструктивно. |
||||
Для этого необходимо выполнить разбие |
||||
ние пространства Еп на классы эквива |
||||
лентности: |
Еп = ф ' " ( / ) =[J(pl ^ |
т + 1 — п и |
||
отнести образ у и прообраз х к одному |
||||
классу |
эквивалентности q), который |
на |
||
зовем |
проецирующим классом. При |
вы |
|
боре способа проецирования, то есть раз |
|
Рис. 1.4. Операция |
биения пространства Е„ на проецирую |
|
щие классы, необходимо учитывать ни |
||
проецирования |
||
жеследующее. |
||
|
1.Через каждый элемент должен проходить один класс (fi.
2.Элементы пространства, через которые проходит множество
классов ф, либо не существуют, либо составляют некоторое множе
ство ,к=0,\,2,...;к <п, которое исключается из операции нахож
дения соответственных элементов. Класс ц/к, если он есть, называется центром или ядром проецирования.
Приведем примеры разбиения пространства Е3 на проецирующие классы. Фактормножествами пространства Е3 по отношению эквива лентности, представляющем собой разбиение этого пространства на
проецирующие классы, могут быть: Е3 =ф"(1-) |
= {J<pl - двухпарамет- |
|
2 |
рические множества линий и Е3 ~ф1^ ~{}(р2 |
- однопараметриче- |
ские множества поверхностей. Рассмотрим вначале примеры проеци-
13
12
рующих фактормножеств [j(p . Очевидно, что эти фактормножества
2
представляют собой множества прямых или кривых линий (плоских или пространственных). К ним относятся известные в начертательной геометрии нижеследующие множества.
1. Связка прямых с собственным 5 (рис. 1.5) или несобствен ным (рис. 1.6) центром - ядром проецирования. В обоих случаях связка проецирующих прямых позволяет выполнить линейное ото
бражение |
- |
про |
|
|
||
ецирование |
|
про |
|
|
||
странства |
Еъ на |
|
|
|||
плоскость |
|
проек |
|
|
||
ций П, |
при |
кото |
|
|
||
ром |
проекцией |
|
|
|||
прямой |
а |
|
про |
|
|
|
странства является |
Рис. 1.5. Связка с |
Рис. 1.6. Связка с |
||||
прямая |
а' |
в |
плос |
|||
собственным центром |
несобственным центром |
|||||
кости |
проекций. |
|||||
|
|
Связка прямых представляет собой конгруэнцию первого порядка (число прямых конгруэнции, проходящих через точку пространства) и нулевого класса (число прямых конгруэнции, принадлежащих плос
кости пространства). Она обозначается как Ах (1,0). |
|
|
|
|
||||
|
2. |
Кож руэнция прямых, как множество |
||||||
|
прямых линий, пересекающих две заданные |
|||||||
|
кривые линии а |
и Ъ, называемые фокаль |
||||||
|
ными линиями (рис. 1.7). Это множество |
|||||||
|
двухпараметрично. Действительно. Поло |
|||||||
|
жение |
точки А |
на линии определяется |
од |
||||
|
ним параметром, например расстоянием от |
|||||||
Рис. 1.7. Кош руэнция |
некоторой |
фиксированной |
точки |
Оа |
е а, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямых |
измеренным по линии а. |
Через |
точку |
Аеа |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проходит |
однопарамстрическос |
множество |
|||||
прямых, пересекающих линию |
b |
(коническая поверхность |
{А,Ь)) и |
положение каждой прямой этого множества определяется положени ем ее точки пересечения с линией Ъ, определяемым расстоянием от некоторой точки Oheb, измеренным по линии Ь. Таким образом, множество прямых рассматриваемой конгруэнции двухпараметрично. В начертательной геометрии для проецирования чаще всего исполь зуются конгруэнции прямых, фокальными линиями которых являют-
14
ся прямые а и Ъ. В этом случае образуется Кг (1.1) (рис. 1.8). Мно жество прямых этой конгруэнции обеспечивает нелинейное проеци рование, у которого прямые линии а и Ъ — ядро проецирования. Нелинейность можно объяснить следующим образом. Задание прямой к пространства при заданных фокаль
ных линиях а и b конгруэнции при водит к образованию линейчатой по верхности — однополостного гипер болоида (а,Ь,к). Сечение этой по верхности плоскостью проекций П представляет собой кривую к' вто рого порядка. Следовательно, рас сматриваемое отображение пространства Я3 на плоскость является
квадратичным. Оно обеспечивается двупараметрическим множеством классов эквивалентности — проецирующими линиями конгруэнции с исключенным ядром проецирования - фокальными линиями а и b.
Очевидно, что использование в качестве проецирующих классов
(/) прямых линий недостаточно для получения линейного отображе ния, при котором прямая линия пространства отображается в прямую линию плоскости проекций. Необходимо, чтобы само фактормноже ство Ф2(П = Uq>], объединяющее эти классы, было линейным. В рас-
Рис. 1.9. Циклическая конгруэнция
смотренном примере использо вания Кг (1,0) оно линейно, а в примере с Кг (1,1) _ нелинейно (квадратично). Очевидно, так же, что для обеспечения про хождения, через каждую точку
,о пространства единственного
проецирующего класса (/} ~ прямой линии, необходимо ис пользование конгруэнции пер вого порядка.
Рассмотрим примеры ис пользования в качестве проеци-
15
рующего фактормножества Ф |
—\J<p двухнараметрические множе- |
|
2 |
ства кривых линий. |
|
1. Циклическая конгруэнция с плоскостью параллелизма (рис.
1.9). Она представляет собой двухпараметрическое множество ок ружностей в пучке параллельных плоскостей и с центрами окружно стей на линии а, которая в частности может быть прямой. Каждой плоскости Е этого пучка принадлежит пучок (0) концентрических
окружностей. Если плоскости пучка перпендикулярны линии |
а, то |
циклическая конгруэнция называется нормальной. Линия а |
линия |
центров окружностей, исключена из проецирования. Использование циклической контруэнции в качестве проецирующего фактормноже ства приводит к нелинейному проецированию. Вели а - прямая ли ния, то прямая Ъ пространства отображается проецированием на плоскость проекций в кривую второго порядка, поскольку является сечением однополостного гиперболоида вращения (а,Ь) с осью вра щения а.
2. Винтовая конгруэнция (рис. 1.10). Может представлять собой двухпараметрическое множество соосных цилиндрических винтовых линий постоянного винтового шага h и одного направления. Винто вой проекцией прямой линии Ъ пространства на плоскость проекций
будет |
кривая линия, представляющая |
собой сечение геликоида |
(a,h,h) |
плоскостью проекций. Линия а |
- ось винтовой конгруэнции, |
исключена из проецирования. |
|
Рис. 1.1(1. Винтовая |
Рис. 1.11. Нормальная |
конгруэнция |
конгруэнция |
3.Нормальная конгруэнция (рис. 1.11). Представляет собой
двухпараметрическое |
множество нормалей |
некоторой поверхно |
сти Е. Отображение |
объектов пространства |
£3 может быть выпол- |
|
16 |
|
нено как на саму поверхность 27 (поверхность проекций), так и на плоскость пространства (плоскость проекций). Очевидно, отображе ние пространства нормальной конгруэнцией является нелинейным.
В качестве проецирующего фактормножества = \}<р1 могут быть использованы: пучок плоскостей с собственной или несобствен ной осью, пучок сфер - концентрических или эксцентрических (если координаты центра и радиус сферы связаны какой-либо зависимо стью), пучок соосных цилиндрических поверхностей вращения, пучок соосных круговых конических поверхностей с общей или разными вершинами и другие множества поверхностей.
1.4.Аксиоматическое построение евклидова пространства
Основным элементом евклидова пространства является точка - неопределяемый геометрический объект, если не считать определе ния, данного Евклидом (330 - 275 г.г. до н.э.), что "точка есть то, что не имеет частей". Формально, точку можно считать нульмерным про странством Ед. Чтобы определить одномерное пространство Ех, необ ходимо иметь прямую, существование которой задается первой ак сиомой принадлежности, выбрать на ней любую точку, которую при нимаем за начало отсчета, тогда любая точка прямой определится за данием одного числа (координаты), которое является выражением расстояния данной точки от начала координат. Таким образом, одно мерное пространство Ь\ линейно по определению и эквивалентно ли нейному однопараметрическому множеству точек.
Двумерное пространство Е2 есть плоскость, существование кото рой определяется четвертой аксиомой принадлежности. Поскольку аксиомы определяют существование трех точек, принадлежащих Е2, то одну из них всегда можно принять за начало отсчета координат, а две другие точки зададут две оси координат, не обязательно между собой перпендикулярные. Любая точка А е Е2 определяется двумя числами - координатами (х,у) = (х1,х2), геометрический смысл кото рых заключается в длинах отрезков, отсекаемых на соответствующих координатных осях от начала координат прямыми, проходящими че рез точку А, параллельно другой оси координат. Пространство Е2 линейно по определению, и представляет собой линейное двухпара- v метрическое множество точек. Очевидно, что обобщение этих рассу
ждений приведет к пространствам Ег, £ 4 , |
Еп. |
17 |
|
Поэтому группа аксиом принадлежности единственным образом расширяется от:
1)для любых грех точек, не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость и притом только одна, прохо;гящая через эти точки;
2)если две точки прямой лежат в плоскости, то всякая точка этой прямой лежит в этой плоскости;
3)если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку;
до:
1)для любых (к + 2) точек, не лежащих в одном и том же про странстве Ек, существует пространство Ек+Х и притом только одно, проходящее через эти точки;
2) если (к+ 2) точек пространства Ек |
лежат в |
Екп, |
то |
всякая |
||||
точка пространства Ек лежит в |
Ек+]; |
|
|
|
|
|
||
3) если |
два пространства |
Ек, лежащих в |
Eitl, |
имеют |
общую |
|||
точку, то они имеют, по крайней мерс, еще (к -1) общую точку. |
||||||||
Естественно, |
что для к > 3 |
получаются |
абстрактные |
евклидовы |
||||
пространства, |
для |
которых Е~, а Ел cz ... а Ек |
а ... cz Еп. |
Поскольку |
эти пространства — линейные, то они называются соответственно 0-
плоскостью (точка), 1-плоскостью (прямая), 2-плоскостью, |
к- |
плоскостью. (/7-1)-плоскость называется гиперплоскостью. |
|
В Еп можно ввести координаты. Поскольку аксиомы утверждают существование (и + 1) точек, то одну из них можно принять за начало координат, а на остальных п точках построить координатные оси, не обязательно перпендикулярные друг другу. Тогда между упорядочен ными наборами чисел (х1,...,хп) и точками пространства Еп будет ус тановлено взаимно однозначное соответствие. Геометрический смысл каждого числа xh / = 1, п будет таким же: xf выражает длину от резка, отсекаемого от начала координат О на числовой оси Ох( ги перплоскостью, проходящей через данную точку параллельно осталь ным осям координат.
На основе аксиом принадлежности пространства Еп докажем теоремы о пересечении и линейном расширении двух подпространств
Ек и Е . Пусть подпространства |
Ек |
с Еп и Ер а Еп |
определяются |
||
соответственно (£ + 1) и |
(р + У) |
независимыми точками. |
Пусть |
||
ЕкслЕр~ 0. Тогда получим |
(к + р + 2) |
независимые |
точки. |
По ак- |
|
|
18 |
|
|
|
|
сиоме принадлежности эти точки определяют (к + р + Х)—мерное под пространство. Следовательно, имеем теорему: для любых двух под
пространств |
ЕК с Е„ |
и Ер |
d Еп, |
для которых ЕкпЕр= 0, сущест |
||||||
вует |
подпространство |
Ек+р+ха Еп, |
которое |
является их |
линейным |
|||||
расширением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В этой теореме подразумевается, что |
к + р +1 < п. Предположим, |
||||||||
что |
к + р +1 > п . Тогда |
Екс\Ер±- |
0, |
то |
есть |
существует |
некоторое |
|||
/'-мерное |
подпространство |
ЕгаЕп, |
которое |
называется |
подпро |
|||||
странством |
пересечения пространств |
Ек |
и Ер: ЕкслЕр- |
Er, г <п. |
||||||
Пространство Ег определяется (/" + 1) |
независимыми точками. Тогда |
|||||||||
Ек |
будет определяться |
еще |
к + \-г-\ |
= к-r |
независимыми точками, |
аЕ будет определяться р+\—г—\=р-г независимыми точками.
Поскольку |
общее число |
независимых |
точек не может быть |
больше |
||
п +1, то |
имеем |
k-r + p-r + r + \- n + \. |
Или |
к + р = п + г. |
Отсюда |
|
г — к + р — п. Следовательно, имеем теорему: |
для любых двух под |
|||||
пространств Ек |
с Еп и Е |
с Еп, для которых |
к + р + 1 > п, существу |
|||
ет подпространство пересечения Ег а |
Ек, Er |
а Ер, размерность ко |
||||
торого равна г = к + р — п. |
|
|
|
1.5.Операция проецирования в пространстве Еп
Рассмотрим теперь более конкретно операцию проецирования. |
|||
Для этого выберем некоторое подпространство Ек |
с Еп |
и |
точку |
Л<£Ек. Поставим задачу отобразить точку А в точку |
А'е |
Ек |
одно |
значно. По теореме о пересечении подпространств точка А' должна быть пересечением Ек и Еп_к, и, очевидно, что АеЕп.к. Следова тельно, по аксиоме принадлежности Еп_ к кроме точки А должно оп
ределяться |
(п-к) точками пространства Еп. Значит, в пространстве |
|
Еп должно быть выбрано |
подпространство En_k_x, Еп_к_хпЕк = 0, |
|
А £ Еп^к^х |
(рис.1.12). Еп_к_х |
называется центром или ядром операции |
проецирования. Если соединить |
А и А' прямой АА', то |
АА'а Еп_к и |
|
ААс\Еп_к_х = А". Точку А" |
можно рассматривать как проекцию точ |
||
ки А на подпространство |
Еп_к_х |
из центра Ек. Прямую |
АА'А" обыч- * |
но называют линией связи проекций. Итак, проецирование точки на
19