1671

изображение эллипса в плоскости, параллельной плоскости Р, малая ось которого совпадает с диаметром окружности п'; пара линий - ок­ ружность ri и эллипс с изображением В'2, D'2, принадлежат одному наклонному цилиндру с образующими, параштельными направлению

ки для удобства последующего его применения в решениях задач на

220

пересечение рассматриваемого типа. Пусть на конусе второго порядка (рис. 7.12), например, на прямом эллиптическом, имеются два раз­

диаметров есть аффинное свойство кривой второго порядка и состоит в том, что каждый из сопряженных диаметров делит пополам хорды кривой, проведенные параллельно другому диаметру. Очевидно,

особенность конических сечений отражена в свойстве 5 квадрики и может быть использована для решения задач рассматриваемого типа пересечений. Для определения центра S перспективности необходимо для кривой второго порядка на квадрике найти перспективно соответственную ей другую кривую второго порядка этой квадрики. Затем при помощи двух пар перспективно соответственных точек этих линий найти центр перспективности, который представляет собой вершину конуса перспективности. Эта вершина принимается в качестве центра проецирующей связки прямых, служащей фактормножеством пространства £ 3 .

Пусть на графической модели заданы изображения фронтатьного и горизонтального очерков отсека эллиптического параболоида и след Р, плоскости Р ± 7 7 , (рис. 7.13). Определим сечение поверхности плоскостью Р. Очевидно, искомым сечением является парабола. Отрезок С,Д есть горизонтальная проекция К\ искомой параболы. Построим се фронтальную проекцию к\. Для хорды СХЕ\ проведем соответствующий ей сопряженный диаметр Mj/Vj эллипса кх. Точка Е\ - ClD]f]M[N[ есть горизонтальная проекция вершины Е параболы кх. Для построения ее проекции Е\ воспользуемся вышеприведенным свойством 1 квадрики. В соответствии с ним две параболы в осевых

221

проецирующих плоскостях со следами и MlNl на плоскости 77] являются родственными, то есть находятся в перспективном

Это родство определено в пространстве Е$ плоскостью родства,

Рис. 7.13. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

горизонтальная проекции вершины 5 конуса перспективности линий кик'. Па рисунке 7.13 показаны построения фронтальных проекций 12,22,32 и 42 точек 1, 2, 3 и 4 параболы к' по их горизонтальным проекциям 1],2],3] и 4, на отрезке CxDx=k\. Как следует из приведенного описания решения задачи, центр S(SX,S2) является центром проецирующей связки Ф2<|), а плоскость Пх — плоскостью отображения. В этом отображении образом параболы к' является эллипс k(kt,к?).

Рассмотрим еще пример. Пусть на графической модели заданы очерки отсека однополостпого эллиптического гиперболоида Г и след Рх проецирующей плоскости РА-ПХ (рис. 7.14). Требуется построить линию пересечения ГГ]Р. Плоскость Р пересекает поверхность Г по гиперболе к' с проекцией к\ = Сх£\ на плоскости Пх. Как и в предыдущем примере, принимаем две кривые второго

родственного соответствия двух гипербол с проекциями Ц№х и MXN-X на горизонтальных следах проецирующих плоскостей, проходящих

определено плоскостью родства, проходящей через ось i поверхности

Наличие конуса перспективности (S,k) позволяет построить проекцию К2 искомой гиперболы сечения по множеству точек ее проекции /с*,. В рассмотренном примере проецирующая связка Ф 2 ^ определена вершиной S, а плоскостью отображения служит плоскость проекций /7,.

Рис. 7.14. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

Рассмотрим еще один пример применения свойства 4 квадрики, в котором одна из кривых второго порядка - окружность, не принадлежит квадрике. Определим линию пересечения отсека однополостного эллиптического гиперболоида Г с проецирующей

в виде двух отрезков CXFX и С\Е{. Отрезок СДС71Д,С2/32) есть хорда этой гиперболы. Примем CD в качестве диаметра окружности &(/Cj,/C2), расположенной для удобства решения задачи в плоскости 777//72, при этом iTj - горизонтальный след этой плоскости. Две

Рис. 7.15. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

одна проекция к\ гиперболы на нем позволяют построить

Воспользуемся теперь свойством 2 квадрики для решения другой задачи о пересечении рассматриваемого типа. Определим линию сечения трехосного эллипсоида Г проецирующей плоскостью Р J_ Пх

перспективности может быть определена одним из двух способов в следующей последовательности: 1,1', П2,2', = Sx, Sx -> S2 е 1222. В таком случае коническое сечение к' конуса (S,k) в плоскости Р определеяется по его известной проекции к\ = \\2\ без затруднений.

В данной задаче проецирующая связка Ф2(1> определена центром S, а плоскостью отображения служит плоскость уровня IPIIП2.

Выясним геометрический смысл свойства 6 квадрики для его успешного применения в задачах рассматриваемого типа. Каждая невырожденная квадрика, кроме гиперболического параболоида, содержит два семейства окружностей. Окружности одного семейства расположены в пучке параллельных плоскостей. Каждому пучку плоскостей принадлежат две касательные плоскости (у эллипсоида и двуполостного гиперболоида) или одна касательная плоскость (у

поверхности). Касательная плоскость в омбилической точке

пересекает конус вращения перпендикулярно его оси по окружности, радиус которой в вершине конуса принимает нулевое значение, то есть х2 + у2 = О. Откуда следует у - ±ix, i2 = - 1 .

Таким образом сечение конуса рассматриваемого типа в его вершине представляет собой две изотропные прямые, пересекающиеся в этой вершине. Любое сечение квадрики плоскостью А, отличной от пучка параллельных плоскостей, содержащего касательную плоскость с омбилической точкой 5,

Рис. 7.16. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

227

проецируется из точки S на произвольную плоскость 27 этого пучка в окружность. Действительно, точки пересечения двух изотропных прямых на поверхности квадрики с плоскостью А проецируется из точки S на плоскость 27 в две циклические точки, принадлежащие несобственной прямой плоскости 2\ Следовательно, линия сечения квадрики в плоскости А, содержащая две точки изотропных прямых, проецируется на плоскость 2 в линию второго порядка с двумя циклическими точками. Этой линией является окружность, поскольку только окружность пересекает несобственную прямую своей плоскости в двух мнимых точках, которые называются циклическими. У квадрик вращения два пучка параллельных плоскостей с окружностями сечений совпадают, при этом плоскости пучка перпендикулярны оси вращения квадрики. Несобственная точка оси вращения параболоида служит точкой касания параболоида с несобственной плоскостью пространства Е^, то есть является несобственной омбилической точкой. Поэтому эллипсы наклонных сечений параболоида вращения проецируются на плоскость, перпендикулярную оси вращения параболоида в окружность.

На рисунке 7.17 приведено решение задачи определения линии

плоскость 77j. Наличие конуса перспективности (S.k) и одной проекции к'2 искомой гиперболы позволяет построить другую ее

проекцию к\. В этой задаче проецирующая связка Ф2(,) определена центром S, а плоскостью отображения служит плоскость Я, .

Рассмотрим теперь примеры определения точек пересечения прямой линии а и квадрики 0. Для этих целей воспользуемся вышеописанными алгоритмами определения линии пересечения квадрики плоскостью Р. Смысл и общий алгоритм решений новых задач на пересечение состоит в следующем. Прямая линия а заключается в проецирующую относительно плоскостей проекций Я, или Я2 плоскость Р. Очевидно, точки пересечения прямой а и линии сечения к'= Pf]@ являются точками пересечения af]0. После

228

конструирования центра проецирующей связки Ф20) и выбора плоскости отображения П для целесообразного отображения на нее компланарных линий а и к', определяем образы искомых точек пересечения прямой а и квадрики &, как точки пересечения образов d и к линий а и к'. Точки - прообразы, соответствующие точкам - образам пересечения a'f]k в построенном отображении, являются результатом решения задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Рис. 7.17. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

229

Определим точки пересечения эллипсоида вращения 0 и прямой линии а (рис. 7.18). В соответствии с предложенным выше алго­ ритмом заключим прямую а в проецирующую плоскость 7*17/,.

линии к' и а на плоскость отображения 77", которой принадлежит линия к , получаем образы этих линий: к'—> к(кх,к2), а-*а'(и\,а\).

Рис. 7.18. Пример определения пересечения прямой и квадрики

230

Рассмотрим другой пример. Определим точки пересечения прямой а и параболоида вращения 0 (рис. 7.19). Решение задачи выполним на основе использования омбилической точки. Как было отмечено выше (при пояснении геометрического смысла и значения

решения задачи.

Рис. 7.20. Пример определения пересечения прямой и квадрики

Для всех вышерассмотренных задач на пересечение, в условия, которых была задана квадрика, решения выполнялись на основе кон­ струирования центра проецирующей связки Ф2(,) и выборе некоторой плоскости отображения.

Рис. 7.21. Пример определения пересечения прямой и квадрики

В некоторых случаях для достижения наибольшей простоты в построениях удобно применить некоторое линейное преобразование пространства Ej, в результате которого исходная квадрика преобразу­ ется в квадрику вращения. Пусть, например, заданы эллиптический параболоид 0, прямая а, и требуется определить точки пересечения аГ\0 (рис, 7.22). Выполним родственное преобразование простран­ ства £ 3 , в результате которого эллиптический параболоид 0 преобра­ зуется в параболоид вращения & с осью вращения /', которая служи­ ла для поверхности 0 линией центров непрерывного множества эл-

липсов в плоскостях, перпендикулярных линии i. Очевидно, гранич­ ный эллипс AX^j,^) отсека параболоида © преобразуется в окруж­

В результате применения родственного преобразования получаем

Рис. 7.22. Пример применения преобразования (родства)

задачу определения точек пересечения А'Г]&, решение которой было рассмотрено выше (рис. 7.19). Полученные точки пересечения A'F)@' являются образами искомых точек в родстве (А,Е,Е). Выполнив по-

строения прообразов точек пересечения а'Г\0' в родстве, тем самым получим искомые точки пересечения af]0.

Рассмотрим применение алгоритма 7.3 для случая линейчатой поверхности, не являющейся квадрикой. Определим пересечение про­ странственной кривой а и поверхности цилиндроида 0(т,п,А) (рис. 7.23), у которого линии т и п - направляющие линии, плос­ кость A JL П2 - плоскость параллелизма. В соответствии с алгорит­ мом 7.3 примем связку проецирующих, относительно плоскости П2,

ецирующая относительно п2 прямая, пересекающая линию а.

Рис. 7.23. Пример определения пересечения кривой линии и цилиндроида

Линия пересечения а'±(а\,а'2)= РГ]0 есть образ линии а на

поверхности 0 в отображении связкой [ja1. Точка А(Ау,А2) пересе-

2

чения образа d и прообраза а является искомой точкой пересечения

аГ\в.

Рассмотрим пример применения алгоритма 7.4 для случая поверхности вращения, также не являющейся квадрикой. Определим пересечение пространственной кривой а и поверхности вращения @(i,m), где /'(/,,/2) 1 П2 ~ ось вращения поверхности, т(тх,т2) - ее образующая линия (рис. 7.24). Для решения задачи в соответствии с алгоритмом 7.4 примем прямую i в качестве оси нормальной циклической конгруэнции \Jiy], плоскости окружностей ц/] которой

2

перпендикулярны оси /'. Рассматривая эту конгруэнцию в качестве

Рис. 7.24. Пример определения пересечения кривой линии и поверхности вращения

проецирующего фактормножества пространства 7%, то есть Е3 = *Р2(1) = Uv7' > и принимая плоскость П - Пу в качестве плоскости

2

отображения, строим образ — вырожденное (поскольку поверхность

начертательной геометрии, является задача о построении линии пересечения двух поверхностей. Для ее решения применяются различные способы: вспомогательных плоскостей, вспомогательных поверхностей и др. |2, 15, 20, 22J. Покажем, используя различные отображения пространства i% на плоскость, что эти способы являются логическим следствием общего теоретико-множественного подхода к решению задач на пересечение рассматриваемого типа.

Рассмотрим решения задач на основе применения линейного фактормножества пространства Е^. Этот подход применяется в тех случаях, когда одна из двух пересекающихся поверхностей является конической или цилиндрической. Такая поверхность, представляемая

фактормножество представляет собой проецирующую связку прямых с собственным или несобственным центром - ядром проецирования, которое исключается из фактормножества. В свете сказанного покажем применение алгоритма 7.2 для двух пересекающихся конических поверхностей &(S,а) и Q(F,b), где а(ах,а2) и b(bx,b2)

направляющие линии этих поверхностей (рис. 7.25). Поверхность О представляем следующим образом: 0 - Ф ш ) = [)q>1, где tp] - образующая прямая этой поверхности. Принимая вершину S в

можно рассматривать как образ поверхности 6> в ее отображении связкой U<p' *>а плоскость 11х. Возьмем любую образующую

y/]{y\,4/\)czQ и две точки F(F1,F2) и l(lul2) на ней. Используя проецирующую связку, построим образ F'(FX,F'2) точки F на

X

/7;

Рис. 7.25. Пример определения точки линии пересечения двух конических поверхностей

плоскости Я, : F2 -» V\; F\-> F\eSxFx. Образом точки 1 будет сама точка. В итоге получаем образ yniWn\^w\ii) [ФЯМ0И W1 в принятом отображении. Точка А'(А\,А'2) = у/пГ]а есть образ искомой точки пересечения. Сама точка А - проообраз, определяется гак: А\ -> Аг е у/\, А'2-> А2 ву/\. Очевидно, образом поверхности Q в рассматриваемом отображении будет пучок прямых с центром

Рассмотрим еще пример применения в алгоритме 7.2 проецирующего фактормножества пространства Е3> представля­

ющего собой связку Ф2(1)=и^' прямых ср . Определим несколько

2

точек линии персечения конической поверхности 0(S,m) и поверхности вращения Q(a,t), где m a t — соответственно направляющая и образующая линии, а - ось вращения (рис. 7.26). Последовательность алгоритмических действий и конструктивных построений может быть нижеследующей.

1. Поверхность 0 представляем как непрерывное однопарамет­ рическое множество прямых линий: О - Ф1(1) = {jcpl, где <р\(р\,(р\) - образующая этой поверхности.

2.Пространство £, "заменяем" фактормножеством £3 = Ф2<1) =

=[j(pl, представляющем собой проецирующую связку с исключен-

2

ным ядром 5(5,,5 2 ).

3. В качестве плоскости отображения принимаем плоскость

Я= Л,, которой принадлежит направляющая линия Ш поверхности

0.В этом случае образом поверхности 0 в принятом отображении

принадлежащих нормальной циклической конгруэнции с осью а .

5.Строим отображение одной из линий - окружности у1 на