1671

ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

В геометрии известны следующие методы моделирования абст­ рактных пространств: аналитический, конструктивный и аксиомати­ ческий [16, 24]. При аналитическом моделировании в зависимости от структуры исходного пространства применяют различные системы координат. В случае евклидова пространства, характеризующегося линейной структурой, применяются: декартова, сферическая, цилинд­ рическая системы координат. Для аффинного и проективного про­ странств применяются соответственно косоугольная и проективная системы координат. Для моделирования линейчатого пространства с основным объектом - прямой линией, характеризующеюся квадра­ тичной структурой, применяют плкжкеровы координаты, удовлетво­ ряющие однородному квадратному уравнению [17, 28].

Вслучае конструктивного моделирования исходное пространство

иего модель связаны некоторой проекционной системой, включаю­ щей проецирующие линии и поверхности. Такое моделирования дос­ таточно очевидно и наглядно. Оно является основным методом ис­ следования в классической начертательной геометрии.

При аксиоматическом моделировании отсутствует конструктив­ ная проекционная связь между исходным пространством и его моде­ лью - пространством образов. Важным критерием существования ак­ сиоматической модели исходного пространства является равенство размерностей основного объекта пространства и его образа на модели

исохранение структуры пространства на его модели.

2.1.Конструктивные модели пространства Еп

В главе 1 было показано, что операция проецирования устанав­ ливает однозначное отображение точек {А е £ „ ) - » (Л'е П2), однако она не позволяет установить обратное отображение А'-+ А. Поэтому утверждается, что поле точек 112 не является моделью пространства Еп. С практической точки зрения чрезвычайно важно, чтобы отобра­ жение Е„ —> П2 было взаимно однозначным почти для всего про­ странства Еп. Термин "почти" означает, что отображение Еп <-> П2 будет взаимно однозначным кроме конечного числа подпространств Е„ и конечного числа точек и прямых плоскости П2. Если такое ото-

40

бражение получено, то говорят, что построена обратимая модель про­ странства £„ на плоскости П2. Смысл обратимости состоит в том, что по заданному образу точки на П2 можно восстановить прообраз этой точки в Е„. Однако образом не может быть точка, так как двух­

должна быть некая фигура Ф е П2, состоящая из конечного числа то­ чек и прямых, связанных условиями инцидентности в определенном порядке. Например, это может быть к точек (А:-вершинник, полный к -угольник) или к прямых (А-сторонник), пригодные для модели­ рования четномсрных пространств Е2к, это могут быть кривые (ок­ ружности, параболы, эллипсы и гиперболы для моделирования £ 3 , Е4, Е5 соответственно), множества кривых и др.

Поскольку в данной главе мы имеем дело с линейным простран­ ством, то использовать в качестве образов кривые линии нет необхо­ димости. Ограничимся только фигурами, состоящими из точек и пря­

тимым? Для ответа на него будем рассуждать следующим образом.

летворяется ли условие обратимости для прямой? Прямая задается

вестны по три точки из каждого точечного ряда. А наша конструкция

мой не удовлетворяется. Следовательно, центры проецирования S'n_3

вие точечных рядов задается двумя парами соответственных точек, поэтому получаемая модель обратима для прямой АВ. Из этого непо­ средственно следует, что модель обратима для двух пересекающихся прямых, т.е. - для плоскости, для трех пересекающихся в одной точке

венные точечные ряды, аналогичные приведенным выше. Однако

ма для прямой.

43

Продолжая этот процесс, мы придем к выводу, что вес центры

проецирования о„_3, i = l, должны принадлежать гиперплоско­

сти Рп_{ пространства # я .

Пусть пространство Еп нечетномерно: « = 3,5,7,.... Тогда усло­ вие расположения центров проецирования {S'n 3} с Рп_2 с Еп, i = 1,..., п-1, порождает обратимую модель на плоскости П2 • Доказательство этому будет аналогично доказательству в случае четномерного про­ странства.

ния условия проективности точечных рядов при получении модели

5,',..3 и Рп 2 должны располагаться в одной гиперплоскости Р„_,. Подробное исследование таких конструкций выходит за рамки

настоящей книги. Поэтому рассмотрим более подробно только одну из них, а именно ту, у которой [S'n_~} с: Рп_2 с Еп, и независимо от размерности пространства.

Пусть в пространстве Еп задана декартова система координат Оххх2...хп. Пусть плоскость проекций Я, совпадает с плоскостью Оххх2. Тогда оси 0х(, / = 3,...,«, будут перпендикулярны плоскости Я2 = Оххх2. Пусть проецирование на Я2 будет ортогональным. Тогда центры проецирований S'n_2 должны быть бесконечно удаленными и должны принадлежать (я - 2)-плоскостям в следующем порядке:

Эти центры порождают следующие проекции:

Лр51,« ( А ) = Л е 0xix2 = п \ ,

п-Ъ

Пр 2^А) = А2еОх1х3=П2,

Up 3/а (А) = А3е ОхххА = II3,

'V-3

Л/Vi,» (4) = Л-1 е <?*л = •

«-3

Поскольку все эти проекции двумерны, то обозначать размер­ ность нижним индексом нет смысла. Поэтому, следуя традиции, ниж­ ний индекс будет обозначать порядковый номер проекций.

Так как у всех проекций есть общая ось Ох,, то плоскости П2,....,П„-\ можно развернуть вокруг оси Ох{ на 90° до совпадения с плоскостью проекций /У,. Тогда оси Ох2,Ох3,...,Ох„_1 совпадут. Та­ ким образом, модель пространства будет иметь две оси: ось Ох, и перпендикулярную ей ось Ох2 = Ох3 = ... = Ох„.л.

2.2.Аксиоматические модели пространства Ен

Из того, что было изложено в п.п. 2.1, следует, что в пространст­ ве Е„ должны быть выделены два исключенных подпространства Р„_2 и Рп-\ > Л>-2 с Р „ ,. Построенные конструкции позволяют моде­ лировать все пространство Еп, кроме этих двух подпространств. Это пе означает, что на плоскости проекций нет образов, моделирующих Pn_i и Р„_х. Просто изучение этих образов есть предмет серьезного научного исследования и не является нашей задачей. Поэтому, в дан­

могут быть выбраны произвольно. Это означает, что исключенные точка Р е П2 и прямая / е II2 тоже могут быть выбраны произволь­ ны. Таким образом, модель пространства Е„, построенная без конст- ,v руктивной связи с Еп, будет называться аксиоматической моделью.

Ее общий вид для точки А е Е„, А <£ РпЛ представлен на рисунке 2.1, где к + 1 + 2т = п. На рисунке 2.2 приведена модель прямой АВ е Е„, АВаР„л.

Рис. 2.1. Аксиоматическая модель пространства Еп

Рис. 2.2. Модель прямой АВ пространства Еп

Модель прямой АВ включает в себя условия перспективного и проективного соответствия точечных рядов:

ходящимися в общем положении относительно проекционной систе­ мы, отображающей пространство Еп на плоскость.

Сначала покажем, что представляют собой модели перечислен­ ных подпространств, а потом подтвердим эти модели расчетом пара­ метров.

Пусть требуется построить модель 2-плоскости ABC. Будем иметь:

(2.2)

В последнем соответствии прямая / соответствует сама себе.

на соответственных лучах.

Если 3-плоскость рассматривать как однопараметрическое мно- » жество (пучок) 2-плоскостей, то на плоскости модели будут сущест­ вовать однопараметрические множества проективных соответствий

л(Em Am Bm Cm Dm ) будет моделью точки Е, принадлежащей гиперп­

ных рядов задается двумя парами точек (третья лежит на исключен­ ной прямой / ) . Поэтому имеем 2п - 2 = 2(п -1).

Размерность множества плоскостей пространства Еп равна 3 ( я - 2 ) . Плоскость задается тремя точками, что на модели требует задания 3[1 + к + 2(т - it)] параметров. Проективное соответствие за­ дается тремя нарами точек, что требует задания 6 параметров, кото­

задания любых двух проективных соответствий двух плоских полей, т.е. получим 4[1 + к + 2(т - к)] - 1 2 = 4и - 1 2 = 4(л - 3 ) .

И так далее.

Рассмотрим построение точки, принадлежащей заданному под­ пространству, используя для этого только модель пространства.

Предварительно выясним, сколько параметров можно задать произвольно. Прямая «-мерного пространства задается аналитически

системой линейных уравнений

f1(xl,x2) = О

J /2(*15*з) = °

Очевидно, что задание одного любого параметра х,,...,х„ позво­ ляет построить точку данной прямой.

2—плоскость и-мерного пространства аналитически задается сис­ темой линейных уравнений

J](xl> х2>хз) ~ О

^fn(x]'X2'Xn) ~®>

из которой видно, что произвольно можно задать любые два парамет­ ра.

Продолжая этот процесс, придем к выводу, что для задания точки к -плоскости произвольно можно задать к любых параметров.

Построение модели точки С, принадлежащей прямой АВ, осу­ ществляется на основе проективных соответствий (2.1). Для построе­ ния необходимо задать произвольно только один параметр, например,

осуществляется следующим образом. Для построения необходимо за­ дать произвольно два параметра, например, задать прямую d пучка

необходимо задать произвольно три параметра, например, задать

(Ак+1,Вк+1, Ек+\,1)- После этого можно перейти к задаче построения

И так далее.

В качестве примера рассмотрим модель 3-плоскости ABCD пя­ тимерного пространства и построение принадлежащей ей точки Е. Пусть модель 3 -плоскости ABCD имеет вид (рис. 2.3):

0(а, Ь, с, d) - пучок прямых с центром О,

{AX,BX,CX,DX} - четыре точки 1-го поля, {A2,B2,C2,D2} - четыре точки 2-го поля.

Проективные отношения между этими множествами следующие:

(1,АХ,ВХ,СХ,..УМ1,А2,В2,С2,...), (1,Ax,Bx,Dx,^..)A(1,A2,B2,D2,...),

0(1, а,Ь,...)л (Мх ,АХ,ВХ,...), Мх =А1В1[)1, 0(1,а,с,...) л (Nx, Ах,С,,...), Nx = АхС,Г]/, 0(1,Ь, с,...) A (Lx, Вх, С,,...), Lx =ВХ С,П/.

С \

е

Рис. 2.3. Модель 3-плоскости ABCD

Произвольно задаются: луч Ое и точка Ех. Па прямой / найдется такая точка 0\, для которой четверка лучей ОхАх, 0\ВХ, 0\СХ, 0\ЕХ и четверка лучей Оа, Ob, Ос, Ое будут образовывать одно и то же сложное отношение Я. На прямой / найдется и такая точка 0\, для которой четверка лучей 0\АХ, 0\ВХ, 0\DX, 0\ЕХ и четверка лучей Оа, Ob, Od, Ое будут образовывать одно и то же, но другое, сложное отношение Я. По сложным отношениям Я и Л на прямой / находятся точки Oi и Oi, и, соответственно, лучи ОгЕ2, ОгЕ2, пересечение ко­ торых есть точка Е2. Следует заметить, что этот общий алгоритм не

единственный. Могут быть и другие способы построения модели точ­ ки Е(е,Ех,Е2).

Из всего сказанного можно сделать важные выводы:

1) если моделируемое пространство обладает линейной структу­ рой (пересечение любых линейных подпространств есть линейное подпространство, и линейное расширение любых линейных подпро­ странств есть линейное подпространство), то модель этого простран­ ства тоже обладает линейной структурой (все соотношения между элементами модели перспективные и проективные, т.е. линейные);

2) если размерность моделируемого пространства больше раз­ мерности пространства модели, то в пространстве модели должны существовать исключенные элементы (точки, прямые, плоскости, . . . ) .

Дадим важные для дальнейшего изложения определения струк­

нейной. В противном случае структура пространства нелинейная. Например, все точечные линейные пространства обладают ли­

нейной структурой. Любое подпространство таких пространств ана­ литически описывается системой линейных уравнений.

Если в качестве основного элемента пространства выбрана пря­ мая, то такое пространство будет обладать нелинейной структурой.

3.Структурой модели «-мерного пространства на плоскости называется упорядоченный набор ({/„},\ух\,.-,{у„.х},8), где {/-} - множества, элементами которых являются плоские фигуры у у, S - множество бинарных отношений, ^с{/,}х {у.).

4.Если {ftHKi'-'fi,"} и е с л и Yij*Yi,k> J*k' то структура

модели называется линейной.

Рассмотрим модель четырехмерного пространства, основным элементом которого является точка. Пространство будет линейным, что подтверждается системой аксиом принадлежности. Докажем, что модель

линейна и структура пространства изоморфна структуре модели. Дей­ ствительно. Выполняются следующие условия:

1. Две плоскости пересекаются в точке ABCC\DEF = G. Тогда на модели получим

(А1,В1,С],1],...)л(А2,В2,С2,12,...),

ные соответствия имеют' одну инвариантную точку, которой и будет

повторить рассуждения предыдущего пункта.

2.3. Простейшие аксиоматические модели пространства

Очевидно, что все модели линейной структуры различны по сложности их графической реализации. Также очевидно, что про- с гейшей моделью будет та, у которой проективные соотношения за­ менены перспективными. То, что при этом увеличивается число эле­ ментов модели, не сказывается на сложности модели. Поэтому про­ стейшей моделью «-мерного пространства на двумерной плоскости будет: исключенная точка О, множество прямых, проходящих через

Ои несущих (п-1) точек.

Рассмотрим простейшие графические модели трехмерного проек­ тивного пространства R.. Основным объектом пространства Я, выби­ раем точку. В качестве ее образа выберем пару точек на прямой пучка прямых с собственной вершиной. Проверим выполнение условия ра­ венства размерностей исходного пространства и его модели. В соответствии с формулой Грассмана (1.1) размерность множества

жащих прямым линиям пучка, на основании формулы размерности многообразия т - плоскостей [5]:

Е(2е,°) = 2[1 --- 0 - ( 0 + 1)] = 2. Таким образом Q = 1 + 2 = 3 и условие

равенства размерностей выполнимо.

Рассмотрим выполнение условия соответствия линейности ис­ ходного пространства и его модели. Пространство Р3, как точечное пространство, может быть рассмотрено в качестве грассманова мно­ гообразия. Порядок грассманова многообразия представляет собой

следнего равенства следует также из его геометрического представ­ ления: е2 -е2 ' е 2 "' ТРИ плоскости пространства Р2 пересекаются в од­ ной точке. Коэффициент при е% равен 1, что говорит о линейности пространства Р3. Определим структурную характеристику рассматри­ ваемой модели пространства Р3. Проведем анализ размерности пар точек в пучке прямых. Па прямой линии существует двухпараметрическое множество пар точек. В пучке прямых существует трехпараметрическое множество пар точек. В центре пучка существует 0 пар точек. Таким образом, получаем следующее обобщенное условие ин­ цидентности для множества пар точек пучка прямых: е1 '4"о • Очевидно, это условие инцидентности, имеющее место для пучка прямых, экви­ валентно обобщенному условию инцидентности для связки плоско­ стей пространства Р3. Поскольку пара точек на прямой линии пучка и точка пространства Р3 имеют одно и то же параметрическое число, равное 3, то на основании формулы (2.4) получаем структурную ха­ рактеристику модели пространства Р3:

при этом коэффициент в последнем символическом выражении равен единице, то есть рассматриваемая модель также является линейной. Отметим, что полученные структурные условия е\ и е\'\\ являются единичными. Действительно, в соответствии с формулой (1.4) для каждого из них получаем:

54

Рассмотрим на простейшей модели пространства Р3 решения позициотшых задач, например, задач на принадлежность. На рассматри­ ваемой модели (рис. 2.4) заданы пересекающиеся в точке М(М1,М2)

приведено решение задачи определения точки пересечения прямой

соответствующий алгоритм построений. Точка М(МХ,М2) является решением задачи.

Выберем в качестве моделируемого аффинное трехмерное про­ странство. Из выбора следует, что возможная графическая модель пространства должна быть определена как относительно позицион­ ных, так и относительно аффинных задач, то есть задач на параллель­

С,

ность. В таком случае на модели должна быть указана несобственная прямая, точки которой будут соответствовать несобственным точкам -v

55

трехмерного аффинного пространства. На рисунке 2.6 приведено ре­ шение двух задач - позиционной и аффинной.

образу несобственной плоскости аффинного пространства.

Частным отучаем рассматриваемой графической модели является модель трехмерного евклидова пространства, в котором выполняются решения задач трех типов: позиционных, аффинных и метрических. На рисунке 2.7 представлены задачи трех типов.

Прямые а(ах,а2) и b(bx,b2) пересекаются в точкеК(КХ,К2). Пря­ мые с(сх,с2) и Ъ параллельны. Прямые а и b в пространстве обра­ зуют прямой угол с вершиной в точке К .

линейность. Для этого представим модель частного вида с исключен­

Символически это можно записать в виде условий:

Умножив это условие на единичное п кратное условие, получим линейное условие нулевой размерности. Единичных «-кратных усло­

Рис. 2.8. Модель точки пространства^

Если наложить одно линейное условие, т.е. условие принадлеж­

ности точки гиперплоскости, то получим (рис. 2.8, б): ). • ( 4 ) 2 • (4h или е2>°0(е2\ - (е°2)2 • (е1°)3.

При наложении двух условий, т.е. условий принадлежности двум гиперплоскостям, получим (рис. 2.8, в): е\^(е2)[-(е2)2-(е<]))3 или

^ о ( ^ ) . Mh М)ъ и™ е\1(ей2\ .(е°2)2 -{е°0)3.

И так далее.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ И ГИПЕРПЛОСКОСТИ НА ПРОСТЕЙШЕЙ ГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Вышерассмотренная простейшая графическая модель «—мерного евклидова пространства, полученная аксиоматическим путем, по су­ ществу представляет собой обобщение известной в начертательной геометрии модели Г. Монжа, которая была получена им конструктив­ ным путем. В проективной схеме метода двух изображений модель Монжа рассматривается как его частный случай [6, 16J.

3.1.Моделирование точки

появляется возможность задания на рассматриваемой графической

тим, что в соответствии с конструктивным методом основным объек­

стям проекции (рис. 3.2). Если мысленно убрать основной объект - точку А и линии проецирования ААХ, АА2 и повернуть горизонталь-

58

ную плоскость проекции я, относительно оси X до совмещения с