1671

п,12 подвижной центроиды с2

;<р - пм лпА - угол между бесконечно близко располо­ женными нормалями рулетты. Отрезок МА2 становится отрезком нормали пл, то есть

,.Ф .. simp

11ервое равенство следует из теоремы синусов для треугольника. Вто­

В каждый момент времени касания центроид с, и с2 существуют

точки, связанные с подвижной центроидой, рулетты которых имеют нулевую кривизну, то есть для них выполняется условие РОм = =о. Множество таких точек представляет собой окружность, диаметр d которой, на основании формулы Эйлера, удовлетворяет соотношению

торая линия а2, жестко связанная с центроидой с2. При качении без скольжения центроиды с2 по центроиде с, линия а2 будет переме­ щаться, образуя непрерывное однопараметрическое множество линий

{а2}. Огибающей множества {а2 } будет некоторая линия аг, которая по аналогии с траекторией движущейся точки, неизменно связанной

141

с подвижной центроидой с2, может быть названа неподвижной рулеттой, поскольку она неизменно связана с неподвижной центроидой

сти, состоящей из точек распрямления рулетт. С учетом принятых обозначений формула Эйлера принимает вид (— + —) • cos а- — , из

обозначениями на рисунке 5.20 эти параметры представляют собой длины отрезков тх - РМХ; т = РМ. Таким образом, при неизменных центроидах с, и с2, и неизменном положении прямой пР - общей нормали сопряженных рулетт, проходящей через полюс Р - точку касания центроид с, и с2, точечному ряду {А/}, представляющему собой однопараметрическое множество точек касания всевозможных

ствие как раз и определяется вышеприведенными дробно—линейными соотношениями. Из проективной геометрии известно, что в этом слу­ чае соответствие рядов {м}апг и [ W | } c » P является проективным [10, 37]. Из дробно-линейного соотношения следует, что точка Р яв­

ствует проективное соответствие, следовательно, проективное соот­ ветствие существует и между рядами {Му} и {М2}, и точка Р являет­ ся двойной, то есть самосоответствснной в проективном соответствии этих рядов. Очевидно, пучок прямых (Fj), проецирующий ряд {М,}, и пучок прямых (Р2), проецирующий ряд {М2}, проективны, по­ скольку проективны ряды, которые проецируют эти пучки [10, 37]. Поскольку точка Р является двойной в проективном соответствии рядов {Mj} И {М0}, ТО двойной будет и прямая РхР2, соединяющая центры проективных пучков прямых, то есть она соответствует сама

себе. В этом случае, как известно [10, 37], проективные пучки прямых

143

(Р,) и (Р2) перспективны, то есть их соответственные лучи пересе­ каются в точках на оси перспективы. Из теоремы Бобилье следует, что осью перспективы служит прямая SPA.PM [8]. Из сказанного следует, что центры кривизны центроид с,, с2 и центры кривизны со­ пряженных рулетт а, и а2 связаны конструктивно простым построе­ нием Бобилье, которое позволяет при заданных центроидах и одной из рулетт в их контактном положении (М - точка контакта) опреде­ лить кривизну другой рулетты в ее отсутствие. Например, требуется

плоских зубчатых зацеплений формулу Эйлера-Савари. Введем сле­

Этим примером Л. Эйлер в 1767 г. впервые обосновал возможность использования эвольвенты окружности в качестве профилей зубьев цилиндрической прямозубой зубчатой передачи с параллельными осями колес.

5. /. 7. Касание кривых (элементы дифференциальной геометрии)

Довольно часто в результате выполнения теоретического иссле­ дования либо эксперимента получается массив точек на плоскости и возникает задача проведения линии через упорядоченный массив то­ чек либо линии через определенные точки с заданными в них допол­ нительными условиями: положением касательной прямой, значением кривизны и др. Кроме того, иногда требуется заменить заданную ли­ нию другой линией по определенным условиям замены. Подобные задачи относятся к задачам аппроксимации, то есть когда требуемся заменить одну функцию, заданную массивом точек, графически либо уравнением, другой функцией, удовлетворяющей определенным ус­ ловиям. Известны следующие основные методы аппроксимации функции [15, 18]:

1. Интерполирование, когда требуется провести кривую через определенные точки исходной кривой;

2. Приближение функций, когда исходная функция на множест­ ве ее точек заменяется другой функцией с использованием опреде­ ленного критерия приближения, например, минимизация суммы квадратов отклонений аппроксимирующих и исходных значений

функции: Ziy'i^ Уаппрок)2 = т ' п ;

/=1

3. Построение обвода, представляющего собой составную кри­ вую, используемую в качестве аппроксимирующей линии, при этом под обводом понимается линия, составленная из дуг кривых одного или различных видов, в точках стыковки которых должен быть вы­ держан определенный порядок гладкости (порядок касания).

Рассмотрим основные положения теории касания плоских кри­ вых, известной в дифференциальной геометрии [26] и ее приложениях |8], с точки зрения их практического применения. Пусть имеем две

[хх, хп] и дифференцируема в каждой внутренней точке этого отрезка,

дет стягиваться в точку х0. В пределе для всех вышеприведенных

веденному выше. Из вышеизложенного следует важный результат о том, что две алгебраические кривые порядков тип могут иметь ме­ жду собой касание не выше ( W - W - I ) - J O порядка, поскольку по тео­

кривой касание не ниже первого порядка. Прямая является касатель­

ной к кривой у- f(x) в некоторой ее точке (х0,>>0). Действительно. с,х0 + с 2 - уп = f(x0); у'„ = Г (*о) = с\; с г = У о _ У'о 'хо • Таким обра­

торых / " ( х ) = 0, называются точками распрямления. В этих точках касательная к кривой проходит через три бесконечно близкие точки.

2.Соприкасающаяся окружность. Из уравнения окружности

(х-a)2 +(y-b)2 -R2 = 0 следует, что и = 3. Поэтому окружность с

148

кривой y~f(x) может иметь касание не ниже второго порядка. Из уравнения окружности можно получить последовательным диффс-

ния трех параметров окружности, соприкасающейся с кривой в точке

Эти уравнения совпадают с известными уравнениями, опреде­ ляющими окружность кривизны кривой в некоторой ее точке (л\у). Таким образом, соприкасающаяся окружность является окружностью кривизны кривой линии. С другими кривыми второго порядка окруж­ ность пересекается в четырех действительных точках. Следовательно, на основании сделанного выше вывода о касании двух алгебраиче­ ских кривых, она не может иметь с ними касание выше третьего по­ рядка. В вершинах кривых второго порядка, в которых их кривизна достигает экстремума, соприкасающаяся окружность имеет касание третьего порядка, то есть она проходит через четыре бесконечно близко расположенные точки этих кривых.

3. Соприкасающаяся парабола. Пусть задана парабола с осью, параллельной оси OY: у = с, + с2х + с3х2. Очевидно, что /7 = 3. Сле­ довательно, такая парабола может иметь с кривой у - f(x) касание

не ниже второго порядка. Из уравнения параболы, соприкасающейся с кривой _у = f(x) в точке (х0,у0) можно получить следующие урав-

149

нения для определения коэффициентов: /(х 0 ) = с} +с2х0 +с 3 х 2 ;

f'(xQ) = с2 + 2с3х0; / " ( * 0 ) = 2с3 .

4.Соприкасающийся эллипс. Для эллипса с осями, параллель-

, х - с ,2 ,j-tf\-> .

следует л = 4. Поэтому, такой эллипс может иметь соприкосновение с кривой у = f (х) не ниже третьего порядка. Трижды дифференцируя

последнее уравнение эллипса, получим следующие уравнения:

а2(у - d) • y'+b2(x - с) = 0; а2(у - d) • у"+а2 • (у1)2 + Ь2 = 0;

0>-</)-У"+зуУ'=о.

Из этих уравнений, с учетом исходного уравнения соприкасаю­ щегося эллипса, могут быть получены его параметры а, Ь, с, d.

Аналогичным образом, как и в случае эллипса, может быть рас­ смотрена соприкасающаяся с кривой у — f (х) гипербола с осями, па­

5.1.8.Конструирования обводов из дуг кривых второго порядка

Известно множество способов конструирования обводов точек на плоскости. Основными из них, п о у ч и в ш и м и наибольшее практиче­ ское применение, являются [16]:

1. Радиусографический, когда через упорядоченный массив то­ чек проводится обвод первого порядка гладкости, состоящий из дуг окружностей разных радиусов, имеющих в точках стыка общие каса­ тельные;

2. Способ кривых второго порядка, когда обвод составлен из дуг кривых второго порядка, имеющих в точках стыка общие касательные

150

(обвод первого порядка гладкости) или равные значения кривизны (обвод второго порядка гладкости);

3.Сплайн - аппроксимация.

Доказано, что ось изогнутой гибкой тонкой линейки (spline), про­ ходящей через заданные точки, описывается полиномом третьей сте­ пени у = аа + ахх + а2х2 + а,х3, представляющем уравнение кубиче­ ской параболы. Эта парабола может быть задана: четырьмя точками, двумя точками и касательными в них. Обвод первого и второго по­ рядков гладкости составляется из дуг кубических парабол. Если, на­ пример, заданы две точки (хг,у,) и (xi+x,yi+x), и две касательные в них (у))'х и (у,-,,)',, то этими условиями, согласно уравнению кубиче­ ской параболы, могут быть определены четыре коэффициента в урав­ нении кубической параболы. Дуга полученной параболы пройдет че­

коники к

каждую к соответствующей точ­

ке: D—>С, то предельным положением секущей ЕА станет касательная tA в точке А, а секущей DC - касательная tc в точке С

коники. Получаем переход от задания коники пятью точками к ее за­ данию тремя точками и двумя касательными в них. Образующийся треугольник FAC называется касательным треугольником коники. Этот треугольник положен в основу известного способа инженерного дискриминанта, применяемого для конструирования обвода первого порядка гладкости из дуг коник [15]. Предположим, задан ряд точек

151

А,С, D, Е,... и положения касательных tA,tc,tD,th,. в них (рис. 5.26). Требуется провести через эти точки указанный обвод. Ес­

ли в касательном треугольнике AFC провести медиану FB' и вы­

брать на ней некоторую точку В, то в зависимости от значения отно­

После проведения касательной tB, параллельной стороне АС, полу­

чаем новую пару касательных треугольников AF{B и BF2C. В каж­

дом из них выполняются построения, подобные построениям точки В в треугольнике AFC. Для треугольника AF{B это будет точка #, . Последующие проведения касательных через полученные точки В:

коники к2 внутри треугольников указанной пары (например, tm II АВ

) приводит к образованию новых четырех касательных треугольников и т.д. Описанный процесс конструирования дуги коники к2 продол­ жается до получения требуемого числа ее точек. Затем выполняется по описанному алгоритму построение дуги коники к\ и дуги коники

к\. Очевидно, сконструированный обвод из дуг коник к2, к2, к2

представляет собой обвод первого порядка гладкости.

152

Зададим следующий аппарат отображения (проецирования) про­

Апринадлежит некоторая линия к . Очевидно, линии kt и к'\ в

153

Рассмотрим эллиптический конус второго порядка, у которого одно из двух семейств окружностей таково, что плоскости окружно­ стей этого семейства перпендикулярны одной образующей SN(S1NUS21V2) этого конуса (рис. 5.28). Если расположить этот ко-

Рис. 5.28. Пучок гомологии с инвариантными центром 5 и коникой к2

.V, = 5 ) с общей касательной t{. Проведем некоторую проецирующую плоскость A А. П2, пересекающую рассматриваемый конус. Очевид­ но, что линией пересечения будет некоторая коника к2(к2,к2). Ее ор­ тогональная проекция к2 также будет коникой, поскольку при орто­ гональном проецировании в общем случае порядок алгебраической кривой и порядок ее проекции равны. Коника к2 пересекает каждую окружность а\ , в\ , с\ , d\ , f\ , ... пучка окружностей в четырех точ­ ках: одной двойной (гонка касания S{ с общей касательной tx) и двух простых точках. Прямые, соединяющие пары простых точек пересе­ чения, образуют пучок параллельных прямых а, II вх II с, II dx II /,

поскольку каждая из этих прямых представляет собой ортогональную проекцию линии пересечения плоскости А и плоскости из пучка па­ раллельных плоскостей, которым принадлежат окружности рассмат­ риваемого семейства на конусе. Очевидно, каждая из окружностей

а'(а\ ,а\ ),b'(b\ ,b'2),... может быть рассмотрена как центральная проекция коники к2(к2,к2) на плоскость этой окружности из центра

S(S],S7), а сама коника к2(к2,к2_) может быть рассмотрена как цен­

тральная проекция каждой из этих окружностей на плоскость А ко­ ники к2.

На плоскости 77, получаем пучок гомологии с инвариантным центром 5, и инвариантной коникой к2 с параллельными осями го­ мологии а,, в,, с,, dx, fx, ... В каждой гомологии образом соответст­ вующей окружности является одна и та же коника кх . Ось гомологии проходит через точки пересечении этой окружности и коники к2. Для предельной окружности а\ пучка окружностей, то есть для окружно­

сти кривизны коники кх , ось гомологии ах проходит через центр S, - точку касания коники к2 и всех окружностей пучка.

Таким образом, анализ вышеизложенных построений позволяет утверждать о том, что каждая из окружностей, соприкасающихся с коникой в одной и той же точке, гомологична этой конике; точка ка­ сания есть центр гомологии; оси пучка гомологии образуют пучок па­

получено не из косвенных, а из прямых, более простых и наглядных рассуждений.

Рассмотрим применение гомологичного свойства коники к2 для построений дуг коник, используемых при конструировании обводов первого и второго порядков гладкости. Предположим, что заданы точки S,A и В коники к2 и ее касательные ts и tA (рис. 5.29). Требу­

логии точках коники и окружности пересекаются в точке на оси го­ мологии. Таким образом, гомология определена центром S, осью а и парой соответственных точек В и В' или А и А'. Задание гомоло­ гии и окружности а' позволяет построить ее образ к2, который явля­ ется искомой коникой.

Если в условии рассматриваемой задачи вместо точки В ввести значение кривизны конструируемой коники в се точке S, то для кон­ струирования коники необходимо провести окружность кривизны а'0

Рис. 5.30. Определение окружности

вания пучка гомологии на плоско-

кривизны коники

сти Я, (рис. 5.28) следует, что если провести jry4 из центра 5,, пере­

секающий окружности пучка, то касательные к окружностям пучка, проведенные в точках их пересечения с этим лучом, будут параллель­ ными. Это свойство касательных позволяет получить решение сле­

дующей задачи. Пусть заданы три точки S, В, А коники и касатель­ ные ts и tA к ней в точках S и А (рис. 5.30). Требуется определить кривизну коники в ее точке S. Для решения задачи построим произ­

вольную окружность d из пучка окружностей с общей точкой S и

искомой окружности а'а кривизны будет та же коника к2. Дальней­

шие построения выполняются в следующей последовательности:

/%П% -Tv: Ts er',,,, t\0!it'4 (по свойству касательных окружностей

щчка. провод.-:? кых в точках пересечения этих окружностей с лучом,

мый центр окружности кривизны а\, коники к2 в ее точке S .

Эта и предыдущая рассмотренные задачи могут быть положены в основу конструирования обвода второго порядка i ладкостн из дуг ко­ ник с общим значением кривизны в точках их стыка.

Множественные теоретические аспекты и нюансы различных ал­ горитмов конструирования обводов различных порядков гладкости из дуг коник и других плоских кривых, а также аналитическое описание сплайн-аппроксимации и сплайн-интерполяции можно найти в рабо­ тах [16, 18].

5.1.9. Моделирование плоской кривой па чертеже Монжа

В общем случае моделирование плоской кривой линии, принад­ лежащей плоскости общего положения, основано на модели этой

5.2.Пространственные кривые

Вучебных изданиях по начертательной геометрии пространст­ венным кривым линиям уделяется незначительной внимание. Исклю­ чение составляет учебник [2]. Очевидно, это связано с тем, что тради-