1671

3.6.Моделирование гиперплоскостей пространства Еп

Гиперплоскость (3-плоскость) пространства Еп определяется че­ тырьмя параметрами или задается четырьмя независимыми точками пространства. Пусть это будут точки A,B,C,D . Тогда на простейшей модели будут проекции (AUA2,A2), (S,,B2, В3 ), (С1 5 С2 ,С3 ) и (£>,.D2 ,£>3 ) (рис. 3.36). От этого задания можно перейти к другому

заданию гиперплоскости, например, двумя скрещивающимися пря­ мыми - ребрами тетраэдра ABCD , плоскостью и точкой - гранью и противоположной вершиной тетраэдра ABCD , плоскостью и пересе­ кающей ее прямой, тремя прямыми, пересекающимися в одной точке и т.д.

Судя по чертежу, можно утверждать, что гиперплоскость ABCD является гиперплоскостью общего положения по отношению к гипер­

Гиперплоскость может быть перпендикулярна какой-либо плос­ кости проекций. Тогда на этой плоскости проекций проекция гиперп­ лоскости будет вырожденной. На рисунке 3.39 показана гиперпло­ скость ABCD , перпендикулярная плоскости OXY . Такая гиперпло­ скость называется проецирующей относительно плоскости OXY . Аналогично будут выглядеть модели проецирующих гиперплоскостей относительно других плоскостей проекций.

Следует заметить, что невырожденными проекциями гиперпло­ скости будут все поля проекций OXZ , OXY (рис. 3.37) и ОХТ, OXZ (рис. 3.39).

3.6.1. Принадлежность точки, прямой и плоскости гиперплоскости

Можно сформулировать следующие признаки принадлежности:

83

1) точка принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит какой-либо линии данной гиперплоскости;

2)точка принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит какой-либо плоскости данной гиперплоскости;

3)прямая принадлежит гиперплоскости, если две ее точки при­ надлежат данной гиперплоскости;

4)плоскость принадлежит гиперплоскости, если три ее точки, не лежащие на одной прямой, принадлежат данной гиперплоскости.

Очевидно, что для рисунков 3.37, 3.38, 3.39 задача о принадлеж­

ности точки данной гиперплоскости частного положения решается

84

плоскости OXY . Это можно сделать бесконечным числом способов. На рисунке 3.40 гиперплоскость Л(4) проведена через точку А . Пе­ ресечение ABCD и А будет плоскость, которую можно построить по трем точкам А, М, iV, где М е ВС, N е BD . Таким образом, полу­ чаем Аг = (A2M2N2), Аъ = (/i3M3JV3). Очевидно, что размерность по­ нижена до трех, и мы получили задачу на принадлежность точки E(E]tE2) плоскости A(A2M2N2>A3M3N3). Дальнейшее решение было описано выше.

На рисунке 3.40 Е3 * Е3, следовательно, Е е (ABCD).

Для решения задачи о принадлежности прямой и плоскости дан­ ной гиперплоскости необходимо описанный алгоритм повторить два и три раза, соответственно.

3.6.2. Прямые уровня и плоскости уровня

вданной гиперплоскости

Вданной гиперплоскости общего положения ABCD MOiyr быть выбраны прямые, параллельные какой-либо гиперплоскости ироек-

Рис. 3.41. Прямая уровня гиперплоскости относительно плоскости OXY пространства £4

ций, и прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций. На ри­ сунке 3.41 изображена прямая h(h„k2,h3) данной гиперплоскости, параллельная плоскости OXY , а на рисунке 3.42 - прямая h(hx,h2,h3) данной гиперплоскости, параллельная гиперплоскости OXYZ .

Для проведения прямой hllOXY предварительно проведена ги­ перплоскость уровня S(Z3)II OXYZ . Строить другие проекции ги­ перплоскости 27 нет необходимости. В гиперплоскости 27 выбрана

так же, как и в предыдущем случае. Однако теперь в плоскость A(AMN) можно выбрать любую прямую h(h2 # ОХ) и построить иро-

Рис. 3.42. Прямая уровня гиперплоскости относительно плоскости OXYZ пространства Е,

екцию Л, по принадлежности. Получаемая прямая h(huh2,h3) будет параллельна гиперплоскости OXYZ .

Если бы А, оказалась тоже параллельной оси ОХ, то это бы озна­ чало, что заданная гиперплоскость ABCD не является гиперплоско­ стью общего положения. В этом случае гиперплоскость ABCD была бы перпендикулярна гиперплоскости OYZT или, что, то же самое, была бы параллельна оси ОХ .

Очевидно, что в гиперплоскости ABCD общего положения нельзя найти и построить плоскость, параллельную какой-либо плос­ кости проекций.

3.б.3. Преобразование гиперплоскости общего положения в проецирующую гиперплоскость и гиперплоскость уровня

Для преобразования данной гиперплоскости общего положения в гиперплоскость проецирующую относительно какой-либо гиперпло-

А_

А-/

х- П?,П3

\ \

*2

Рис. 3.43. Преобразование гиперплоскости общего положения пространства ЕА в проецирующую гиперплоскость

скости проекций необходимо в данной гиперплоскости построить прямую уровня. Н а рисунке 3.43 выбрана прямая уровня А ( А , , А , , А 3 ) ,

ABCD станет гиперплоскостью уровня относительно гиперплоскости

88

ГЛАВА 4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ

В пространстве Е3 прямая и плоскость, а также две плоскости, могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными. Выполним на рассматриваемой графической модели решения пози­ ционных, аффинных и метрических задач для указанных пар геомет­ рических объектов.

4.1.Пересечение прямой и плоскости

Из аксиомы стереометрии [7]: «Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости» следует, что прямая и плоскость могут пересекаться в точке - собственной или не­ собственной (бесконечно удаленной). В последнем случае прямая и плоскость являются параллельными, кроме того, исходя из формулы s = m + q-n размерности пространства пересечения (п. 1.7.2), также получаем пересечение прямой и плоскости пространства Е3 в точке, поскольку 5 = 2 + 1- 3 = 0.

Рассмотрим алгоритм конструктивного определения точки пере­ сечения прямой и плоскости. Пусть на чертеже (рис. 4.1) заданы

различные решения данной задачи [23]. Наиболее простое графиче­ ское решение ее может быть выполнено на основе применения пары конкурирующих прямых, принадлежащих одной проецирующей

с(]Ф - cf]d. Алгоритм решения задачи может иметь нижеследующий вид.

1.c2=d2 (прямые с и d - фронтально-конкурирующие);

определения видимости заключается в следующем. Предположим, что заданы: плоскость ортогонатьных проекций 77, прямая с и плос­ кость Ф с их точкой пересечения К (рис. 4.2). Очевидно, последняя является границей видимости прямой с относительно плоскости Ф

при ее пересечении с плоскостью

Очевидно, что в этом случае

90

|MMJ>j/VAf|, то есть видимой является более удаленная от плоскости U т о ч к а м е с. Во втором случае имеет место ]/УМ1|>|ММ'], то есть видимой является более удаленная от плоскости П точка N е Ф. Следовательно, при ортогональном проецировании на плоскость П в первом случае получаем на П изображение [&Т'М') видимого луча [КМ) прямой с, а во втором - изображение [ЛГ'М') ее невидимого луча, расположенное справа от точки К'. Очевидно, что произволь­

[КЛ) прямой с является невидимым при этом проецировании. Очевидно, определение видимости прямой имеет смысл при до­

пущении, что плоскость Ф представляет собой непрозрачную неогра­ ниченную либо ограниченную пластину бесконечно малой толщины.

4.2.Пересечение двух плоскостей

Исходя из формулы размерности пространства пересечения (п. 1.7.2) две плоскости в пространстве Еъ пересекаются по прямой линии, поскольку $ = 2 + 2- 3 = 1. Эта линия может быть собственной, либо несобственной. В последнем случае плоскости являются парал­ лельными. Рассмотрим решение задачи определения линии пересече­ ния двух плоскостей. Пусть на графической модели пространства за­

ритм решения данной задачи основал на алгоритме решения преды­ дущей задачи (п. 4.1) и включает по существу дважды повторенное решение рассмотренной задачи. Действительно, для определения прямой линии пересечения In Д необходимы, как и для всякой пря­ мой, две ее точки. Каждая из них определяется как точка пересечения произвольной прямой, взятой в одной плоскости, с другой плоско­ стью. На основании сказанного последовательность конструктивного решения поставленной задачи может быть нижеследующей.

l=(M,N), которая и будет искомой линией пересечения /=Е гл Л .

Решение предыдущей задачи (рис. 4.6) может быть сведено к ре­ шению рассмотренной задачи, если одну из двух пересекающихся

1. Проведем в поле "первых" проекций родственных соответст­ вий (s,A\,A2) и (s',A\,A'2) произвольную прямую m, =т\. Исполь­ зуя алгоритм построения проекций точки, принадлежащей плоскости, заданной родством (рис. 3.16), построим "вторые" проекции т2 и т'2 прямых т и от', принадлежащих соответственно плоскостям: т с Ф , /и'с Ф'. Для построения этих проекций используются вспомогатель­

3.Определим искомую линию / пересечения плоскостей по ее

4.3.Параллельность прямой линии и плоскости

Всоответствии с формулой (1.5) определения степени парал­ лельности, прямая и плоскость в пространстве Еъ вполне параллель­

ны, поскольку рц =~Л = ^' ^ кУРсе стереометрии [7] известен при­ знак параллельности прямой и плоскости, формулированный в виде следующей теоремы: если прямая, не лежащая в данной плоско­

сти, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоско­ сти, то она параллельна данной плоскости. Из признака параллель­ ности следует практическое указание для ее реализации на графиче­ ской модели пространства: построение прямой, параллельной данной плоскости, требует предварительного проведения какой-нибудь пря­ мой в этой плоскости. Логическая неопределенность "какая-нибудь" в признаке параллельности позволяет заданием дополнительных усло­ вий выделить однопараметрическое множество (пучок) прямых или единственную прямую из двухпараметрического множества прямых в плоскости, удовлетворяющих условию параллельности. В подтвер­ ждение сказанного рассмотрим пример. Пусть на графической модели

комой прямой т имеет символическое представление: е2>0, и его раз­ мерность может быть вычислена по формуле (1.4) следующим обра­ зом:

Таким образом, сумма размерностей указанных условий задачи равна Qo6{^) + Qii+Qo6{exo) = Dn = 4, ч т о говорит о корректности поставленной задачи и единственности ее решения. На основании признака рассматриваемой параллельности и проведенного анализа условия задачи выполним ее конструктивное решение в следующей

2.12 - >1, еа, , 22 - >2, е/>,;

3.0 „ 2 | ) = /1;

4.щП\х, С, еот,.

Построенная прямая т^пц,)?^) является искомой. Вспомогатель­ ная прямая Щх,12 -щ) является, в соответствии с отмеченной выше логической неопределенностью "какая-нибудь", прямой пучка парал-

96

лельных прямых в плоскости X, выделенного из двухпараметрического множества прямых этой плоскости условием задания проекции /2 = т2 прямой /. Это условие, как было показано выше, имеет раз­ мерность Qo6(e2^0) = }.

4.4.Параллельность двух плоскостей

Всоответствии с формулой (1.5) степени параллельности две

двух плоскостей, выраженный следующей теоремой: если две пере­

секающиеся прямые одной плоскости соответственно параллель­ ны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллель­ ны. Из признака параллельности следует практическая рекомендация по определению плоскости, параллельной данной: необходимо про­ вести две пересекающиеся прямые в данной плоскости, а искомая плоскость определится парой пересекающихся прямых, соответствен­ но параллельных проведенным пересекающимся прямым. Рассмотрим

Учитывая, что две плоскости в пространстве Е3 вполне парал­ лельны, поскольку их степень параллельности по формуле (1.5) равна

равенство параметрического числа плоскости пространства и суммы размерностей условий задачи:

3.12 —» 1, Ё Й , ;

4.( 1 „ 4 ) = V.

5. т2 II а2, М2 е от7. тх II ах, Мх е гпх;

6.п2 II /2, М2 е и2, л, /7 /[, Л/, е /г,.

Искомая плоскость А определена двумя пересекающимися пря­ мыми т(тх,т2) и «(«,, л 2 ), при этом mil и, п/11.

Решение данной задачи можно представить как дважды повто­ ренное решение предыдущей задачи (п. 4.3). Действительно, из при­ знака параллельности двух плоскостей следует, что если каждая из двух пересекающихся прямых параллельна плоскости, то плоскость этих прямых параллельна этой плоскости. Поэтому вышеприведен­ ный алгоритм можно представить в следующем кратком виде:

1. тИИ, М ет;

2.nllzZ, М е п.

4.5.Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая и плоскость в пространстве £3 вполне перпендикулярны, так как согласно формуле (1.8) степень их перпендикулярности равна

рх = —— = 1. В стереометрии известен признак перпендикулярности прямой и плоскости [7], выраженный следующей теоремой: если

прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежа-

1 ц и м в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. В со­ ответствии с признаком, для построения прямой, перпендикулярной данной плоскости, необходимо в этой плоскости предварительно про­ вести две пересекающиеся прямые, а затем добиваться перпендику­ лярности искомой прямой каждой из проведенных пересекающихся прямых. Таким образом, решение задачи о перпендикулярности пря­ мой и плоскости основано на решении задачи о перпендикулярности двух прямых (пересекающихся или скрещивающихся). Рассмотрение перпендикулярности двух прямых на графической модели основыва­ ется на теореме о проекции прямого утла: если одна сторона прямо­

го угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпен­ дикулярна, то на эту плоскость проекций прямой угол проециру­ ется без искажения. Рассмотрим доказательство этой теоремы. 11усть

го в стереометрии определения прямой, перпендикулярной плоскости [7]: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости - из этого определения следует, что перпендикулярная прямая перпенди­ кулярна любой прямой в этой плоскости. Поэтому из перпендикуляр­ ности АВ _1_ Ф следует А В X В'С, поскольку Д ' С ' с Ф как линия пе­ ресечения ФпП = В'С. А поскольку АВИА'В', то А'В'1В'С, то есть Z.A' В'С— 90°. Если ВС//Л, то утверждение теоремы очевидно.