1671

11остроения, соответствующие теореме о проекции прямого угла, приведены на рисунке 4.12. В первом случае по условиям теоремы

плоскости. Пусть на графической модели заданы: плоскость общего положения 2,(ААВС) и точка M(MUM2)^L (рис. 4.13). Требуется построить прямую т по условиям: Мет, »гХХ. Выполним анализ условий задачи. Для этих целей используем результаты анализа усло­ вий, приведенных в пункте 4.3. Параметрическое число прямой линии

пространства Е3 равно Д ' " = 4 . Размерность условия прохождения прямой линии через точку пространства равна Oofl(e\(s(j)-2. Пред­ ставляя символически условие перпендикулярности прямой и

плоскости, как е3'д и учиты­ вая, что степень их перпенди­ кулярности равна 1, определим по формуле (1.9) размерность этого условия. Она будет рав­ на 0± =1-1 •(2-1 + 1-1) = 2. Таким образом, получаем

теореме построениях на графической модели (рис. 4.12), можно пред-

100

дожить следутощии алгоритм конструктивного решения рассматрииаемой задачи:

1. h<=T,:h2// X,h2-^ /г,; 2 . / c I i / . M . / ^ / j ;

4.6.Перпендикулярность плоскостей

лярности двух плоскостей, выраженный теоремой [7]: если одна из

двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Очевид­ но, здесь под перпендикулярностью следует понимать именно полуперпендикулярность двух плоскостей. В соответствии с признаком

перпендикулярности при заданных плоскости и перпендикуляре к ней

101

можно провести плоскость, перпендикулярную заданной. Для этого необходимо лишь, чтобы эта плоскость проходила через перпендику­ ляр. Но через указанный перпендикуляр к данной плоскость проходит пучок плоскостей, каждая из которых по признаку перпендикулярно­ сти будет перпендикулярна данной плоскости. Следовательно, выше­ приведенный признак перпендикулярности не определяет единствен­ ную плоскость, перпендикулярную данной. В этом проявляется след­ ствие отмеченной выше полуперпендикулярности. Для построения единственной плоскости, перпендикулярной данной, необходимы до­

условия задачи корректны и определяют единственную искомую плоскость. На основании вышеизложенного может быть предложен следующий алгоритм конструктивного решения рассматриваемой за­ дачи:

1. / 1 с А : / г 2 ( 1 , , 2 2 ) / / 1 ; А, -> /г, = (1,,2]); 102

2. / с Д Э Д Л у / Л ' ; f,-*/2 = ( 3 2 , 4 2 ) ; 3 . и 2 i / 2 , M 2 е и 2 , ¥ , e m 2 ;

Рассмотрим на графической модели конструктивное решение за­ дачи о построении прямого угла, расположенного в плоскости общего положения. Пусть заданы прямая общего положения а(а,,я 2 ) и точка

Q L = 1 • 1 • (1 -1 +1 • 1) = 1. Размерность условия пересечения двух пря­ мых в пространстве, выраженного символически е\'°0, определится по формуле (1.4) таким образом:

й л ( е ;: ? ) = £ 1 г > ) - а ± 1 1 - ( з + 1 ) = ,

103

Получаем тождественное равенство параметрического числа ис­ комой прямой и суммы размерностей условий:

Полученный результат говорит о корректности условий данной задачи. Алгоритм решения рассматриваемой задачи, на основании вышеизложенного, может иметь следующий вид:

1. А : //X, М2 е А2; Мх е hx,hx Lax;

2.fXx//X,Mxefx;M2Gf2,f2±a2;

3. (hf]f)f]a = K(Kx,K2);

4.(Kx,Mi) = mx, (K2,M2) = m2.

Прямая m(mx,m2) является решением задачи. Пункты 1 и 2 в этом алгоритме соответствуют решению задачи о перпендикулярно­ сти прямой и плоскости (п. 4.5). Пункт 3 алгоритма соответствует ре­ шению задачи о пересечении прямой и плоскости и его алгоритм был рассмотрен ранее (п. 4.1). Таким образом, в соответствии с данным алгоритмом, на графической модели построены проекции ZMXKXNX и

прямого угла ZMKN в плоскости общею положения

4.8.Частные случаи пересечений прямых, плоскостей

игиперплоскостей пространства Е4

Всоответствии с теоремой о пересечении линейных подпро­ странств для пространства Е4 можно составить следующую таблицу

пересечений (табл. 4.1):

Частными случаями расположения линейных подпространств бу­ дут те, в которых оба пересекающихся подпространства являются перпендикулярными плоскостям и гиперплоскостям проекций или одно из двух пересекающихся подпространств является перпендику­ лярным плоскостям и гиперплоскостям проекций.

4.8.1. Пересечение проецирующих подпространств

1. Прямая и гиперплоскость проецирующие.

Очевидно, что если прямая будет проецирующей относительно какой-либо гиперплоскости проекций, а гиперплоскость будет про­ ецирующей относительно какой-либо плоскости проекций этой же гиперплоскости проекций, то они будут параллельны. На рисунке 4.17 изображена прямая а 1 OXZT и гиперплоскость 27 ± ОХТ. Следова­ тельно, аIIOY и 2 1 OYZ. Следовательно, allЕ.

Z=T

Вели прямая будет проецирующей относительно какой-либо ги­ перплоскости проекций, а гиперплоскость - относительно плоскости проекций, не лежащей в этой гиперплоскости проекций, то их точка пересечения определяется без дополнительных построений. На ри­ сунке 4.18 Р = а[\Е , а 1 OXYZ, 2 1 ОХТ.

Для сокращения построений на последующих рисунках не будем указывать оси проекций X, Y, Z, Т на многомерных евклидовых чертежах.

2. Плоскость и гиперплоскость проецирующие.

Случай, когда плоскость и гиперплоскость проецирующие отно­ сительно одной и той же плоскости проекций изображен на рисунке 4.19, где а 1 OXZT, Г1 ОХТ, аъ II273. Следовательно, all Е.

одной и той же плоскости проекций, но а Н~21, то прямая их пересе­ чения определяется без дополнительных построений. На рисунке 4.20

а ± OXZT, XI OXZ.

Если плоскость и гиперплоскость проецирующие относительно разных плоскостей проекций, то прямая их пересечения определяется

(рис. 4.23).

Рис. 4.23. Модель построения пересечения проецирующих гиперплоскостей А и 27

На рисунке 4.25 a J_ OXZT, В L OXYZ . Их точка пересечения А лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций OYT.

4.8.2.Пересечение подпространств,

одно из которых проецирующее

1.Прямая проецирующая, гиперплоскость общего положения.

3. Одна плоскость общего положения, вторая проецирующая. Через проецирующую плоскость В проведена проецирующая

гиперплоскость Г(Г3) и построена прямая ее пересечения с « (рис. 4.28). Поскольку две прямые и плоскость В лежат в одной гиперпло­ скости Г, то они пересекаются в точке А = af] В, которая и есть ис­ комая.

4. Плоскость общего положения, гиперплоскость проецирую­

щая.

109

В этом случае одна из проекций прямой пересечения уже есть. На рисунке 4.29 эта проекция совпадает с проекцией 273 гиперплоскости 27. Остальные проекции строятся по точкам пересечения с прямыми а и b плоскости а(а, Ъ).

6. Одна гиперплоскость проецирующая, вторая общего поло­ жения.

Построение плоскости пересечения гиперплоскостей 27(273) и А(а, /3, с) приведено на рисунке 4.31.

ill

4.9.Общие случаи пересечения подпространств

пространства Е4

4.9.1. Пересечение прямой и гиперплоскости

В соответствии с теоремой о пересечении линейных подпро­ странств имеем для пространства Е4: 3 + 1-4 = 0, т.е. пересечением прямой и гиперплоскости является точка. Если эта точка несобствен­ ная, то прямая и гиперплоскость параллельны.

совпадает с алгоритмом, описанным в п. 4.8.1. Результатом является точка Р = ABf] 27.

112

4.9.2.Пересечение плоскости и гиперплоскости

Пересечение плоскости и гиперплоскости является прямая, ножольку 2 + 3 - 4 = 1. Для ее построения необходимо дважды приме­ тить алгоритм построения точки пересечения прямой и гипсрплоско- :ти, а в качестве двух прямых будут любые две прямые заданной тлоскости.

Рис. 4.33. Модель построения пересечения плоскости (а,Ь) и гиперплоскости (с, d. е) общих положений

из

Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми а,Ь, а гиперплоскость - тремя c,d,e, пересекающимися в одной точке (рис.

4.33). Через прямую а проведена проецирующая гиперплоскость А\;

4.9.3.Пересечение двух плоскостей

Две плоскости общего положения пространства Е4 пересекаются в точке, поскольку 2 + 2 - 4 = 0. Для ее построения необходимо одну из заданных плоскостей заключить в гиперплоскость; построить пря­ мую пересечения второй плоскости и этой гиперплоскости; построить точку пересечения первой плоскости и построенной прямой.

Пусть первая плоскость задана двумя пересекающимися прямы­ ми а,Ь, вторая - прямыми c,d (рис. 4.34). Заключим плоскость (а.Ь) в произвольную гиперплоскость, для чего проведем через точку пере­ сечения прямых а и b произвольную прямую с. Для того, чтобы

Заметим, что выбор 27(273) и Л(Л3) произволен, они не обязательно должны быть параллельными.

Найдены точки Р = (С, D)f](А,В,Е) и R = UVC\(L,M,N). Пря­ мая (Р,R)есть прямая пересечения гиперплоскости (а,Ь,е) и плос­ кость (c.d).

Рис. 4.34. Модель построения пересечения двух плоскостей (а,Ь) и (c,d)

общих положений

Теперь используя только проекции на Пх и П2> строится точка Q = (P,R)C\(a,b), которая и есть искомая точка пересечения

Q = (a,b)r\(c,d).

4.9.4.Пересечение двух гиперплоскостей

Если даны две гиперплоскости 27 и А общего положения, то их пересечением является плоскость общего положения. Построить ее можно следующими двумя способами:

а) в одной из данных гиперплоскостей выбрать три прямые и найти их точки пересечения со второй гиперплоскостью (т.е. трижды повторить алгоритм в п. 4.9.1). Три несобственные точки зададут ис­ комую плоскость;

б) выбрать две проецирующие гиперплоскости и найти их пере­ сечение с каждой из заданных гиперплоскостей. Затем найти прямые пересечения двух плоскостей, лежащих в этих проецирующих гипер­ плоскостях. Результатом будут две пересекающиеся прямые, задаю­ щую плоскость пересечения заданных гиперплоскостей.

Первый способ приведен на рисунке 4.32, второй - на ри­ сунке 4.34.

4.10.Перпендикулярность линейных подпространств

пространства £ 4

Сформулируем признаки перпендикулярности двух линейных подпространств пространства Е4:

1. Прямая перпендикулярная гиперплоскости, если она перпен­ дикулярна прем, пересекающимся в одной точке, прямым этой гипер­ плоскости.

Этот же признак можно сформулировать иначе: прямая перпен­ дикулярна гиперплоскости, если она перпендикулярна любым двум скрещивающимся прямым этой гиперплоскости. Или: прямая перпен­ дикулярна гиперплоскости, если она перпендикулярна двум пересе­ кающимся плоскостям этой гиперплоскости

2.Плоскость перпендикулярна гиперплоскости, если она прохо­ дит через перпендикуляр к этой гиперплоскости.

3.Две гиперплоскости перпендикулярны, если одна из них про­ ходит через перпендикуляр к другой.

4.Две плоскости перпендикулярны, если каждая из двух пересе­ кающихся прямых одной плоскости перпендикулярна двум пересе­ кающимся прямым другой плоскости.

5.Две плоскости полуперпендикулярны, если одна из них про­ ходит через перпендикуляр к другой.

Вобщем случае, когда линейные образы (прямые, плоскости, 3- плоскости, ...) заданы в общем положении, по модели, не пользуясь никакими дополнительными построениями, невозможно определить перпендикулярны они друг другу или нет. Однако в частных случаях это возможно. Если знать частные случаи, т.е. знать признаки перпен-

днкулярности линейных образов на чертеже (на модели), можно пу­ тем преобразований привести их к виду, удобному для применения признаков перпендикулярности. Эти признаки являются обобщением известных признаков перпендикулярности прямых и плоскостей на модели Монжа пространства Е3. А именно:

-две прямые перпендикулярны, если одна пара их одноименных проекций перпендикулярна, а из другой пары одна из проекций па­ раллельна оси этих проекций;

-прямая перпендикулярна плоскости, если проекции линий уровня данной плоскости перпендикулярны одноименным проекциям данной прямой.

Обобщением этих признаков на модель пространства Е4 являют­ ся следующие.

1. Две прямые перпендикулярны, если одна пара их одноимен­ ных проекций перпендикулярна, а в двух других парах одна из проек­

2. Прямая перпендикулярна гиперплоскости, если проекции данной прямой перпендикулярны одноименным проекциям линий уровня данной гиперплоскости.

На рисунке 4.36 изображена прямая а, перпендикулярная гипер­ плоскости a(b,c,d), заданной своими прямыми уровня.

Естественно, что прямая а будет перпендикулярна любой плос­ кости Е с; a(b,c,d), например, плоскости E(b,d).

3. Две плоскости перпендикулярны, если две прямые одной плоскости перпендикулярны, соответственно, двум линиям уровня второй плоскости.

На рисунке 4.37 изображена плоскость Е(а,Ь), заданная своими линиями уровня а(ах,а2,а3) и bibx,b2,b3) и перпендикулярная ей плоскость A{c,d), с La, d Lb.

ГЛАВА 5. КРИВЫЕ ЛИНИИ

Начертательная геометрия изучает модели объектов пространст­ ва, в частности, евклидова трехмерного Еъ, на плоскости. В предше­ ствующих главах были рассмотрены модели линейных объектов (элементов) евклидова пространства, а именно: точки, прямой линии, плоскости, а также задачи позиционного, аффинного и метрического характера с участием этих объектов. Кроме линейных, в пространстве существуют и нелинейные объекты, к которым относятся кривые ли­ нии, поверхности и множества этих объектов. Нелинейные объекты обладают рядом, специфических для каждого из них, геометрических свойств, которые отсутствуют у линейных объектов, например, нали­ чие кривизны. Процесс моделирования на плоскости нелинейного объекта включает последовательное выполнение следующих этапов:

1. Получение определенного значного соответствия, модели­ рующего поверхность, а в случае моделирования линии — получение определенных точечных подмножеств (образа и прообраза), соответ­ ственных в некотором соответствии.

2. Установление взаимосвязи (соответствия) геометрических свойств нелинейного объекта пространства и геометрических свойств его модели.

Целью второго этапа является достижение достаточно полного представления о том, как и во что при моделировании отображаются геометрические свойства объекта, и каким образом можно восстано­ вить геометрические свойства объекта по его модели. Выполнение лишь первого этапа, которым на протяжении своей истории занима­ лась начертательная геометрия, изучая различные аппараты проеци­ рующего отображения пространства на плоскость, нельзя признать в качестве полного моделирования нелинейного объекта пространства. Для выполнения второго этапа необходимы, во-первых, знания гео­ метрических свойств объектов, в том числе в малом (в бесконечно малой окрестности точки); во-вторых, знания геометрических свойств в малом самого отображения (при конструктивном моделировании речь идет о проецирующем отображении). В свете сказанного оче­ видна актуальность проблемы полного моделирования нелинейных объектов евклидова пространства. В настоящее время решение этой проблемы находится в начальной стадии и требует привлечения зна­ ний из областей других геометрий: проективной, аналитической, ал­ гебраической, исчислительной, дифференциальной и др.