80 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными
59 84 В этом разделе мы можем немного расслабиться. Теория уравнений второго порядка с двумя неизвестными сейчас нас интересует только на описательном уровне. В общем виде уравнение можно записать так:
11 2 + 22 2 + 2 12 + 1 + 2 + 0 = 0. |
(5) |
Разумеется, здесь 11, 22 и 12 не должны одновременно равняться нулю, иначе мы получим линейное уравнение. Кривые, заданные уравнениями второго порядка, называют кривыми второго порядка, или коническими сечениями. Одной и той же кривой могут соответствовать разные уравнения в зависимости от ее положения в принятой системе координат. Различают три основных типа конических сечений: эллипсы, гиперболы и параболы (рис. 16). Кроме основных конических сечений, существуют еще и вы-
Рис. 16. Конические сечения: а) эллипс, б) гипербола, в) парабола
рожденные случаи: прямая, пара пересекающихся прямых
§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными |
81 |
и точка. Термин «коническое сечение» возник в Древней Греции. Греки рассматривали эти кривые как сечения конуса плоскостью. В зависимости от наклона плоскости по отношению к оси конуса, получались эллипсы (как частный случай – окружность), гиперболы и параболы. Если плоскость касалась поверхности конуса, получалась прямая; если плоскость пересекала конус вдоль его оси, – пара пересекающихся прямых, а если проходила через вершину конуса под соответствующим углом, – точка. Рассекание конусов плоскостями может показаться праздным занятием, но конические сечения обладают рядом интересных свойств. В частности, у них есть фокусы. Если в фокус параболы поместить точечный источник света, то отраженные от нее лучи образуют пучок параллельных, а значит, могут освещать бесконечно удаленные цели. Если точечный источник света поместить в один из фокусов эллипса, то отраженные лучи пересекутся в другом фокусе. На самом деле точечных источников не бывает, так же как и идеальных поверхностей, но тем не менее поверхности прожекторов делают именно в виде параболоида, а источник света помещают в его фокус. Не менее важен и тот факт, что траектории движения материальных точек в поле центральной силы, например гравитационном, – кривые второго порядка. И хотя в идеальные траектории вносят возмущения другие менее весомые небесные тела, с большой степенью точности мы можем
82 |
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
считать, что орбиты планет солнечной системы – эллипсы, а Солнце находится в одном из фокусов каждого эллипса. Таким образом, уравнения второго порядка довольно неплохо описывают окружающий нас мир и уже поэтому заслуживают внимания.
Задача определения типа кривой второго порядка по ее уравнению решается в курсе аналитической геометрии. Однако сами кривые можно определить, не прибегая к услугам конуса и даже не вводя на плоскости систему координат.
Эллипс – это геометрическое место всех точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна.
Гипербола – это геометрическое место всех точек, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна.
Парабола – это геометрическое место всех точек, одинакого удаленных от заданной точки (фокуса) и некоторой фиксированной прямой.
Для любого конического сечения можно найти систему координат, в которой его уравнение принимает канонический вид. Это уравнения
эллипса: |
2 |
|
2 |
гиперблы: |
2 |
− |
2 |
||
|
+ |
|
= 1; |
|
|
= 1 |
|||
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||
и параболы: 2 − 2 = 0,
§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными |
83 |
где , и – вещественные константы. Кривые второго порядка также делят плоскость на области знакопостоянства, внутри которых уравнения превращаются в соответствующие неравенства:
Рис. 17. Области знакопостоянства
2 |
+ |
2 |
|
≤ 1 (рис. 17а); |
2 |
2 |
|
||
2 |
− |
2 |
|
≤ 1 (рис. 17б); |
|
|
|
||
2 |
2 |
|
2 − 2 ≤ 0 (рис. 17в).
Как вы, вероятно, заметили, уравнения гиперболы и параболы в канонической форме несколько отличаются от тех, к которым мы привыкли в школе. На это есть свои причины. Так, более привычное для многих уравнение =
определяет только семейство гипербол с перпендикулярными ассимптотами, но ассимптоты могут образовывать любой